第1篇弹性与塑性 力学基础 第1章 绪论 第1章绪论 1.1弹性力学与塑性力学概述 1.1弹性力学与塑性力学概述 弹性力学和塑性力学是固体力学的两个重要分支。固体力学是研究固体材料及其构成的物体结构在外部干扰(载荷、温度变化等)下的力学响应的科学,又按其研究对象而区分为不同的学科分支。例如,弹性力学是研究固体材料及由其构成的物体结构在弹性变形阶段的力学行为,包括在外部干扰下弹性物体的内力(应力)、变形(应变)和位移的分布,以及与之相关的原理、理论和方法; 塑性力学则研究它们在塑性变形阶段的力学问题。 1.1.1弹性与塑性的概念 物体受载荷作用而发生形状和尺寸的改变,即物体产生了变形。大多数材料都同时具有弹性和塑性性质,所谓弹性和塑性,只是材料力学性质的流变学分类法中两个典型性质或理想模型; 同一种材料在不同条件下可以主要表现为弹性的或塑性的。 若将引起物体变形的载荷移去以后,物体能完全恢复到原来的形状和尺寸,这种性质称为材料的弹性,这种可以完全恢复的变形是弹性变形。称发生这种变形的物体或物体的一部分处于弹性状态。因此所谓弹性材料或弹性物体是指在一定条件下主要呈现弹性性质的材料或物体。 如果施加在物体上的载荷超过某一极限(通常称为弹性极限载荷),再将载荷移去时,物体就不能恢复到原来的形状和尺寸,在物体内某些部分,应变将不随应力的消失而消失,物体产生了不可恢复的变形。这种变形不可恢复的性质称为材料的塑性,不随应力消失而恢复的那部分变形称为塑性变形,塑性变形又称残余变形。在加载过程中,物体的一部分产生塑性变形时,称该部分已进入塑性状态,同时将该部分称为物体的塑性区,未进入塑性状态的区域称为弹性区。 1.1.2弹性力学 弹性力学又称弹性理论,是研究载荷作用下处于弹性状态的变形固体中内力状态和变形规律的一门科学。它的研究对象是“完全弹性体”。 所谓“弹性”,它本是固体的一个基本力学属性,而“完全弹性”则是对于实际弹性物体的一种抽象,使它构成一个近似于真实物体的理想“模型”,然后对它进行数学和力学的处理,以求问题的解决。 固体的“完全弹性”的特征是: 对应于一定的温度T,受载物体中的应力和应变之间存在着一一对应的关系,和时间t无关,与它的历史无关。通常对于像钢一类的韧性材料,实验证明,当载荷未超过某一极限时,其应力与应变关系十分近似于线性; 但也有一些材料,例如某些有色金属和塑料等,却具有非线性性质。前者奠定了线性弹性力学的物理基础,而后者奠定了所谓非线性弹性力学的物理基础。通常所说的弹性力学就是指前者,这也是本书关于弹性力学所要讨论的内容范畴。 弹性力学的研究对象主要是板、壳、块体等非杆状结构,并对杆状结构作进一步分析,评估材料力学的初步结论的适用范围和精度。 1.1.3塑性力学 塑性力学又称塑性理论,是研究物体塑性状态的形成及其应力和变形规律的一门科学。它是继弹性力学之后,对变形体承载能力认识的发展和深化。 塑性变形具有和弹性变形不同的一些特点。由于塑性变形不可恢复,致使塑性应变和应力之间不再有一一对应的关系。塑性应变不仅与当前的应力状态有关,还和加载的历史有关。此外,进入塑性状态后,应力与应变之间不再保持线性关系,而是呈非线性关系。而这种非线性的特征又与所研究的具体材料有关。因此塑性力学就没有像广义胡克定律那样统一的规律,其分析问题的复杂程度远远超过弹性力学。 从物理上看,塑性变形属不可逆过程,并且必然伴随着机械能的损耗,因而它比弹性变形过程要复杂得多。从数学上看,塑性力学问题的本质是非线性的。 弹性力学与塑性力学同属唯象学范畴,研究方法也同出一辙。凡是弹性力学中不涉及物性因素的概念,如应力、应变及其理论; 力学模型,如均匀性连续性、平面应力、平面应变; 数学模型,如平衡微分方程、几何方程、边界条件等,均在塑性力学中继续使用。 1.2弹性力学与塑性力学中的研究方法和任务 1.2.1弹性力学与塑性力学的研究方法 1.2弹性力学与塑性力学中的研究方法和任务 弹性与塑性力学的研究方法大致都遵循着如下的主线: 工程实践或试验现象 的观察、分析、归纳→力学模型的建立→数学模型的建立→方程的求解 及实践检验 人对事物的认识总是由低级到高级,由简单到复杂,由片面逐步趋向全面,在相对真理的不断完善中趋近于绝对真理,因此认识总是有层次的。在某一层次中,科学的认识只能把握事物的主流,而不可能是它的全部及终极。 在力学问题中,为了突出问题的力学实质,需要把握主流变化规律,紧紧抓住其中的主要因素或主要方面,引进必要的简化和假设,建立起一种用以代替研究对象或工程的理想化、抽象化的分析对象,称为力学模型。 建立力学模型的基础是实践及试验。通过观察、分析、归纳,去粗取精,去伪存真,作出必要的简化及假设,方可建立起相应的力学模型。力学模型的正确与否最终取决于其结果能否经受实践的检验。如果结果符合工程精度要求,那么该力学模型基本反映了事物的本质,是正确的。倘若不相符合,或者进而提出更高的精度要求,那么就需要重新修改假设及力学模型,以满足工程要求。 物体的应力、变形研究是对力学参量量变、质变规律的研究。因此势必仰赖于数学这一工具,对力学模型的力学响应建立起度量概念,如应力、应变、位移、应变能,并将其数量变化规律概括成数学方程,即建立数学模型。 数学模型的具体建立,总体上按两种方法进行。第一种是传统的求解内力静不定问题的方法。因为变形固体的内力求解本质上是一个内力静不定问题,必须从静力(动力)学、变形几何及物性三方面通盘考虑,划归为一个偏微分方程组边值问题或初值问题的求解。第二种是能量法。即把分析力学的方法应用于变形体力学,将力学问题最终划归为一个能量泛函极值问题的求解,这一方法由于电算与数值分析方法的发展及应用,其价值越来越为人们所重视。 1.2.2弹性力学与塑性力学的任务 以弹性分析为基础的结构设计是假定材料为理想弹性的。相应地,这种设计观点便以分析结果的实际适用范围作为设计的失效准则,即认为应力(严格地说是应力的某一函数值)到达一定限值(弹性界限),将进入塑性变形阶段时,材料将被破坏。结构中如果某一处或一部分材料被“破坏”,则认为结构失效(丧失设计所规定的效用)。由于一般的结构都处于非均匀受力状态,当高应力点或高应力区的材料到达弹性界限时,结构的大部分材料仍处于弹性界限之内; 而实际材料在应力超过弹性界限以后并不实际发生破坏,仍具有一定的继续承受应力(载荷)的能力,只不过刚度相对地降低。因此弹性设计方法不能充分发挥材料的潜力,导致材料的某种浪费。实际上,当结构内的局部材料进入塑性变形阶段,再继续增加外载时,结构的内力(应力)分布规律与弹性阶段不同,即所谓内力(应力)重分布; 这种重分布使得内力(应力)分布更趋均匀,使原来处于低应力区的材料承受更大的应力,从而更好地发挥材料的潜力,提高结构的承载能力。显然,以塑性分析为基础的设计比弹性设计更为优越。但是,塑性设计允许结构有更大的变形,以及完全卸载后结构将存在残余变形。因此,对于刚度要求较高及不允许出现残余变形的场合,这种设计方法不适用。 另外,在有些问题(例如: 金属压延成形工艺)中,需要利用全局的塑性; 在有些问题(例如: 集中力作用点附近及裂纹尖端附近的应力场问题)中,如果不考虑材料的塑性,就从本质上得不到切合实际的结果。 材料力学、弹性力学和塑性力学在研究的基本内容及方法上有某些相同之处。例如,它们都是研究结构(杆件)在外部干扰下的力学响应。具体地说,是研究结构的强度、刚度和稳定性问题(有时统称为强度问题),以及结构的“破坏”准则或失效准则。在方法上都是在一定的边界条件(或再加上初始条件)下求解三类基本方程: 平衡(运动)方程、几何方程和本构(物理)方程。同时,都是以实验结果为依据,所得结果由实验来检验等。但是,由于材料力学(严格地说,是一般材料力学教材和课程)研究的对象主要限于细长体,即杆件,从而在三类基本方程之外,还根据实验观察引入了几何性的假设——截面平面假设。这实际上是对应变沿杆件横截面的分布规律作了近似的(线性的)假设,从而大大简化了计算,使得用初等方法就可获得解答。弹性与塑性力学一般不需引入这类假设,从而可以获得更为精确的结果,更重要的是扩大了研究对象的范围,它可包括各种实体结构(如挡土墙、堤等)、深梁、非圆截面杆的扭转、孔边应力集中,以及板壳等材料力学初等理论所不能解决的力学问题。当然。在弹性与塑性理论中,有时也引入某些几何性的假设,如薄板、薄壳变形中的直法线假设等; 又如在处理边界条件中同样要应用圣维南(Saint-Venant)原理等,以便既使求解成为可能或得到一定程度的简化,又能获得足够精确的结果。 弹性力学与塑性力学在众多工程技术领域,如机械、动力、土建、采矿、水利、航空、船舶、化工、国防工程等有着广泛的应用。它们以理论力学、材料力学、高等数学、数理方程等课程为基础,系统地介绍弹性和塑性力学的基本概念、基本理论和基本方法,为进一步学习板壳理论、断裂力学、损伤力学、有限单元法或者为其他某些工程专业后续课程打下基础。 1.3弹性力学与塑性力学中的基本假设 1.3弹性力学与塑性力学中的基本假设 固体材料一般分为晶体材料和非晶体材料两大类,绝大部分固体都是由晶体集合而成的。从微观结构看,晶体是由许多微粒(原子、分子或离子)有规则地、周期性地排列成一定的结晶格子(晶格)构成的。因此,晶体具有远程有序性,是各向异性材料,也就是说晶体的物理力学性质具有一定的方向性。例如,石英、金属等。但是,从宏观尺度上看,许多固体材料都是由众多晶粒方位杂乱地组合起来的,这时整个固体材料的物理力学性质宏观上表现为各向同性,因此可视为各向同性材料。例如,钢材、铝材等。有些固体材料即便是从宏观尺度上看也具有明显的各向异性,例如木材、岩层等,这时则应考虑材料物性的方向性。此外,关于固体组成材料分布的均匀性,以及固体中常存在的一些缺陷(如孔洞、微裂纹等)等问题,固体力学也主要是从宏观尺度去加以分析和处理的。因此,在弹性力学与塑性力学中,对于固体物性的方向性、组成材料的均匀性以及结构上的连续性等问题,是从较宏观的尺度,根据具体研究对象的性质,并联系求解问题的范围,尽量忽略那些次要的、局部的、对所研究问题的实质影响不大的因素,使问题得以简化,作出若干假设,使我们所建立的方程限制在方便可解的范围内。也就是说,弹性力学与塑性力学的研究对象是由实际工程材料抽象出来的可变形固体,建立这种理想模型时将引进如下一些基本假设。 1.3.1连续性假设 在弹性和塑性力学中,不考虑实际材料的微观粒子结构,而采用由宏观性能试验测定的材料统计物理性质(质量、弹性常数、膨胀系数等)来描述物体。认为变形体是一种密实无间隙的连续介质,并在整个变形过程中保持其连续性。 连续性假设有两层含义: (1) 把物体抽象成一个形状和位置与其相同,连续而密实的空间几何体,物体的统计物理性质以及位移、应变、应力能量等物理量都作为空间点位的函数定义在这个几何体上,这种抽象的模型称为连续介质。 (2) 物体在整个变形过程中始终保持连续,原来相邻的两个任意点,变形后仍是相邻点,不会出现开裂或重叠现象。定义在该连续介质上的物理量在变形过程中始终保持为空间点位的连续函数。基于这个假设就可利用高等数学中的微积分知识来处理连续介质问题。 连续介质是一个普遍概念,给它赋予不同的物理性质就可描述不同的物质,包括弹性体、塑性体、粘弹性体、粘塑性体等。 1.3.2均匀性与各向同性假设 均匀性指的是物体内各点处的力学性能都相等,与各点的空间位置无关。根据这一假设,我们在处理问题时,可以取出物体内的任一部分进行分析,然后将分析的结果用于整个物体。 若在物体内的同一点处的不同方向上具有相同的物理性质,则称为各向同性,由此种材料构成的物体为各向同性体。这时,物体的弹性常数不随坐标方向的改变而改变。 钢材、陶瓷甚至混凝土都可以认为是均质和各向同性的。但竹、木等纤维材料以及现代复合材料等,它们的力学性质随方向不同而有显著差异,则为各向异性材料。本书只讨论各向同性材料。 1.3.3完全弹性假设——物理线性假设 这一假设包含两方面的内容,一方面是完全弹性的假设,另一方面包含线性的假设。 所谓完全弹性(其含义已在1.1节给出),是指物体一经解除外载,它就完全恢复到原来的形状和大小而没有残余的变形。在物体内部,一定的应变状态必对应着一确定的应力状态。所谓线性,是指应力与应变呈线性关系,服从胡克(R.Hooke)定律。 对于各向同性的线弹性体,就可在任何方向上应用形式相同的胡克定律,线性和各向同性是广义胡克定律成立的充要条件。 1.3.4无初应力假设 物体在未受载荷作用之前处于一种无应力和应变的状态,称为初始“自然状态”。 1.3.5小变形假设——几何线性变形假设 物体内各点的位移与物体的最小特征尺寸相比是微小的,因而位移对坐标的偏导数(线应变与角应变)均远小于1,其二次方项或乘积项均为可略去不计的高阶小量。通常称这种理论为几何线性或小变形理论。对不符合这些限制条件的问题,则称为几何非线性或有限变形问题。 在这一假设前提下,研究物体的平衡时,可不考虑由于变形所引起的物体尺寸和位置的变化,在建立几何方程和物理方程时,可以略去二次幂或二次乘积以上的项,使得到的基本方程是线性偏微分方程组。这极大地减少了求解困难。 当有几种载荷同时作用在一个物体上时,只要物体仍处于弹性,即可按叠加原理来处理。也就是说可将一个复杂的受力问题分解为几种简单的受力情形分别求解。 在上述假设基础上建立起来的弹性力学称为数学弹性力学,或称为线性弹性力学。如果在此之外还进一步对变形和应力分布作出更多的补充假设,如杆件弯曲的平截面假设、板和壳弯曲时的克希霍夫(Kirchhoff)假设等,从而使问题在符合工程要求的精度下得到进一步的简化,使之更便于求解和应用,则称为应用弹性力学。 塑性力学与弹性力学同属固体连续介质力学的基本组成部分。因此在小变形情况下,在连续体基础上建立的弹性力学基本方程,如平衡方程、边界方程、几何方程等在塑性力学中同样适用。但是在塑性力学中还需要补充反映塑性变形的物理方程,而这种物理关系只有通过试验才能正确建立,因此塑性力学的试验研究工作显得特别重要,它是各种基础理论的依据和出发点。 根据对塑性变形的物理关系的不同描述,出现了不同的塑性理论。研究结构强度的塑性力学问题属于小塑性变形力学问题,又称为弹塑性变形理论。分析和评价金属塑性成形工艺过程的塑性力学问题,属于大塑性变形力学问题,又称为塑性流动理论。 1.4弹性与塑性力学的发展概况 1.4.1弹性力学的发展 1.4弹性与塑性力学的发展概况 人类系统地、定量地研究弹性力学是从17世纪开始的。弹性力学的发展初期,主要是通过试验探索弹性力学的基本规律。1678年,英国科学家胡克(R.Hooke)提出了胡克定律,即在单向应力状态下,弹性体的变形与所受的外力成正比。1687年,牛顿(Isaac Newton)确立了力学三大定律。在这一时期,数学也在迅速发展,为弹性力学的理论发展奠定了数学基础。从17世纪末开始,人们主要对梁进行理论研究,现在梁已属于材料力学的研究范畴。到了19世纪20年代,法国人柯西(A.L. Cauchy)明确地提出了应力、应变等基本概念,并且建立了几何方程和平衡方程,并将胡克定律推广到复杂应力状态,建立了广义的胡克定律。这一阶段奠定了弹性力学的理论基础。1855年至1856年,法国的圣维南(Saint-Venant)对柱体的扭转和弯曲进行了研究,发表了一些论文,并提出了著名的圣维南原理。1881年,德国的赫兹(R.Hertz)提出了有关接触问题的解,给出了两弹性体局部接触时的应力分布。1898年,德国的基尔施(G.Kirsch)发现了应力集中现象。他给出了受拉薄板中的小圆孔附近的应力分布。这些成果对提高机械、工程结构的设计水平起了重要的作用,由此奠定了弹性力学在工程界的地位。同期,弹性力学的虚功原理、最小总势能原理和最小总余能原理等陆续建立,从能量原理出发,发展了许多近似的计算方法,如瑞利-里兹(Rayleigh-Ritz)法、伽辽金(Galerkin)法等。它们推动了近似算法在工程领域的蓬勃发展。从20世纪20年代开始出现了许多边缘分支,如非线性弹性力学、考虑温度变化的热弹性力学、气动弹性力学、水弹性力学及粘弹性力学等。这些边缘分支的发展大大地丰富了弹性力学的内容,也促进了工程设计技术的发展。 1.4.2塑性力学的发展 虽然人们很早就发现了塑性变形,但是真正开始研究塑性力学却是在18世纪。1773年法国科学家库仑(C.A.Coulomb)提出土的本构关系。屈雷斯卡(H.Tresca)又把最大剪应力理论引用到了金属的塑性变形研究中,并于1864年提出了最大剪应力屈服条件。但塑性力学的理论基础则是由圣维南(Saint-Venant)和列维(M.Levy)在一个多世纪前所奠定的。圣维南认为在材料的塑性变形中,最大剪应力和最大剪应变增量方向应当一致。基于这一认识,列维于1871年将塑性应力应变关系由二维推广到了三维情况。波兰力学家胡勃(M.T.Houber)在1904年提出了材料的形状改变比能理论,米塞斯(R.Von Mises)于1913年进一步提出了应变能屈服条件,并独立地提出了和列维相同的塑性应变增量与应力关系的表达式。此后,1924年普朗特(L.Prandtl)和1930年罗伊斯(A.Reuss)提出了包括弹性应变增量部分的三维塑性应变增量和应力关系的表达式。这就是塑性力学中的增量理论。尤其值得重视的是: 在这个时期内进行了复杂应力状态下塑性变形规律的第一批系统的实验研究,此外,塑性力学也开始有成效地应用到工程技术中。1924年汉基(Hencky)对理想塑性材料建立了形变类型的理论,1937年那达依(Nadai)应用自然应变的概念解决大变形问题时,忽略弹性变形建立了大变形情况下的形变类型的理论。这套理论计算简单,但是适用面窄,不适用于复杂的加载过程。1943年伊留申(Ильюшин)在前两人工作的基础上,提出了强化材料在小变形情况下的微小弹塑性变形理论,即全量理论。1950年前后,在进一步研究塑性本构关系的同时着手强化理论的研究,先后提出了等向强化模型以及随动强化模型。1960年之后,力学学者们注意到本构关系的重要性,更加致力于塑性本构关系的研究。在实验上,开始运用先进的试验手段(如光塑性法、云纹法、散斑干涉法等)测量塑性变形。另外,由于计算机的发展,使得