目录
第1章典型方程的导出和定解问题 ............................................................................1
1.1典型方程的导出 ...........................................................................................1
1.1.1弦振动方程 ........................................................................................2
1.1.2热传导方程 ........................................................................................
1.1.3传输线方程 ........................................................................................6
1.1.4电磁场方程 ........................................................................................7
1.2定解条件和定解问题 ....................................................................................8
1.2.1定解条件............................................................................................8
1.2.2定解问题..........................................................................................
1.3二阶线性偏微分方程的分类 ........................................................................ 11 习题1................................................................................................................. 12
第2章傅里叶级数方法 ——特征展开法和分离变量法 ............................................. 14
2.1预备知识 ....................................................................................................
2.1.1正交函数系 ...................................................................................... 15
2.1.2线性方程的叠加原理 ........................................................................ 16
2.2齐次化原理 ................................................................................................ 16
2.2.1常系数二阶线性常微分方程的齐次化原理......................................... 17
2.2.2弦振动方程和热传导方程初边值问题的齐次化原理........................... 19
2.3特征值问题 ................................................................................................
2.3.1问题的提出 ...................................................................................... 20
2.3.2施图姆-刘维尔问题 .......................................................................... 21
2.3.3例子................................................................................................. 22
2.4特征展开法 ................................................................................................
2.4.1热传导方程的初边值问题 ................................................................. 25
2.4.2弦振动方程的初边值问题 ................................................................. 27
2.5分离变量法 ................................................................................................ 29
2.5.1有界弦的自由振动问题.....................................................................
· iv ·目录
2.5.2有界杆上的热传导问题..................................................................... 33
2.5.3拉普拉斯方程的定解问题 ................................................................. 34
2.6非齐次边界条件的处理 ............................................................................... 38
2.7物理意义，驻波法与共振 ............................................................................ 41 习题2................................................................................................................. 43
第3章积分变换及其应用 ........................................................................................ 47
3.1傅里叶变换 ................................................................................................ 47
3.2傅里叶变换的应用 ...................................................................................... 50
3.2.1热传导方程的初值问题..................................................................... 50
3.2.2弦振动方程的初值问题..................................................................... 53
3.2.3积分方程.......................................................................................... 56
.3.3半无界问题：对称延拓法 ............................................................................ 57
3.4拉普拉斯变换 ............................................................................................. 58
3.4.1拉普拉斯变换的概念 ........................................................................ 58
3.4.2拉普拉斯变换的性质 ........................................................................ 59
3.4.3拉普拉斯变换的应用 ........................................................................ 61 习题3................................................................................................................. 65
第4章双曲型方程的初值问题 ——行波法、球面平均法和降维法 ............................ 68
4.1弦振动方程的初值问题的行波法 ................................................................. 68
4.2达朗贝尔公式的物理意义 ........................................................................... 70
4.3三维波动方程的初值问题的球面平均法 ...................................................... 72
4.3.1三维波动方程的球对称解 ................................................................. 72
4.3.2三维波动方程的泊松公式 ................................................................. 73
4.4二维波动方程的初值问题的降维法 ............................................................. 75
4.5泊松公式的物理意义、惠更斯原理 .............................................................. 77 习题4................................................................................................................. 78
第5章位势方程的格林函数方法 ............................................................................. 81
5.1 δ-函数 ........................................................................................................ 81
5.1.1 δ-函数的概念 ................................................................................... 81
5.1.2 δ-函数的性质 ................................................................................... 82
5.2格林公式与基本解 ...................................................................................... 83
目录 · v ·
5.2.1格林公式.......................................................................................... 83
5.2.2基本解 ............................................................................................. 83
5.3调和函数的基本积分公式及一些基本性质 ................................................... 85
5.4格林函数 .................................................................................................... 86
5.5特殊区域上的格林函数及狄利克雷边值问题的解 ........................................ 88
5.5.1上半空间的格林函数、泊松公式 ........................................................ 88
5.5.2球上的格林函数、泊松公式 ............................................................... 90
5.6保角变换及其应用 ...................................................................................... 92
5.6.1解析函数的保角性............................................................................. 92
5.6.2常用的保角变换 ................................................................................ 94
5.6.3利用保角变换求解二维稳定场问题 .................................................... 99 习题5............................................................................................................... 101
第6章特殊函数及其应用 ...................................................................................... 104
6.1问题的导出 .............................................................................................. 104
6.2贝塞尔函数 .............................................................................................. 106
6.2.1贝塞尔方程的级数解法.................................................................... 106
6.2.2贝塞尔函数的性质........................................................................... 109
6.2.3其他类型的贝塞尔函数.................................................................... 114
6.3贝塞尔函数的应用 .................................................................................... 116
6.4勒让德函数 .............................................................................................. 119
6.4.1勒让德方程的幂级数解.................................................................... 119
6.4.2勒让德多项式的性质 ....................................................................... 121
6.4.3连带勒让德方程 .............................................................................. 123
6.5勒让德多项式的应用 ................................................................................ 124 习题6............................................................................................................... 125
第7章特殊解法和特殊解 ...................................................................................... 128
7.1线性发展方程初值问题的幂级数解 ........................................................... 128
7.2输运方程 .................................................................................................. 132
7.3 Hopf–Cole变换.......................................................................................... 134
7.3.1伯格方程的Hopf–Cole变换 ............................................................... 134
7.3.2 KdV方程的广义Hopf–Cole变换 ........................................................ 136
7.4自相似解 .................................................................................................. 138
· vi ·目录
7.5行波解 ..................................................................................................... 141
7.5.1直接积分法 ..................................................................................... 142
7.5.2待定导数法 ..................................................................................... 143
7.5.3待定系数法 ..................................................................................... 145 习题7............................................................................................................... 147 附录 A双曲函数 ................................................................................................... 149 附录 B积分变换表 ............................................................................................... 150 附录 C贝塞尔函数的零点表 ................................................................................. 152 附录 D部分习题参考答案 ..................................................................................... 153 参考文献 ................................................................................................................. 161
