前言

随着科学技术的进步和计算手段的提高，用数学方法研究自然科学和工程技术中的具体问题的领域越来越广．用数学方法研究实际问题的第一步，是建立关于所考查的对象的数学模型，从数量上刻画各物理量之间的关系．含有未知函数的偏导数的数学模型，在工程技术等问题的理论研究中有广泛应用．这类模型就是数学物理方程，这门课程就是解决数学物理方程的求解方法．

数学物理方法是高等院校理科中的物理和力学专业，工科中的土木、电子、信息、自动控制等专业的一门基础课．国内早在 20世纪六七十年代就出版了很多优秀的数学物理方法教材．近年来，国内高等教育迅速发展，在校学生人数急剧增加，教学规划和教材内容多次调整．为了适应新的形势，近期出现了许多新的改编教材和新出版的教材．由于不同院校之间高等数学的教学内容和深度存在较大的差别，这些教材都难免或多或少地存在一些不足．作者在为东南大学的强化班和电类专业本科生授课的过程中，吸收已出版的教材的优点，编写了这本教材．

在编写本教材的过程中，我们始终遵循以下原则：紧密结合工科数学教学实际，叙述简明，内容、深度和篇幅适当，强调数学概念和方法的实际背景，在注意介绍必要的理论的同时，突出解题方法．考虑到许多院校已经把复变函数的教学纳入高等数学，所以本教材没有详细介绍复变函数，仅在第 5章作为一节介绍了保角变换以及在求解拉普拉斯方程中的应用．

本书主要介绍三类典型方程（波动方程、泊松方程、热传导方程）的导出（偏微分方程模型的建立）、定解问题的解法、特殊函数、线性偏微分方程定解问题的几种简单的特殊解法、一些简单的非线性偏微分方程的求解方法和特殊解．只要有较好的高等数学基础就可以阅读和学习本教材．

全书共分 7章．第 1章从几个典型的物理问题出发，建立描述物理现象的偏微分方程模型，以及如何根据物理背景确定定解条件．

第 2章介绍特征（函数）展开法和分离变量法．因为特征展开法和分离变量法实质上是一回事，学生在该课程的先修课程“微积分”和“常微分方程”中已经掌握了幂级数展开和幂级数解法，因此，特征展开法和分离变量法相比较，在理论上前者更系统、直观，学生容易接受，在计算方面前者更简单、直接，所以，本教材打破已往惯例，把特征展开法放在分离变量法之前．

· ii ·前言

求解非齐次偏微分方程的一个重要方法是齐次化原理（杜阿梅尔原理），求解非齐次常微分方程的一个重要方法是常数变易法（公式）．但是，常微分方程的常数变易法实质上是齐次化原理．为了让读者更容易理解偏微分方程中的齐次化原理思想，多掌握一种常微分方程的求解方法，我们在第 2章的预备知识部分，利用齐次化原理重新推导了常微分方程的常数变易公式．

第 3章介绍积分变换法——傅里叶变换和拉普拉斯变换方法．

第 4章介绍双曲型方程的初值问题的求解方法——行波法、球面平均法和降维法．

第 5章介绍求解拉普拉斯方程的格林函数方法，同时还介绍了保角变换理论及其在求格林函数和求解拉普拉斯方程边值问题中的应用．

第 6章介绍两类重要的特殊函数 ——贝塞尔函数和勒让德函数，以及它们在求解偏微分方程的定解问题中的应用．

考虑到非数学专业的学生学习偏微分方程的主要目的是掌握求解方法，在第 7章中，首先介绍了线性偏微分方程的几种非常简单的特殊解法，接着介绍了一些简单的非线性偏微分方程的求解方法和两类特殊解——自相似解和行波解．

本书各章的内容基本上都是彼此独立，前 6章是最基本的，第 7章可作为学有余力的同学和研究生的学习内容．使用本书，大约需 44教学学时（不包括习题课课时）可以学完前 6章的全部内容，各章的学时数可参考下表：

章数  1  2  3  4  5  6 

学时数  3～5  8～9  6～8  4  7～8  10～12 

教师可以根据需要和学时数(例如，一学期 32学时)，对各章内容任意取舍，组织教学．

本书的部分内容参考了国内出版的一些教材，见本书所附的参考文献．同时，在编写讲义和成书的过程中，得到了许多同志的帮助与支持．东南大学的王元明教授和罗庆来教授对于本书的内容安排提出了许多建设性的建议．东南大学的陈文彦博士、杨明博士和李慧玲博士，对于本书的部分内容提出了修改建议并改正了一些版式错误．在此一并致谢．由于作者学识所限，错误和不足之处在所难免，还望读者予以批评指正．

作者 

2012年10月