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绪论


内容提要

本章主要介绍水力学的定义及研究内容。同时介绍了连续介质模型、液体的特征及主要物理力学性质和作用在液体上的力。
1.1液体的连续介质模型


1.1液本的连续介质模型
液体是由无数没有微观运动的质点组成的没有空隙存在的连续体，并且认为表征液体运动的各物理量在空间和时间上都是连续分布的。
在连续介质模型中，质点是最小单元，具有“宏观小”、“微观大”的特性。
1.2液体的主要物理性质


1.2液体的主要物理性质
液体的主要物理性质有质量和重量、易流性、黏滞性、压缩性、表面张力等。
1. 质量和重量
质量是惯性的度量，质量越大，惯性越大。质量用符号m表示。
液体单位体积内所具有的质量称为液体的密度，用ρ表示。
对于均质液体，若其体积为V，质量为ｍ，则其密度为ρ=mV。
一般情况下，可将密度视为常数。如水的密度ρ=1000 kg/m3。水银的密度 ρm=13600 kg/m3。
2. 黏滞性
易流性： 液体受到切力后发生连续变形的性质。
黏滞性： 液体在流动状态之下抵抗剪切变形的性质。
切力、黏性、变形率之间的关系可由牛顿内摩擦定律给出： 


F=μAdudy(1.1)


式中，F为相邻液层之间的内摩擦力，亦可写为应力的形式τ=FA,在液体内部它们总是成对出现的； μ为动力黏性系数； A为流层间接触面的面积； dudy为液体的角变形率或流速梯度。



第1章绪论
3. 压缩性
液体受压后体积减小的性质称为液体的压缩性。用体积压缩系数来衡量压缩性大小： 


β=-dVVdp
(1.2)


β的单位为m2/N,其值越大，表示液体越易压缩。
β的倒数称为体积弹性系数，用K表示，即


K=1β=-dpdVV(1.3)


其单位为N/m2，K值越大，液体越难压缩。
4. 表面张力
表面张力是液体自由表面在分子作用半径一薄层内，由于分子引力大于斥力而在表层沿表面方向产生的拉力。通常用表面张力系数σ来度量，其单位为N/m。
1.3作用于液体的力


1.3作用于液体的力
液体无论是处于静止或运动状态都受到各种力的作用，这些力可以分为两类。
（1） 表面力： 作用在液体的表面或截面上且与作用面的面积成正比的力，如压力P、切力F。表面力又称为面积力。
（2） 质量力： 作用在脱离体内每个液体质点上的力，其大小与液体的质量成正比。如重力、惯性力。对于均质液体，质量力与体积成正比，故又称为体积力。
单位质量所受到的质量力称为单位质量力，由下式给出： 


fx=FxM

fy=FyM

fz=FzM
(1.4)


习题及解答


习题及解答
1.1如图有一薄板在水面上以u=2.0 m/s的速度作水平运动，设流速沿水深h按线性分布。水深h=1.0 cm，

题1.1图
水温为20℃。试求： (1)切应力τ沿水深h的分布； (2)若薄板的面积为A=2.0 m2，求薄板所受到的阻力F。
解： (1)  按水温20℃，查表查得水的动力黏性系数μ=1.005×10-3 N·s/m2，则由牛顿内摩擦定律有


τ=μdudy=μuh=1.005×10-3×20.01=0.201 (N/m2)


切应力τ为常数，沿间隙呈矩形分布。则薄板所受到的阻力为
(2) F=τA=0.201×2=0.402（N）
1.2如图有一宽浅的矩形渠道，其流速分布可由下式表示： 


u=0.002ρgμhy-y22


式中，ρ为水的密度； g为重力加速度； μ为水的动力黏性系数。
当水深h=0.5 m时，
试求： (1)切应力τ的表达式； (2)渠底(y=0)、水面(y=0.5 m)处的切应力τ，并绘制沿铅垂线的切应力分布图。
解： (1) 切应力τ的表达式为


τ=μdudy=0.002ρg(h-y)


(2) 在渠底： 


τ|y=0=0.002×9810×0.5=9.81(N/m2)


在水面： 


τ|y=0.5=0


(3) 由于切应力为线性分布，由已知两点的τ即可绘出切应力分布图如题解1.2图所示。


题1.2图



题解1.2图


1.3如图有一圆管，其水流流速分布为抛物线分布


u=0.001gμ(r20-r2)


式中，g为重力加速度；  μ为水的动力黏性系数。设半径r0=0.5 m。
试求： (1)切应力的表达式； (2)计算r=0和r=r0处的切应力，并绘制切应力的分布图； (3)用图分别表示图中矩形液块A，B，C经过微小时段dt后的形状以及上下两面切应力的方向。
解： 由牛顿内摩擦定律可求出τ的表达式。
(1) τ=-μdudr=0.002ρgr
(2)  τ|r=0=0

τ|r=r0=0.002×9810×0.5=9.81（N/m2）
(3) 作用在液块A，B，C上下表面切应力如题解1.3图所示。


题1.3图



题解1.3图


1.4由内外两个圆筒组成的量测液体黏度的仪器如图所示。两筒之间充满被测液体。内筒半径为r1，外筒与转轴连接，其半径为r2，旋转角速度为ω。内筒悬挂于一金属丝下，金属丝上所受的力矩M可以通过扭转角的值确定。外筒与内筒底面间隙为δ，内筒高度为H,试推导所测液体动力黏性系数μ的计算式。
解： 内筒侧面的黏性切应力为τ=μωr2δ1,其中δ1=r2-r1，阻力矩


M1=μωr2δ12πr1Hr1



而内筒之底面上，距转轴为r处的切应力为


题1.4图




τ=μωrδ


这样内筒的底面受到的阻力矩为


M2=∫r10μωrδ2πr2dr=12μωδπr41


由于M=M1+M2，则有


μ=Mωδπr4112+2δr2Hr21δ1


1.5一极薄平板在动力黏性系数分别为μ1和μ2两种油层界面上以u=0.6 m/s的速度运动，如图所示。μ1=2μ2，薄平板与两侧壁面之间的流速均按线性分布，距离δ均为3 cm。两油层在平板上产生的总切应力τ=25 N/m2。求油的动力黏性系数μ1和μ2。
解： 由牛顿内摩擦定律可知


τ=τ1+τ2=μ1dudy+μ2dudy
=μ22dudy+dudy=3μ20.60.03=60μ2


由于60μ2=τ=25 N/m2，
所以


μ2=0.415 N·s/m2，μ1=2μ2=0.830 N·s/m2




题1.5图



题1.6图


1.6如图所示，有一很窄间隙，高为h，其间被一平板隔开，平板向右拖动速度为u，平板一边液体的动力黏性系数为μ1，另一边液体动力黏性系数为μ2，计算平板放置的位置y。要求： (1)平板两边切应力相同； (2)拖动平板的阻力最小。
解： (1) 由牛顿内摩擦定律可写出


τ1=μ1uh-y，τ2=μ2uy


由于平板两边的τ1=τ2，即


μ1uh-y=μ2uy


可解出y=μ2hμ1+μ2，由于总切应力为


τ=μ1uh-y+μ2uy


根据极值原理dτdy=μ1u(h-y)2-μ2uy2=0，可解出


y=h1+μ1μ2


1.7(1) 一直径为5 mm的玻璃管铅直插在20℃的水银槽内，试问管内液面较槽中液面低多少？(2)为使水银测压管的误差控制在1.2 mm之内，试问测压管的最大直径为多大？
解： (1) h=10.8d=10.85=2.16（mm）
(2) 由1.2=10.8d，则得d=9 mm。

1.8温度为10℃的水，若使体积压缩1/2000，问压强需增加多少？
解： 查得温度t=10℃时弹性系数K=2.11×109
 N/m2，则根据弹性系数公式有


dp=KdVV=2.11×109×12000=1.06×106（N/m2）


补充题及解答


补充题及解答
1.1如图所示，水流在平板上运动，靠近板壁附近的流速呈抛物线分布，E点为抛物线的端点，流速为u=1.0 m/s，

补充题1.1图
并且流速梯度dudy=0，水的动力黏性系数μ=1.0×10-3 Pa·s，试求y=0，2,4 cm处的切应力。
解： 设流速分布为


u=Ay2+By+C(1)


由题给条件： y=0，u=0，代入式(1)可得出C=0。
由y=0.04 m，u=1.0 m/s代入式(1)可得出


0.0016A+0.04B=1(2) 


再由


dudyy=0.04 m=2Ay+B+C=0


可得出0.08A+B=0，解得


B=-0.08A(3)


将式(3)代入式(2)可解出


-0.0016A=1


即A=-625，则B=50，将A、B、C的值代入式(1)则得


u=-625y2+50y


可求出切应力


τ=μdudy=1.0×10-3(-1250y+50)


这样有


τ|y=0=5.0×10-2 N/m2，τ|y=0.02=2.5×
10-2 N/m2，τ|y=0.04=0


1.2一转轴在轴承中转动，如图所示，转轴直径d=0.36 m，轴承长度l=1.0 m，轴与轴承之间的间隙δ=0.2 mm，其中充满动力黏性系数μ=0.75 N·s/m2的润滑油。如果已知轴的转速n=200 r/min，求轴克服油的黏性阻力所消耗的功率。
解： 由于油层与轴承接触面上的速度为零。油层与轴接触面上的速度为


u=rω=rπn30=0.18×3.14×20030=3.77（m/s）


设油层在缝隙内的速度是线性的，即



dudy=uδ


轴表面上的切力


F=μAdudy=0.75×3.14×0.36×1.0×3.770.0002=1.598×104(N)


克服摩擦所消耗的功率


N=F×u=1.598×104×3.77=6.02×104（W）




补充题1.2图



补充题1.3图


1.3如图所示，上下两平行圆盘的直径为d，两盘之间的间隙为δ，间隙中流体的动力黏性系数为μ。若下盘不动，上盘以角速度ω旋转，不计空气摩擦力，求转动圆盘所需的阻力矩M。

 解： 假设两盘之间流体的速度为直线分布，上盘半径r处的切应力为


τ=μuδ=μrωδ


则所需阻力矩为


M=∫d20(τ×2πrdr)r=2πμωδ∫d20r3dr=πμωd432δ



1.4有一重量为G=9.5 N的圆柱体，直径d=150 mm，高度h=160 mm，在一内径D=150.5 mm的圆管中以速度u=4.6 cm/s匀速下滑，求圆柱体和管壁间隙中油液的动力黏性系数μ为若干。

补充题1.4图

解： 由力的平衡条件


G=τA


而


τ=μdudr


则


G=μdudrA
du=0.046 m/s，dr=0.1505-0.152=0.00025（m）


代入上式中可解出


μ=GdrduA=9.5×0.000250.046×0.16×3.14×0.15=0.685（Pa·s）



1.5如图所示，在水槽的静止液体表面上，有一面积A=1500 cm2的平板，拉动平板以速度u=0.5 m/s作水平移动，

补充题1.5图
使平板与槽底之间的水流作层流运动。平板下液体分两层，它们的动力黏性系数与厚度分别为μ1=0.14
2 N·s/m2，δ1=0.1 cm； μ2=0.235 N·s/m2，δ2=1.4 cm。试绘制平板间液体的流速分布图和切应力分布图，并计算平板所受的内摩擦力F。
解： 由于平板与槽底之间的水流为层流，
其切应力可用牛顿内摩擦定律求解，表面液层速度等于平板移动速度。设在液层分界面上，流速为u′，切应力为τ，因δ1、δ2很小，近似认为流速按直线分布。
上层液体的切应力


τ1=μ1u-u′δ1


下层液体的切应力


τ2=μ2u′-0δ2


根据题给条件τ=τ1=τ2，即


μ1u-u′δ1=μ2u′δ2


可解出 


u′=μ1δ2uμ2δ1+μ1δ2=0.142×0.0014×0.50.235×0.001+0.142×0.0014=0.23(m/s)


因为


τ=τ1=μ1u-u′δ1=0.1420.5-0.230.001=38.34(N/m2)


平板所受的内摩擦力


F=τ1A=38.34×1500×10-4=5.75(N)


切应力分布如补充题解1.5图所示。


补充题解1.5图



补充题1.6图


1.6一圆锥体绕其垂直中心轴以等角速度ω旋转，如图所示。已知锥体高为H，锥顶角为2α，锥体与锥腔之间的间隙为δ，间隙内润滑油的动力黏性系数为μ，试求锥体旋转所需的阻力矩M的表达式。
解： 设高度为h处的圆锥半径为r=htanα，沿h增加一微分量dh，其微分表面积dA=2πrdhcosα。设缝隙内的流速按直线变化，则


dudy=uδ=
ωrδ


所以在dh范围内的力矩为


dM=rτdA=rμdudydA=rμωrδ2πrdhcosα=2πμωδtan3αcosαh3dh



则作用于锥体的阻力矩为


M=∫dM=2πμωδtan3αcosα∫H0h3dh=2πμωδtan3αcosαH44


1.7一半球体，其半径为R，它绕竖直轴旋转的角速度为ω，半球体与凹槽之间隙为δ，如图所示，槽面涂有润滑油，其动力黏性系数为μ。试推证半球体旋转时，所需的旋转力矩为M=43πR4μωδ。


补充题1.7图

解： 由于球面上的任意点到转轴的距离为Rsinθ，则该点的切应力


τ=μωRδsinθ


则旋转力矩为M=AτRsinθdA，将dA=2πRsinθRdθ，及τ的表达式代入上式，可得


M=2πR4μωδ∫π20sin3θdθ=-2πR4μωδ∫π20(1-cos2θ)dcosθ=43πR4μωδ




补充题1.8图

1.8一个圆柱体沿管道内壁下滑。圆柱体直径d=100 mm，长度L=300 mm，自重G=10 N。管道直径D=101 mm，倾角θ=45°，内壁涂有润滑油，如图所示。测得圆柱体下滑速度为u=0.23 m/s，求润滑油的动力黏性系数μ。
解： 自重沿流动方向的分量与圆柱所受阻力成平衡，则


Gsinθ=F=μAdudy=μ2πd2Luδ


代入具体数值可得


μ=δ×G×sinθπ×d×L×u=0.0005×10×0.7073.14×0.1×0.3×0.23=0.163（N·s/m2）