



质点运动学





机械运动是指物体之间或同一物体各部分之间相对位置的变动，简称为运动。它是自然界中最简单、最普遍的一种运动形式，研究机械运动的规律及其应用的学科称为力学。
质点是力学中的理想模型之一。当物体的线度对所研究问题没有影响或影响不大时，可以把物体看做质点。利用这一模型，可以使所研究的问题大为简化。例如，研究弹道时，可以把炮弹当做质点； 研究地球绕太阳的公转时，可以把地球当做质点等。描述质点运动状态变化的物理量有： 位置矢量、位移、速度和加速度等。
本章主要内容是讨论以上各量之间的相互关系及如何用它们来描述物体的机械运动。研究物体位置随时间变化或运动轨道问题而不涉及物体发生运动变化原因的学科称为运动学。
1.1质点运动的描述
1.1.1参考系坐标系

在自然界中所有的物体都在不停地运动着，绝对静止的物体是不存在的。在观察一个物体的位置及其位置的变化时，总要选取其他物体作为参考。选取的参照物不同，对物体运动的描述也就不同，这是运动描述的相对性。例如，自由落体运动，在地面参照系中观察时，它是竖直向下的直线运动，如果在近旁驶过的车厢内观察，物体将做曲线运动。
在描述物体的运动状态时选取的参照物称做参考系。选择不同的参考系，对同一物体的运动情况的描述是不同的。因此，在讲述物体运动情况时，必须指明是对什么参考系而言的，参考系一经选定，物体运动的性质就确定了。
参考系的选择是任意的。在讨论地面上物体的运动时，通常选地球作为参考系。
选定参考系之后，就可以确切地、定量地描述一个质点相对于此参考系的位置，就得在此参考系上取一个参考点，并固定一个坐标系。最常见的坐标系是笛卡儿直角坐标系，但有时为了研究问题的方便，还选用极坐标系、球坐标系、柱坐标系和自然坐标系等。如图1-1所示，在笛卡儿直角坐标系中，质点P的位置就可以用坐标(x,y,z)来表示。
1.1.2位置矢量运动方程位移
1. 位置矢量

在图1-2所示的直角坐标系中，在时刻t，质点P的位置可用3个坐标x、y、z确定，如果从原点O向点P做有向线段r，它与点P(x,y,z)有一一对应关系，因此，可以借用从参考点O向点P做有向线段r来表示点P的位置，我们称r为点P的位置矢量，简称位矢。如取i、j和k分别表示沿x轴、y轴和z轴的单位矢量，那么在笛卡儿直角坐标系中，点P的位矢r亦可写成


r=xi+yj+zk(1-1)


位矢的大小为


r=|r|=x2+y2+z2


方向由方向余弦给出，即


cosα=x|r|，cosβ=y|r|，cosγ=z|r|


式中,α、β、γ分别是r与x、y轴和z轴之间的夹角。



图1-1质点的位置表示





图1-2位置矢量



若质点P的位置是(3，4，2），则点P的位置矢量就写为


r=3i+4j+2k


位置矢量的大小为


r=|r|=32+42+22=29


点P的方向余弦为


cosα=329，cosβ=429，cosγ=229


2. 运动方程
由于运动是与时间有关的，在不同时刻，质点的位置不同，用函数关系可以表示成


r(t)=x(t)i+y(t)j+z(t)k(1-2)


这就是质点运动方程的矢量表示。
此时，存在关系


x=x(t)
y=y(t)
z=z(t)(1-3)


这样一组函数称为质点的运动(参数)方程。知道了运动方程，我们就能确定任一时刻质点的位置，从而确定质点的运动轨迹。将质点的运动方程消去时间t，得到与坐标相关的方程，称为轨迹方程，在坐标系中可画出相应的轨迹曲线，如图1-3所示。


图1-3运动方程


如点P的位置矢量随时间的关系为


r=2ti+4t2j


则质点的运动方程为


x=2t，y=4t2


轨迹方程为


y=x2



式(1-2）也表明： 质点的实际运动是各分运动的矢量和，这个由空间的几何性质所决定的各分运动和实际运动的关系称为运动的叠加原理。
3. 位移
在图1-4中，质点在平面上沿图中曲线运动，t时刻位于点A，t+Δt时刻位于点B，质点相对原点O的位矢由r(t)变化到r(t+Δt)。在时间Δt内，位矢的长度和方向都发生了变化，可用矢量Δr来表示这个变化，其关系式为


r(t+Δt)-r(t)=Δr(1-4)


Δr是描述质点空间位置变化的物理量，是由起始点A指向终止点B的有向线段，称为位移矢量，简称位移。
位移不同于位置矢量。在质点运动过程中，位置矢量表示某时刻质点的位置，它描述该时刻质点相对于坐标原点的位置。位移则表示某段时间内质点位置的变化，是与运动过程相对应的。


图1-4位移矢量

位移也不同于路程。质点从A运动到B所经历的路程Δs是图1-4中从A到B的一段曲线长，路程是标量，恒取正值。在一般情况下，路程Δs与位移的大小|Δr|(图1-4中A到B之间的长度)并不相等。只有质点作单向的直线运动时，路程和位移的大小才相等。此外，在时间间隔Δt→0的极限情况下，点B无限靠近点A，弦AB与曲线AB的长度无限接近，此时，路程ds与位移的大小|dr|才相等，即


ds=|dr|


在笛卡儿直角坐标系中，位移Δr的表达式为


Δr=r2-r1
=(x2-x1)i+(y2-y1)j
=Δxi+Δyj


若点A的位置为r1=i+3j，点B的位置为r2=2i+4j，则由点A到点B之间的位移为


Δr=r2-r1=i+j


必须指出的是，质点的位置矢量与坐标原点的选取有关，而位移则与原点的选择无关。
1.1.3速度和加速度
1. 速度

在力学中，若仅知道质点在某时刻的位矢，不能同时知道该质点是静还是动，是动又动到什么程度时，还不能确定质点的运动状态。那么位移Δr和产生这段位移所用的时间Δt之间有怎样的关系？Δr/Δt是一个怎样的物理量呢？
从物理意义上来看，Δr/Δt反映了质点位置变化的快慢和位置变化的方向。由于它对应的是时间间隔而不是某一时刻或位置，我们称其为在Δt时间内的平均速度，以�瘙經-表示，即


�瘙經-=ΔrΔt(1-5)


平均速度�瘙經-是矢量，方向和位移方向相同，如图1-5所示。


图1-5平均速度与速度


实际上，当Δt→0时，式(1-5)的极限就是质点的位置矢量对时间的变化率，将其定义为质点在时刻t的瞬时速度(简称速度)，用�瘙經表示，即


�瘙經=limΔt→0ΔrΔt=drdt(1-6)


速度的方向就是Δt→0时，Δr的方向，如图1-5所示。当Δt→0，点B向点A趋近，而Δr的方向最后将与质点运动轨道在点A的切线方向一致。因此，质点在时刻t的速度方向沿着该时刻质点所在处运动轨道的切线指向运动的前方。这在日常生活中是经常可以观察到的。拴在绳子上作圆周运动的小球，如果绳子突然断开，小球总是沿切线方向飞出去。

可见，速度能够反映某一时刻或某位置时质点的运动快慢和运动方向，是描述质点运动状态的物理量。
速度的大小定义为速率，以v表示，即


v=|�瘙經|=drdt=limΔt→0|Δr|Δt(1-7a)


以Δs表示在Δt时间内质点沿轨道所经历的路程。当Δt→0时，由于|Δr|和Δs将趋于相同，因此有


v=limΔt→0|Δr|Δt=limΔt→0ΔsΔt=dsdt(1-7b)


这就是说，速度的大小又等于质点所走过的路程对时间的变化率。在以后的叙述中，对速率和速度的大小不再区别。
注意： 位移的大小|Δr|与位置矢量大小的变化量Δ|r|=Δr是有区别的，因此


v=drdt≠drdt


若将式(1-2)代入式(1-6)，在三维空间直角坐标系中，速度为


�瘙經=dxdti+dydtj+dzdtk=vxi+vyj+vzk(1-7c)


式中，�瘙經x=vxi，�瘙經y=vyj，�瘙經z=vzk分别是速度在x方向、y方向和z方向上的分速度(是矢量！)，vx、vy、vz分别是速度在x方向、y方向和z方向上的速度分量(是标量)。
在图1-5所示的平面运动中，上式变为


�瘙經=dxdti+dydtj=vxi+vyj(1-7d)


图1-6给出速度、分速度和速度分量之间的关系。
2. 加速度
作为描述质点运动状态的物理量，速度是矢量，当质点的运动速度随时间变化的时候，常常要搞清楚速度的变化情况。这时，需要引入描述速度变化的物理量——加速度。
如图1-7所示，质点在xOy平面内的运动轨迹为一曲线。若以�瘙經(t)和�瘙經(t+Δt)分别表示质点在t时刻和t+Δt时刻的速度，则质点的速度增量为Δ�瘙經=�瘙經(t+Δt)-�瘙經(t)，我们将Δ�瘙經Δt定义成平均加速度，它表示单位时间内的速度增量，即


a-=Δ�瘙經Δt(1-8)


当Δt→0时，平均加速度的极限值叫做瞬时加速度(简称加速度），用a来表示，即


a=limΔt→0Δ�瘙經Δt=d�瘙經dt(1-9a)


a的方向是Δt→0时Δ�瘙經的极限方向，而a的数值是Δ�瘙經Δt的极限值，即


a=|a|=limΔt→0Δ�瘙經Δt=d�瘙經dt





图1-6速度 分速度 速度分量




图1-7曲线运动的加速度



应当注意，加速度a同时反映了速度大小和方向的变化。特别地，加速度的方向指明了质点速度方向的变化趋势，所以质点作曲线运动时，加速度方向一般不与速度方向相同，即加速度方向不沿曲线切线方向。由图1-7中可以看出，在曲线运动中，加速度的方向总是指向曲线的凹侧。
利用式(1-7d)和式(1-9a)，有


a=dvxdti+dvydtj


即


a=ax+ay(1-9b)


同样，ax=dvxdt和ay=dvydt分别是a在x轴和y轴的分量，ax和ay分别是a在x轴和y轴的分加速度。
例1-1设质点的运动方程为r(t)=x(t)i+y(t)j，其中x(t)=t+2，y(t)=0.25t2+2，x、y以m计，t以s计。求： (1)质点的轨道方程并画出运动轨迹曲线； (2)质点的速度及t=3s时的速度； (3)1~2s内的平均速度； (4)质点的加速度。

解(1) 将质点的运动方程消去时间参数t，可得轨迹方程： 


y=0.25x2-x+3(m)


并可做出质点运动轨迹曲线，如图1-8所示。


图1-8

(2) 由题意可得速度为 


�瘙經=dxdti+dydtj=(1i+0.5tj)(m/s)


t=3s时的速度


�瘙經|t=3=1i+(0.5×3)j=(1i+1.5j)(m/s)


其大小为v=1.8m/s，与x轴正向的夹角为


θ=arctan1.5=56.3°


(3) 1~2s内的平均速度为


�瘙經-|1~2s=ΔrΔt=r(2)-r(1)2-1
=［(2+2)i+(0.25×22+2)j-(2i+2j)］

=(2i+j)(m/s)


(4) 质点的加速度为


a=dvxdti+dvydtj=0.5j(m/s)


1.2圆周运动
这一节中，我们将讨论一种较为简单的曲线运动——圆周运动。这是质点在确定平面上的运动轨迹为圆周的运动。
1.2.1圆周运动的速率和角速度
如图1-9所示，一质点在xOy平面上作半作为r的圆周运动，t时刻质点位于点A，相对于圆心O的位置矢量是r(这里可称径矢）。当质点在圆周上运动时，径矢r的大小不变，而与Ox轴正向之间的夹角θ随时间改变，


图1-9质点在平面上

作圆周运动

即θ是时间的函数θ(t)。它被称为质点做圆周运动时的角量运动方程，相应地θ角称为质点的角位置，又称角坐标。
我们定义： 角坐标随时间的变化率dθdt叫做角速度，用符号ω表示，即


ω=dθdt(1-10)


通常用弧度(rad)来量度θ，所以角速度ω的单位为弧度每秒，符号为rad/s。
如果在时间Δt内，质点由图上的点A运动到点B，所经过的弧长(路程)为Δs=rΔθ，Δθ为时间Δt内径矢r所转过的角度，称为角位移。当Δt→0时，ΔsΔt的极限值为


limΔt→0ΔsΔt=rlimΔt→0ΔθΔt


即


dsdt=rdθdt


而dsdt为质点在点A的速率，用v表示，所以


v=rω(1-11)


式(1-11)是质点作圆周运动时的速率和角速度之间的瞬时关系。

1.2.2变速圆周运动的切向加速度和法向加速度、角加速度
如图1-10(a)所示，质点在圆周上点A处的速度为�瘙經A，它的数值为|�瘙經A|=vA，方向与点A处圆的切线方向相同。经历了Δt时间后，质点运动到点B处，速度为�瘙經B。为了讨论的方便，我们假设|�瘙經A|<|�瘙經B|。显然，在Δt时间内，速度的增量为Δ�瘙經=�瘙經B-�瘙經A，如图1-10(b)所示，可将Δ�瘙經分成两个分矢量Δ�瘙經n和Δ�瘙經τ，则有


图1-10圆周运动




Δ�瘙經=Δ�瘙經n+Δ�瘙經τ


式中，|Δ�瘙經τ|是速度大小的增量，即


|Δ�瘙經τ|=|�瘙經B|-|�瘙經A|=Δ|�瘙經|=Δv


它表示了A、B两点速度大小的改变，方向与�瘙經B的方向相同。而Δ�瘙經n则表示了速度方向的改变。把上式代入式(1-9a)，得


a=limΔt→0Δ�瘙經Δt=limΔt→0Δ�瘙經nΔt+limΔt→0Δ�瘙經τΔt


令an=limΔt→0Δ�瘙經nΔt，aτ=limΔt→0Δ�瘙經τΔt，则 


a=an+aτ


下面分析an和aτ的大小、方向和物理意义。
当Δt→0时，点B无限趋近于点A，Δθ→0。Δ�瘙經τ的极限方向与�瘙經A相同，即点A处圆周的切线方向； Δ�瘙經n的极限方向与�瘙經A垂直，沿半径指向圆心。可见质点在A处的加速度a的两个分量an和aτ恰好分别指向圆周点A处的法向和切向这两个特殊方向。顾名思义，我们将an称做法向加速度(或向心加速度），将aτ称做切向加速度。
切向加速度的大小为


aτ=|aτ|=limΔt→0|Δ�瘙經τ|Δt=limΔt→0ΔvΔt=dvdt


又因为△OAB∽△QKC，所以


|Δ�瘙經n||�瘙經A|=ABr


故法向加速度的大小为


an=|an|=limΔt→0|Δ�瘙經n|Δt=|�瘙經A|rlimΔt→0ABΔt=v2Ar


由于A是圆周上的任意一点，所以质点在圆周上的法向加速度可写成


an=v2r


如果用en表示指向圆心的法向单位矢量，则


an=v2ren=rω2en(1-12)


同样，为了便于表示速度�瘙經的方向，我们在点A处圆的切线方向上取一单位矢量eτ，如图1-11所示，eτ称做切向单位矢量，于是点A的速度�瘙經可写为


图1-11变速圆周运动的

加速度




�瘙經=veτ(1-13)


式中v为速度�瘙經的大小，eτ则代表速度�瘙經的方向。有


aτ=dvdteτ(1-14)


另外，由式(1-11)可知


dvdt=rdωdt


式中，dωdt为角速度随时间的变化率，叫做角加速度，用符号α表示，即


α=dωdt=d2θdt2(1-15)


α的单位是弧度每二次方秒，符号为rad/s2。故有


aτ=rαeτ (1-16)


由式(1-12)和式(1-16)，可将质点作变速圆周运动时的加速度a表示成


a=aτ+an=dvdteτ+v2ren=rαeτ+rω2en(1-17) 


式中，切向加速度aτ是由速度大小的变化而引起的，法向加速度an则是由于速度方向的变化而引起的。这时加速度的大小为a=(a2n+a2τ)(见图1-11)，与切向夹角满足


tanφ=anaτ(1-18)


综上所述，对于圆周运动，其线量和角量之间的关系为


v=rω
aτ=rα
an=rω2(1-19)


应当指出，以上有关变速圆周运动中加速度的讨论及其结果，对任何平面上的曲线运动也都适用。只是与圆周运动中恒定半径r不同，计算式中要用曲线上相应点的曲率半径ρ代替r。若质点运动时，如果同时有法向加速度和切向加速度，那么速度的方向和大小将同时改变，这是一般曲线运动的特征。若质点运动时，如果只有切向加速度，没有法向加速度，那么速度不改变方向只改变大小，这就是直线运动。如果只有法向加速度，没有切向加速度，那么速度只改变方向不改变大小，这就是匀速曲线运动。
必须指出一点，在图1-11中，若以点A处切向单位矢eτ和法向单位矢en为垂直轴，所建立的二维坐标系称为自然坐标系。
例1-2一质点作半径为R的圆周运动，质点所经过的路程与时间的关系为s=12bt2，其中b是一个大于零的常量。求： (1)任意时刻的速率和角速度随时间的变化； (2)任意时间的角加速度、切向加速度和法向加速度； (3)总加速度。
解(1) 据题，可得质点在t时刻的速率为


v=dsdt=bt


由角速度和速率的关系v=rω，可得角速度


ω=vR=bRt


(2) 由角加速度的定义，得


α=dωdt=bR


任意时刻，质点的切向加速度和法向加速度的大小分别为


aτ=Rα=b， an=Rω2=(bt)2R


(3) 总加速度为


a=(a2n+a2τ)=bbt2R2+1


加速度a的方向，可由a与切向加速度aτ之间的夹角φ来确定，有


tanφ=anaτ=bt2R 


习题
一、  计算题
1-1-1质点的运动方程为x=-10t+30t2和y=15t-20t2，式中x和y的单位是m，t的单位是s。试求： (1)t=0和t=2s时质点的位置矢量； (2)t=0到t=2s内质点的位移Δr和平均速度�瘙經-； (3)质点初速度的大小和方向； (4)质点任意时刻加速度的大小和方向。
1-1-2一质点具有恒定加速度a=6i+4j，式中a的单位是m/s2，在t=0时，速度为零，位置矢量是r0=10i，单位是m。求： (1)质点在任意时刻的速度和位置矢量； (2)质点在xOy平面上的轨迹方程并画出轨迹示意图。
1-1-3一质点沿x轴正向运动，其加速度为a=kt(SI)。当t=0时，v=v0，x=x0。求： (1)质点的速度； (2)质点的运动方程。
1-1-4如图所示，A、B两物体由一长为l的刚性细杆相连，两物体可在光滑轨道上滑行。如物体A以恒定的速率�瘙經向右滑行，当α=60°时，B的速度为多少？
1-1-5如图所示，一动力玩具小车在水平平面内沿一圆弧形轨道运动。A处的速率为1m/s，到达B点时的速率为5m/s。设圆弧AB的半径为0.5m，且小车从A运动到B是匀变加速圆周运动，aτ=2t。求： (1)动力玩具小车到达点B所用的时间； (2)动力玩具小车在点B的加速度； (3)动力玩具小车从点A到达点B所经历的路程。



习题1-1-4图




习题1-1-5图



1-1-6一质点沿半径为R的圆周运动，路程s随时间t变化规律为s=v0t-12bt2。式中v0、b都是常量，且v20>Rb。(1)求t时刻质点的切向加速度、法向加速度和总加速度； (2)t为何值时总加速度在数值上等于b？此时质点转了多少圈？
1-1-7一质点作半径为r=0.1m的圆周运动，其角位置随时间的变化关系是θ=2+4t3，式中θ的单位是rad，t的单位是s。求： (1)t=2s时质点的切向加速度和法向加速度的大小； (2)当切向加速度的大小恰好等于总加速度大小的一半时，θ值等于多少？
1-1-8汽车在半径R=400m的圆弧弯道上减速行驶。设在某时刻，汽车的速率为10m/s，切向加速度的大小为aτ=0.2m/s2，求汽车的法向加速度和总加速度的大小和方向。
1-1-9一质点在水平面内沿半径R=2m的圆轨道运动，角速度与时间的关系为ω=bt2(b为常数)，已知t=1s时质点的速度大小为4m/s，求t=2s时质点的速率和加速度的大小。
二、 选择题
1-2-1一物体质量M=2kg，在合外力F=(3+2t)i(SI)的作用下，从静止开始运动，式中i为方向一定的单位矢量,则当t=1s时，物体的速度�瘙經为()。
(A) 2.5i(B) 2i(C) 3i(D) 不能确定
1-2-2一运动质点在某瞬时位于矢径r(x,y)的端点处,其速度大小为 ()。
(A) drdt(B) drdt(C) d|r|dt(D) dxdt2+dydt2
1-2-3质点沿半径R=1m的圆周运动，某时刻角速度为ω=1rad/s，角加速度为α=1rad/s2，则其速度和加速度的大小分别是 ()。
(A) 1，1(B) 1，2(C)  1，2(D) 2，2
1-2-4一质点沿Ox轴运动，其速度方程为v=10+2t2，已知t=0s时，质点位于x0=20m处，则t=2s时，质点的加速度和第2s内的位移分别为 ()。
(A) 8.0(m/s2)i，14.7(m)i(B) 8.0(m/s2)i，24(m)i
(C) 4.0(m/s2)i，14.7(m)i(D) 4.0(m/s2)i，24(m)i
1-2-5以大小为4m/s的初速度斜向上抛出物体A，抛体初速度与水平右向夹角为30°。若以抛出点为坐标原点，竖直向上为y轴正向，水平向右为x轴正向，建立二维直角坐标系，则在此坐标系中，质点t=3s时物体的加速度和任意时刻的位矢分别为(以g=