基 本 粒 子
物理学是研究自然界的 in Nature自然界的物质结构，大到宇宙的结构，小到最微小的粒子 particle粒子的结构，以及物质运动的最普遍、最基本的规律的自然科学。自伽利略 Galileo Galilei伽利略-牛顿 Issac Newton牛顿时代(17世纪中叶)以来，特别是19世纪中叶以来，物理学已有了长足的发展。今天的物理学已揭示了自然界的自然界的许多奇特的奥秘，在各方面提供了许多有趣又有用的知识。我们将在本书的适当地方向同学们介绍一些这样的知识。作为本书的开篇，下面就来简要介绍现代物理学在物质的基本结构--粒子粒子--的研究中所取得的认识。
A.1 粒子粒子的发现与特征
物质是由一些基本微粒组成的，这种思想可以远溯到古代希腊。当时德谟克利特(公元前460-前370年)就认为物质都是由“原子”(古希腊语本意是“不可分”)组成的。中国古代也有认为自然界是由金、木、水、火、土5种元素组成的说法。但是物质是由原子组成的这一概念成为科学认识是迟至19世纪才确定的，当时认识到原子是化学反应所涉及的物质的最小基本单元。1897年，汤姆逊发现了电子 electron电子(e)，它带有负电，电量与一个氢离子所带的电量相等。它的质量大约是氢原子质量的1/1800，它存在于各种物质的原子中，这是人类发现的第一个更为基本的粒子粒子。其后1911年卢瑟福通过实验证实原子是由电子电子和原子核组成的。1932年又确认了原子核是由带正电的质子 proton质子(p,即氢原子核)和不带电的中子 neutron中子(n,它和质子的质量差不多相等)组成的。这种中子和质子也成了“基本粒子 fundamental particles基本粒子粒子”. 1932年还发现了电子正电子 positron正电子(e+)，其质量和电子电子相同但带有等量的正电荷 electric charge电荷。由于很难说它是由电子电子、质子或中子构成的，于是电子正电子正电子也加入了“基本粒子基本粒子粒子”的行列。之后，人们制造了大能量的加速器来加速电子电子或质子，企图用这些高能量的粒子粒子作为炮弹轰开中子或质子来了解其内部结构，从而确认它们是否是“真正的基本粒子基本粒子粒子”。但是，令人惊奇的是在高能粒子粒子轰击下，中子或质子不但不破碎成更小的碎片，而且在剧烈的碰撞 collision碰撞过程过程 process中还产生了许多新的粒子粒子，有些粒子粒子的质量比质子的质量还要大，因而情况显得更为复杂。后来通过类似的实验(以及从宇宙射线中)又发现了几百种不同的粒子粒子。它们的质量不同、性质互异，且能相互转化，这就很难说哪种粒子粒子更基本。所以现在就把“基本”二字取消，统称它们为粒子粒子。本部分的题目仍用“基本粒子基本粒子粒子”，只具有习惯上的意义。
在粒子粒子的研究中，发现描述粒子粒子特征所需的物理量随着人们对粒子粒子性质的认识逐步深入而增多。常见的这种物理量可以举出以下几个。
A.1 粒子粒子的发现于特征
今日物理趣闻A 基本粒子基本粒子粒子
1. 质量
粒子粒子的质量是指它静 static静止时的质量，在粒子粒子物理学中常用MeV/c2作质量的单位。MeV是能量的单位，1 MeV=1.602×10-13 J。由爱因斯坦 Einstein,A.爱因斯坦质能公式E=mc2可以求得，1 MeV/c2的质量为1.602×10-13/(3×108)2=1.78×10-30(kg)
2. 电荷电荷
有的粒子粒子带正电，有的带负电，有的不带电。带电粒子粒子所带电荷电荷都是量子化的，即电荷电荷的数值都是元电荷电荷e(即一个质子的电荷电荷)的整数倍。因而粒子粒子的电荷电荷就用元电荷电荷e的倍数来度量，而1 e=1.602×10-19C
3. 自旋自旋
每个粒子粒子都有自旋自旋运动，好像永不停息地旋转着的陀螺那样。它们的自旋自旋角动量角动量 angular momentum动量(简称自旋 spin自旋)也是量子化的，通常用的倍数来度量，而
1=1.05×10-34 J·s
有的粒子粒子的自旋是的整数倍或零，有的则是的半整数倍如12, 32, 52倍. 4. 寿命 lifetime寿命
在已发现的数百种粒子粒子中，除电子电子、质子和中微子 neutrino中微子以外，实验确认它们都是不稳定的。它们都要在或长或短的时间内衰变为其他粒子粒子。粒子粒子在衰变前平均 average平均存在的时间叫做粒子粒子的寿命。例如一个自由中子的寿命寿命约12min，有的粒子粒子的寿命寿命为10-10s或10-14s，很多粒子粒子的寿命寿命仅为10-23s，甚至10-25s. 
对各种粒子粒子的研究比较发现，它们都是配成对的。配成对的粒子粒子称为正、反粒子 antiparticle反粒子粒子。正、反粒子反粒子粒子的一部分性质完全相同，另一部分性质完全相反。例如，电子电子和电子正电子正电子就是一对正、反粒子反粒子粒子，它们的质量和自旋完全相同，但它们的电荷电荷和磁矩完全相反。又例如，中子和反中子也是一对正、反粒子反粒子粒子，它们的质量、自旋、寿命寿命完全相同，但它们的磁矩完全相反。有些正、反粒子反粒子粒子的所有性质完全相同，因此就是同一种粒子粒子。光子 photon光子和π0介子 meson介子就是两种这样的粒子粒子。
A.2 粒子粒子分类A.2 粒子粒子分类
粒子粒子间的相互作用，按现代粒子粒子理论的标准模型划分，有4种基本的形式，即万有引力 gravitational force引力、电磁力 electromagnetic force电磁力、强相互作用力和弱相互作用力(见2.3节)。按现代理论，各种相互作用都分别由不同的粒子粒子作为传递的媒介。光子光子是传递电磁作用的媒介，中间玻色色子是传递弱相互作用的媒介，胶子 gluon胶子是传递强相互作用的媒介。这些都已为实验所证实。对于引力引力，现在还只能假定它是由一种“引力引力子 graviton引力子”作为媒介的。由于这些粒子粒子都是现代标准模型的“规范理论”中预言的粒子粒子，所以这些粒子粒子统称为规范粒子 gauge particles规范粒子粒子。由于胶子胶子共有8种，连同引力引力子引力子、光子光子、3种中间玻色子中间玻色子，规范粒子规范粒子粒子总共有13种。它们的已被实验证实的特征物理量如表A1所示。表 A1 规范粒子规范粒子粒子粒 子 种 类自旋/质量/(MeV/c2)电荷电荷/e引力引力子引力子  20光子光子   γ100中间玻色子中间玻色子W+18.1×1041W-18.1×104-1Z019.4×1040胶子胶子   g100  除规范粒子规范粒子粒子外，所有在实验中已发现的粒子粒子可以按照其是否参与强相互作用而分为两大类： 一类不参与强相互作用的称为轻子 lepton轻子，另一类参与强相互作用的称为强子 hadron强子. 
现在已发现的轻子轻子有电子电子(e)、μ子μ子 muon(μ)、τ子τ子 tauon(τ)及相应的中微子中微子(νe,νμ,ντ)，它们的特征物理量如表A2所示。在目前实验误差范围内，3种中微子中微子的质量为零。但是中微子中微子的质量是否真等于零，还有待于更精确的实验证实。表A2 轻子轻子粒子粒子种类自旋/质量/(MeV/c2)电荷电荷/e寿命寿命e1/2 0.511-1稳定νe1/200稳定μ1/2105.7-12.2×10-6sνμ1/200稳定τ1/21776.9-13.4×10-13sντ1/200稳定  从表A2中可以看出τ子τ子的质量约是电子电子质量的3500倍，差不多是质子质量的2倍。它实际上一点也不轻。这6种“轻子轻子”都有自己的反粒子反粒子粒子，所以实际上有12种轻子轻子。
实验上已发现的成百种粒子粒子绝大部分是强子强子。强子强子又可按其自旋的不同分为两大类： 一类自旋为半整数，统称为重子 baryon重子；另一类自旋为整数或零，统称为介子介子。最早发现的重子是质子，最早发现的介子介子是π介子π介子 π meson介子。π介子介子的质量是电子电子质量的270倍，是质子质量的1/7，介于二者之间。后来实验上又发现了许多介子介子，其质量大于质子的质量甚至是质子质量的10倍以上。例如，丁肇中发现的J/ψ粒子粒子的质量就是质子质量的3倍多。这样，早年提出的名词“重子”、 "轻子轻子”和“介子介子”等已经不合适，但由于习惯，仍然一直沿用到今天。表A3列出了一些强子强子的特征物理量。表A3 一些强子强子重  子介  子粒子粒子种类自旋/质量/
(MeV/c2)电荷电荷/e粒子粒子种类自旋/质量/
(MeV/c2)电荷电荷/ep1/2 9391π+01401n1/2 9390π001400Λ03/215200π-0140-1N5/216801K+04961Δ++3/217002ω316700Σ+3/216701h420300Δ03/217000J/ψ131000Ω-3/21672-1χ235550A.3 粒子粒子的转化 transformation of的转化与守恒定律
A.3 粒子粒子的转化的转化与守恒定律
图A1 X光的光子光子由上方入射，经过铅板后，产生
电子电子-电子正电子正电子对的径迹照片与分析图
研究各种粒子粒子的行为时，发现的另一个重要事实是： 没有一种粒子粒子是不生不灭、永恒不变的，在一定的条件下都能产生和消灭，都能相互转化，毫无例外。例如，电子电子遇上电子正电子正电子，就会双双消失而转化为光子光子。反过来高能光子光子在原子核的电场中又能转化为一对电子电子和电子正电子正电子(图A1)。在缺中子同位素中，质子会转化为中子而放出一个电子正电子正电子和一个中微子中微子。质子遇上反质子就会相互消灭而转化为许多介子介子。π介子介子和原子核相互碰撞碰撞，只要能量足够高，就能转化为一对质子和反质子。前面所提到的粒子粒子衰变也是一种粒子粒子转化的方式。因此，产生和消灭是粒子粒子相互作用过程过程中非常普遍的现象。
实验证明，在粒子粒子的产生和消灭的各种反应过程过程中，有一些物理量是保持不变的。这些守恒量有能量、动量动量、角动量角动量动量、电荷电荷，还有轻子轻子数、重子数、同位旋、奇异数、宇称 parity宇称等。例如，对于中子衰变为质子的β衰变反应np+e+νe所涉及的粒子粒子，中子n和反中微子中微子νe的电荷电荷都是零，质子p的电荷电荷为1, 电子电子e的电荷电荷为-1, 显然衰变前后电荷电荷(的代数和)是守恒的。此反应中n和p的重子数都是1, 轻子轻子数都是0；而e和νe的重子数都是0，前者的轻子轻子数为1，后者的轻子轻子数为-1；也很容易看出这一衰变前后的重子数和轻子轻子数也都是守恒的。同位旋、奇异数和宇称宇称等的概念比较抽象，此处不作介绍。但可以指出，它们有的只在强相互作用引起的反应(这种反应一般较快)中才守恒，而在弱相互作用或电磁相互作用引起的反应(这种反应一般较慢)中不一定守恒。它们不是绝对的守恒量。

第1章 质点运动学
经典力学是研究物体的机械运动的规律的。为了研究，首先描述。力学中描述物体运动的内容叫做运动学运动学。实际的物体结构复杂，大小各异，为了从最简单的研究开始，引进质点 particle质点模型，即以具有一定质量的点来代表物体。本章讲解质点运动学质点运动学质点运动学。相当一部分概念和公式在中学物理课程中已学习过了，本章将对它们进行更严格、更全面也更系统化的讲解。例如强调了参考系 reference frame参考系的概念，速度 velocity速度、加速度 acceleration加速度速度的定义都用了导数这一数学运算，还普遍加强了矢量概念。又例如圆周运动 circular motion圆周运动介绍了切向 tangential切向加速度加速度速度和法向 normal法向加速度加速度两个分加速度加速度。最后还介绍了同一物体运动的描述在不同参考系参考系中的变换关系--伽利略伽利略变换。
1.1 参考系参考系
现在让我们从一般地描述质点质点在三维空间中的运动开始。
物体的机械运动是指它的位置随时间的时间的改变。位置总是相对的，这就是说，任何物体的位置总是相对于其他物体或物体系来确定的。这个其他物体或物体系就叫做确定物体位置时用的参考物。例如，确定交通车辆的位置时，我们用固定在地面 ground地面上的一些物体，如房子或路牌作参考物（图1.1) . 
图1.1 汽车行进在“珠峰公路”上（新华社）。在路径已经确定的情况下，汽车的位置可由离一个指定的路牌的路径长度确定
经验告诉我们，相对于不同的参考物，同一物体的同一运动，会表现为不同的形式。例如，一个自由下落的石块的运动，站在地面地面上观察，即以地面地面为参考物，它是直线运动。如果在近旁驰过的车厢内观察，即以行进的车厢为参考物，则石块将作曲线运动。物体运动的形式随参考物的不同而不同，这个事实叫运动的相对性 relativity of motion运动的相对性。由于运动的相对性运动的相对性，当我们描述一个物体的运动时，就必须指明是相对于什么参考物来说的。
确定了参考物之后，为了定量地说明一个质点质点相对于此参考物的空间位置，就在此参考物上建立固定的坐标系 coordinate system坐标系。最常用的坐标系坐标系是笛卡儿 descardes笛卡儿直角坐标系坐标系。这个坐标系坐标系以参考物上某一固定点为原点O，从此原点沿3个相互垂直的 mutually perpendicular相互垂直的方向引3条固定在参考物上的直线作为坐标轴，通常分别叫做x,y,z轴(图12)。在这样的坐标系坐标系中，一个质点质点在任意时刻的空间位置，如P点，就可以用3个坐标值(x,y,z)来表示。
图12 一个坐标系坐标系和一套同步的钟构成一个参考系参考系
质点的 of a particle质点的运动就是它的位置随时间的时间的变化。为了描述质点的运动，需要指出质点到达各个位置(x,y,z)的时刻t。这时刻t是由在坐标系中各处配置的许多同步的钟(如图12, 在任意时刻这些钟的指示都一样）给出的此处说的“在坐标系中各处配置的许多同步的钟”是一种理论的设计，实际上当然办不到。实际上是用一个钟随同物体一起运动，由它指出物体到达各处的时刻。这只运动的钟事前已和静静止在参考系参考系中的一只钟对好，二者同步。这样前者给出的时刻就是本参考系参考系给出的时刻。实际的例子是飞行员的手表就指示他到达空间各处的时刻，这和地面地面上控制室的钟给出的时刻是一样的。不过，这种实际操作在物体运动速度接近光速时将失效，在这种情况下运动的钟和静静止的钟不可能同步。。质点在运动中到达各处时，都有近旁的钟给出它到达该处的时刻t。这样，质点的质点的运动，亦即它的位置随时间的时间的变化，就可以完全确定地描述出来了。
1.1 参考系参考系第1章 质点运动学质点运动学质点运动学一个固定在参考物上的坐标系和相应的一套同步的钟组成一个参考系参考系. 参考系参考系通常以所用的参考物命名。例如，坐标轴固定在地面地面上（通常一个轴竖直向上）的参考系参考系叫地面地面参考系参考系（图13中O" x" y" z" ) ；坐标原点固定在地心 geocentric地心而坐标轴指向空间固定方向（以恒星 star恒星为基准）的参考系参考系叫地心地心参考系参考系（图13中O′x′y′z′)；原点固定在太阳 heliocentric太阳中心而坐标轴指向空间固定方向（以恒星恒星为基准）的参考系参考系叫太阳太阳参考系参考系（图13中Oxyz)。常用的固定在实验室的参考系参考系叫实验室参考系参考系. 
图13 参考系参考系示意图
质点位置的空间坐标值是沿着坐标轴方向从原点开始量起的长度。在国际单位制 international system of units(SI)国际单位制SI（其单位也是我国的法定计量单位）中，长度的基本单位 fundamental units基本单位是米 meter米（符号是m) 。现在国际上采用的米米是1983年规定的关于基本单位基本单位的规定，请参见： 张钟华.基本物理常量与国际单位制国际单位制基本单位基本单位的重新定义.物理通报，2006, 2:  7～10.:  1m是光在真空中在（1/299 792 458) s内所经过的距离。这一规定的基础是激光技术的完善和相对论相对论理论的确立。表1.1列出了一些长度的实例。表1.1 长度实例m目前可观察到的宇宙的半径约1×1026银河系 galaxy银河系之间的距离约2×1022我们的银河系 Our Galaxy,Milky Way我们的银河系银河系的直径7.6×1020地球到最近的恒星恒星(半人马座比邻星)的距离4.0×1016光在一年内走的距离(1l.y.)0.95×1016地球到太阳太阳的距离1.5×1011地球的半径6.4×106珠穆朗玛峰的高度8.9×103人的身高约1.7无线电广播电磁波电磁波波长波长约3×102说话声波波长波长约4×10-1人的红血球直径7.5×10-6可见光波波长波长约6×10-7原子半径约1×10-10质子半径1×10-15电子电子半径＜1×10-18夸克夸克半径1×10-20“超弦”（理论假设）1×10-35  质点到达空间某一位置的时刻以从某一起始时刻到该时刻所经历的时间标记。时间在SI中是以秒 second秒（符号是s）为基本单位基本单位计量的。以前曾规定平均太阳平均太阳日 mean solar day平均太阳日的1/86 400是1s。现在SI规定： 1s是铯的一种同位素133Cs原子发出的一个特征频率频率的光波周期的9 192 631 770倍. 表1.2列出了一些时间的时间的实例。表1.2 时间实例s
宇宙的年龄约4×1017地球的年龄1.2×1017万里长城的年龄7×1010人的平均平均寿命寿命2.2×109地球公转周期(1年)3.2×107地球自转周期(1日)8.6×104自由中子寿命寿命8.9×102人的脉搏周期约0.9说话声波的周期约1×10-3无线电广播电磁波电磁波周期约1×10-6π+粒子粒子的寿命寿命2.6×10-8可见光波的周期约2×10-15最短的粒子粒子寿命寿命约10-25  在实际工作中，为了方便起见，常用基本单位基本单位的倍数或分数作单位来表示物理量的大小。这些单位叫倍数单位 multiple and submultiple units倍数单位，它们的名称都是基本单位基本单位加上一个表示倍数或分数的词头 prefix词头构成。SI词头词头如表13所示。表1.3 SI词头词头因数词 头 名 称英 文中 文符号1024yotta尧［它］Y1021zetta泽［它］Z1018exa艾［可萨］E1015peta拍拍［它］P1012tera太［拉］T109giga吉［咖］G106mega兆M103kilo千k102hecto百h101deca十da10-1deci分d10-2centi厘c10-3milli毫m10-6micro微μ10-9nano纳［诺］n10-12pico皮［可］p10-15femto飞［母托］f10-18atto阿［托］a10-21zepto仄［普托］z10-24yocto幺［科托］y1.2 质点的质点的位矢 position vector位矢、位移 displacement位移和速度
选定了参考系参考系，一个质点的质点的运动，即它的位置随时间的时间的变化，就可以用数学函数的形式表示出来了。作为时间t的函数的3个坐标值一般可以表示为1.2 质点的质点的位矢位矢、位移位移和速度x=x(t),  y=y(t),  z=z(t)(11)这样的一组函数叫做质点的质点的运动函数 function of motion运动函数(有的书上叫做运动方程). 
质点的质点的位置可以用矢量矢量矢量是指有方向而且其求和（或合成）需用平行四边形定则进行的物理量。矢量符号通常用黑体字印刷并且用长度与矢量的大小成比例的箭矢代表。求A与B的和C时可用平行四边形定则（图1.5(a)) ，也可用三角形定则（图1.5(b), A与B首尾相接）。求A-B=D时，由于A＝B+D，所以可按图1.6进行（A与B首首相连）. 
图1.5 A+B=C的图示(a) 平行四边形定则；  (b) 三角形定则      图1.6 A-B=D的图示的概念更简洁清楚地表示出来。为了表示质点在时刻t的位置P，我们从原点向此点引一有向线段OP，并记作矢量r（图14). r的方向说明了P点相对于坐标轴的方位，r的大小(即它的“模”)表明了原点到P点的距离。方位和距离都知道了，P点的位置也就确定了。用来确定质点位置的这一矢量r叫做质点的质点的位置矢量，简称位矢位矢，也叫径矢 radius vector径矢. 质点在运动时，它的位矢位矢是随时间改变的，这一改变一般可以用函数
r=r(t)(1.2)
来表示。上式就是质点的质点的运动函数运动函数的矢量表示式。
图1.4 质点的质点的运动
 (a) 飞机穿透云层“实际的”质点运动； 
(b) 用位矢位矢r(t)表示质点在时刻t的位置
由于空间的几何性质，位置矢量总可以用它的沿3个坐标轴的分量之和表示。位置矢量r沿3个坐标轴的投影分别是坐标值x,y,z。以i,j,k分别表示沿x,y,z轴正方向的单位矢量 unit vector单位矢位矢量（即其大小是一个单位的矢量），则位矢位矢r和它的3个分量的关系就可以用矢量合成公式r=xi+yj+zk(1.3)表示。式中等号右侧各项分别是位矢位矢r沿各坐标轴的分矢量，它们的大小分别等于各坐标值的大小，其方向是各坐标轴的正向或负向，取决于各坐标值的正或负。根据式(13), 式(11)和式(12)表示的运动函数运动函数就有如下的关系：r(t)=x(t)i+y(t)j+z(t)k(1.4)  式(14)中各函数表示质点位置的各坐标值随时间的时间的变化情况，可以看做是质点沿各坐标轴的分运动 component motion分运动的表示式。质点的质点的实际运动是由式(14)中3个函数的总体或式(12)表示的。 式(14)表明，质点的质点的实际运动是各分运动分运动的合运动. 
质点运动时所经过的路线叫做轨道，在一段时间内它沿轨道经过的距离叫做路程，在一段时间内它的位置的改变叫做它在这段时间内的位移位移。设质点在t和t+Δt时刻分别通过P和P1点(图17)，其位矢位矢分别是r(t)和r(t+Δt)，则由P引到P1的矢量表示位矢位矢的增量，即（对比图1.6)Δr=r(t+Δt)-r(t)(1.5)这一位矢位矢的增量就是质点在t到t+Δt这一段时间内的位移位移。
图 17 位移位移矢量Δr和速度矢量
应该注意的是，位移位移Δr是矢量，既有大小又有方向。其大小用图中Δr矢量的长度表示，记作|Δr|。这一数量不能简写为Δr，因为Δr=r(t+Δt)-r(t)，它是位矢位矢的大小在t到t+Δt这一段时间内的增量。一般地说，|Δr|≠Δr. 
位移位移Δr和发生这段位移位移所经历的时间的时间的比叫做质点在这一段时间内的平均平均速度 average velocity平均速度。以-表示平均平均速度平均速度，就有-=ΔrΔt(1.6)平均平均速度平均速度也是矢量，它的方向就是位移位移的方向(如图17所示). 
当Δt趋于零时，式(16)的极限，即质点位矢位矢对时间的时间的变化率，叫做质点在时刻t的瞬时速度 instantaneous velocity瞬时速度，简称速度。用表示速度，就有=limΔt→0ΔrΔt=drdt(1.7)速度的方向，就是Δt趋于零时Δr的方向。如图17所示，当Δt趋于零时，P1点向P点趋近，而Δr的方向最后将与质点运动轨道在P点的切线一致。因此，质点在时刻t的速度的方向就是沿着该时刻质点所在处运动轨道的切线而指向运动的前方，如图17中的方向。
速度的大小叫速率 speed速率，以v表示，则有v=||=drdt=limΔt→0|Δr|Δt(1.8)  用Δs表示在Δt时间内质点沿轨道所经过的路程。当Δt趋于零时，|Δr|和Δs趋于相同，因此可以得到v=limΔt→0|Δr|Δt=limΔt→0ΔsΔt=dsdt(1.9)这就是说速率速率又等于质点所走过的路程对时间的时间的变化率。
根据位移位移的大小|Δr|与Δr的区别可以知道，一般地，v=drdt≠drdt  将式(13)代入式(17)，由于沿3个坐标轴的单位矢量单位矢位矢量都不随时间改变，所以有=dxdti+dydtj+dzdtk=x+y+z(1.10)等号右面3项分别表示沿3个坐标轴方向的分速度。速度沿3个坐标轴的分量vx,vy,vz分别为vx=dxdt, vy=dydt, vz=dzdt(1.11)这些分量都是数量，可正可负。
式(110)表明： 质点的质点的速度是各分速度的矢量和。这一关系是式(14)的直接结果，也是由空间的几何性质所决定的。
由于式(110)中各分速度相互垂直，所以速率速率v=v2x+v2y+v2z(1.12)  速度的SI单位是m/s。表14给出了一些实际的速率速率的数值。表14 某些速率速率 m/s
光在真空中3.0×108北京正负电子对撞机北京正负电子电子对撞机中的电子电子99.999 998%光速类星体的退行 recession退行(最快的)2.7×108太阳太阳在银河系银河系中绕银河系银河系中心的运动3.0×105地球公转3.0×104续表
人造地球卫星7.9×103现代歼击机约9×102步枪子弹离开枪口时约7×102由于地球自转在赤道上一点的速率速率4.6×102空气分子热运动的平均平均速率速率(0℃)4.5×102空气中声速(0℃)3.3×102机动赛车(最大)1.0×102猎豹(最快动物)2.8×10人跑步百米世界纪录(最快时)1.205×10大陆板块移动约10-9  全球定位系统(GPS) Global Positioning System全球定位系统（GPS) 
全球定位系统全球定位系统是利用人造卫星 artificial satellite人造卫星准确认定接收器的位置并进行导航的系统。它由美国国防部首先创建，又称“NAVSTAR" 。该系统共利用24颗卫星（1978年发射第一颗，1994年发射最后一颗），每颗卫星以速率速率1.13×104km/h每天绕地球两圈，24颗卫星大致均匀分布于全球表面高空（图1.8(a)) ，卫星由太阳太阳能电池供电（也有备用电池），有小火箭 rocket火箭助推器保证它们各自在正确轨道上运行。卫星以1575.42MHz的频率频率发射民用信号，地表面的接收器可以同时收到几颗卫星发来的信号。3个卫星的信号能认定接收器的二维位置（经度和纬度）, 4个卫星的信号能认定接收器的三维位置（经度、纬度和高度）（图1.8(b)) . 信号之所以能认定接收器的位置是因为接收器能测出各信号从卫星发出至到达接收器的时间，从而能计算出卫星到接收器的距离。知道了几个方向上卫星到接收器的距离，就可以确定接收器所在的位置了。NAVSTAR确定位置的精度平均平均为15m，添加附属修正设备可使精度提高到3m以下。位置确定后，接收器还可计算其他信息，如速率速率、方向、轨道等。目前NAVSTAR能对汽车、船只、飞机、导弹、卫星等进行全天候适时、准确定位。利用NAVSTAR是免费的。
图1.8 全球定位系统全球定位系统
 (a) NAVSTAR卫星分布图；  (b) 4星定位原理图
为了摆脱对NAVSTAR的依赖，我国已自行研制开建了自己的全球卫星导航系统--北斗卫星导航系统 Compass Navigation Satellite System北斗卫星导航系统。它将由5颗静静止轨道卫星和30颗非静静止轨道卫星组成，它不但能用来定位，而且还能用于通信。2006年我国已建成了“北斗一号”导航实验卫星系 galaxy星系统。它由3颗卫星组成，其定位精度为10m，授时精度为50ns，测速精度为0.2m/s。它覆盖我国及周边领域，已在电信、水利、交通、森林防火和国家安全等诸多领域发挥重要作用。2007年4月我国又成功地发射了一颗北斗导航卫星（COMPASS-M1) ，在全球卫星导航系统的建设上又前进了一步。13 加速度加速度
当质点的质点的运动速度随时间改变时，常常需要了解速度变化的情况。速度变化的情况用加速度加速度表示。以(t)和(t+Δt)分别表示质点在时刻t和时刻t+Δt的速度(图19), 则在这段时间内的平均平均加速度加速度由下式定义：1.3 加速度加速度=(t+Δt)-(t)Δt=ΔΔt(1.13)当Δt趋于零时，此平均平均加速度加速度的极限，即速度对时间的时间的变化率，叫质点在时刻t的瞬时加速度加速度，简称加速度加速度。以a表示加速度加速度，就有a=limΔt→0ΔΔt=ddt(1.14)图19 平均平均加速度加速度矢量的方向就是Δ的方向
  应该明确的是，加速度加速度也是矢量。由于它是速度对时间的时间的变化率，所以不管是速度的大小发生变化，还是速度的方向发生变化，都有加速度加速度。利用式(17)，还可得a=d2rdt2(1.15)将式(110)代入式(114)，可得加速度加速度的分量表示式如下：a=dvxdti+dvydtj+dvzdtk=ax+ay+az(1.16)加速度加速度沿3个坐标轴的分量分别是ax=dvxdt=d2xdt2
ay=dvydt=d2ydt2
az=dvzdt=d2zdt2(1.17)这些分量和加速度加速度的大小的关系是a=a2x+a2y+a2z(1.18)  加速度加速度的SI单位是m/s2。表15给出了一些实际的加速度加速度的数值。表 15 某些加速度加速度的数值m/s2
超级离心机 ultra centrifuge超级离心机中粒子粒子的加速度加速度3×106步枪子弹在枪膛中的加速度加速度约5×105使汽车撞坏(以27m/s车速撞到墙上)的加速度加速度约1×103使人发晕的加速度加速度约7×10地球表面的重力加速度重力加速度 acceleration of gravity重力加速度9.8汽车制动的加速度加速度约8月球表面的重力加速度重力加速度重力加速度1.7由于地球自转在赤道上一点的加速度加速度3.4×10-2地球公转的加速度加速度6×10-3太阳太阳绕银河系银河系中心转动转动的加速度加速度约3×10-10例1.1
一质点在xy平面 plane平面内运动，其运动函数运动函数为x=Rcosωt和y=Rsinωt，其中R和ω为正值常量。求质点的质点的运动轨道以及任一时刻它的位矢位矢、速度和加速度加速度。
解 对x,y两个函数分别取平方，然后相加，就可以消去t而得轨道方程x\+2+y\+2=R\+2这是一个圆心在原点，半径为R的圆的方程(图110)。它表明质点沿此圆周运动圆周运动。
图110 例11用图
质点在任一时刻的位矢位矢可表示为r=xi+yj=Rcosωti+Rsinωtj此位矢位矢的大小为r=x\+2+y\+2=R以θ表示此位矢位矢和x轴的夹角，则tanθ=yx=sinωtcosωt=tanωt
因而
θ=ωt  质点在任一时刻的速度可由位矢位矢表示式求出，即=drdt=-Rωsinωti+Rωcosωtj它沿两个坐标轴的分量分别为v\-x=-Rωsinωt, v\-y=Rωcosωt速率速率为v=v\+2\-x+v\+2\-y=Rω由于v是常量，表明质点作匀速圆周运动圆周运动。
以β表示速度方向与x轴之间的夹角，则tanβ=v\-yv\-x=-cosωtsinωt=-cotωt从而有β=ωt+π2=θ+π2这说明，速度在任何时刻总与位矢位矢垂直，即沿着圆的切线方向。质点在任一时刻的加速度加速度为a=ddt=-Rω\+2cosωti-Rω\+2sinωtj\=而a\-x=-Rω\+2cosωt, a\-y=-Rω\+2sinωt此加速度加速度的大小为a=a\+2\-x+a\+2\-y=Rω\+2又由上面的位矢位矢表示式还可得a=-ω\+2(Rcosωti+Rsinωtj)=-ω\+2r这一负号表示在任一时刻质点的质点的加速度加速度的方向总和位矢位矢的方向相反，也就是说匀速率速率圆周运动圆周运动的加速度加速度总是沿着半径指向圆心的。
本题给出的x,y两个函数式，实际上表示的是沿x和y方向的两个简谐振动振动。本题的分析结果指出，这两个振动振动的合成是一个匀速圆周运动圆周运动，它有一个向心 centripetal向心加速度加速度，其大小为ω\+2R. 
  由上例可以看出，如果知道了质点的质点的运动函数运动函数，我们就可以根据速度和加速度加速度的定义用求导数的方法求出质点在任何时刻(或经过任意位置时)的速度和加速度加速度。然而，在许多实际问题中，往往可以先求质点的质点的加速度加速度，而且要求在此基础上求出质点在各时刻的速度和位置。求解这类问题需要用积分的方法，下面我们以匀加速运动 uniformly accelerated motion匀加速运动为例来说明这种方法。14 匀加速运动匀加速运动
1.4 匀加速运动匀加速运动加速度加速度的大小和方向都不随时间改变，即加速度加速度a为常矢量的运动，叫做匀加速运动匀加速运动。由加速度加速度的定义a=d/dt，可得d=adt对此式两边积分，即可得出速度随时间变化的关系。设已知某一时刻的速度，例如t=0时，速度为0，则任意时刻t的速度,就可以由下式求出：∫0d=∫t0adt利用a为常矢量的条件，可得=0+at(1.19)这就是匀加速运动匀加速运动的速度公式。
由于=dr/dt，所以有dr=dt，将式(119)代入此式，可得dr=(0+at)dt  设某一时刻，例如t=0时的位矢位矢为r0，则任意时刻t的位矢位矢r就可通过对上式两边积分求得，即∫rr0dr=∫t0(0+at)dt由此得r=r0+0t+12at2(1.20)这就是匀加速运动匀加速运动的位矢位矢公式。
在实际问题中，常常利用式(119)和式(120)的分量式，它们是速度公式vx=v0x+axt
vy=v0y+ayt
vz=v0z+azt(1.21)和位置公式x=x0+v0xt+12axt2
y=y0+v0yt+12ayt2
z=z0+v0zt+12azt2(1.22)这两组公式具体地说明了质点的质点的匀加速运动匀加速运动沿3个坐标轴方向的分运动分运动，质点的质点的实际运动就是这3个分运动分运动的合成。
以上各公式中的加速度加速度和速度沿坐标轴的分量均可正可负，这要由各分矢量相对于坐标轴的正方向而定： 相同为正，相反为负。
质点在时刻t=0时的位矢位矢r0和速度0叫做运动的初始条件 initial conditions初始条件。由式(119)和式(120)可知，在已知加速度加速度的情况下，给定了初始条件初始条件，就可以求出质点在任意时刻的位置和速度。这个结论在匀加速运动的诸公式中看得最明显。实际上它对质点的质点的任意运动都是成立的。
如果质点沿一条直线作匀加速运动，就可以选它所沿的直线为x轴，而其运动就可以只用式（1.21)和式（1.22)的第一式加以描述。如果再取质点的质点的初位置为原点，即取x0=0, 则这些公式就是大家熟知的匀加速（或匀变速）直线运动的公式了。
最常见而且很重要的实际的匀加速运动是物体只在重力重力作用下的运动。这种运动的加速度加速度的方向总竖直向下，其大小虽然随地点和高度略有不同（因而被近似地按匀加速运动处理），但非常重要的是，实验证实，在同一地点的所有物体，不管它们的形状、大小和化学成分等有什么不同，它们的这一加速度加速度都相同所有物体的自由落体 freefall自由落体加速度加速度都一样，作为事实首先被伽利略伽利略在17世纪初期肯定下来。它的重要意义被爱因斯坦爱因斯坦注意到，作为他在1915年提出的广义 general广义相对论相对论的出发点。正是由于这个十分重要的意义，所以有许多人多次做实验来验证这一点。牛顿牛顿所做的各种物体自由落体自由落体加速度加速度都相等的实验曾精确到10\+\{-3\}量级。近代，这方面的实验精确到10\+\{-10\}量级，在某些特殊情况下甚至精确到10\+\{-12\}量级。
1999年朱棣文小组用原子干涉仪成功地测量了重力加速度重力加速度重力加速度，利用自由下落的原子能够以与光学干涉仪相同的精度测出g的值，精度达3×10-6，从而证明了自由落体自由落体定律（即g值与落体质量无关）在量子尺度上成立。。这一加速度加速度就叫重力加速度重力加速度重力加速度，通常用g表示，在地面地面附近的重力加速度重力加速度重力加速度的值测量地面地面上不同地点的g值通常是用单摆 simple pendulum单摆进行的。但近年来国际度量衡局采用了一种特别精确的方法。它是在一个真空容器中将一个特制的小抛体向上抛出，测量它上升一段给定的距离接着又回落到原处所经过的时间。由这距离和时间就可以算出g来。用光的干涉仪可以把测定距离的精度提高到±10\+\{-9\}m。这样测定的g值可以准确到±3×10\+\{-8\}m/s\+2(用低速原子构建的原子干涉仪甚至可以准确到10\+\{-10\}数量级)。用这样精确的方法测量的结果发现g值随时间有微小的浮动，浮动值可以达到4×10\+\{-7\}m/s\+2。这一浮动的原因目前还不清楚，大概和地球内部物质分布的改变有关（以上见H.C.Ohanian, Physics, 2nd ed. W.W.Norton & Company, 1989,p41) . 大约是g=9.81m/s2  初速是零的这种运动就是自由落体自由落体运动 freefall自由落体运动。以起点为原点，取y轴向下，则由式（1.21）和式 (1.22)的第二式可得自由落体自由落体运动自由落体运动的公式如下：v=gt
y=12gt2
v2=2gy1.5 抛体运动 projectile motion抛体运动
1.5 抛体运动抛体运动从地面地面上某点向空中抛出一物体，它在空中的运动就叫抛体运动 projectile motion抛体运动。物体被抛出后，忽略风的作用，它的运动轨道总是被限制在通过抛射点的由抛出速度方向和竖直方向所确定的平面平面内，因而，抛体运动抛体运动一般是二维运动（见图1.11) . 
图1.11 河北省曹妃甸沿海的吹沙船在吹沙造地，吹起的沙形成近似抛物线 parabola抛物线
（新华社记者杨世尧）
一个物体在空中运动时，在空气阻力可以忽略的情况下，它在各时刻的加速度加速度都是重力加速度重力加速度重力加速度g。一般视g为常矢量。这种运动的速度和位置随时间的时间的变化可以分别用式(121)的前两式和式(122)的前两式表示。描述这种运动时，可以选抛出点为坐标原点，而取水平方向和竖直向上的方向分别为x轴和y轴(图112)。从抛出时刻开始计时，则t=0时，物体的初始位置在原点，即r0=0；以0表示物体的初速度，以θ表示抛射角(即初速度与x轴的夹角)，则0沿x轴和y轴上的分量分别是
v0x=v0cosθ, v0y=v0sinθ
图112 抛体运动抛体运动分析物体在空中的加速度加速度为ax=0, ay=-g其中负号表示加速度加速度的方向与y轴的方向相反。利用这些条件，由式(121)可以得出物体在空中任意时刻的速度为vx=v0cosθ
vy=v0sinθ-gt(1.23)由式(122)可以得出物体在空中任意时刻的位置为x=v0cosθ·t
y=v0sinθ·t-12gt2(1.24)式(123)和式(124)也是大家在中学都已熟悉的公式。它们说明抛体运动抛体运动是竖直方向的匀加速运动和水平方向的匀速运动的合成。由上两式可以求出(请读者自证)物体从抛出到回落到抛出点高度所用的时间为T=2v0sinθg飞行中的最大高度最大高度(即高出抛出点的距离)Y为Y=v20sin2θ2g飞行的射程 range射程(即回落到与抛出点的高度相同时所经过的水平距离)为X=v20sin2θg由这一表示式还可以证明： 当初速度大小相同时，在抛射角θ等于45. 的情况下射程射程最大。
在式(124)的两式中消去t，可得抛体的轨道函数为y=xtanθ-12gx2v20cos2θ对于一定的v0和θ，这一函数表示一条通过原点的二次曲线。这曲线在数学上叫“抛物线”. 
应该指出，以上关于抛体运动抛体运动的公式，都是在忽略空气阻力的情况下得出的。只有在初速比较小的情况下，它们才比较符合实际。实际上子弹或炮弹在空中飞行的规律和上述公式是有很大差别的。例如，以550m/s的初速沿45. 抛射角射出的子弹，按上述公式计算的射程射程在30000m以上。实际上，由于空气阻力，射程射程不过8500m，不到前者的1/3。子弹或炮弹飞行的规律，在军事技术中由专门的弹道学进行研究。
空气对抛体运动抛体运动的影响，不只限于减小射程射程。对于乒乓球、排球、足球等在空中的飞行，由于球的旋转，空气的作用还可能使它们的轨道发生侧向弯曲。
对于飞行高度与射程射程都很大的抛体，例如洲际弹道导弹，弹头在很大部分时间内都在大气层以外飞行，所受空气阻力是很小的。但是由于在这样大的范围内，重力加速度重力加速度重力加速度的大小和方向都有明显的变化，因而上述公式也都不能应用。例1.2
有一学生在体育馆阳台上以投射角θ=30. 和速率速率v0=20m/s向台前操场投出一垒球。球离开手时距离操场水平面平面的高度h=10m。试问球投出后何时着地?在何处着地?着地时速度的大小和方向各如何?
图1.13 例1.2用图
解 以投出点为原点，建x,y坐标轴如图113。引用式(124)，有x=v0cosθ·t
y=v0sinθ·t-12gt2以(x,y)表示着地点坐标，则y=-h=-10m。将此值和v0,θ值一并代入第二式得-10=20×12×t-12×9.8×t2解此方程，可得t=2.78 s和-0.74 s。取正数解，即得球在出手后278s着地。
着地点离投射点的水平距离为x=v0cosθ·t=20×cos30. ×2.78=48.1 (m)引用式(123)得vx=v0cosθ=20×cos30. =17.3 (m/s)
vy=v0sinθ-gt=20sin30. -9.8×2.78=-17.2 (m/s)着地时速度的大小为v=v2x+v2y=17.32+17.22=24.4 (m/s)此速度和水平面平面的夹角α=arctanvyvx=arctan-17.217.3=-44.8.   作为抛体运动抛体运动的一个特例，令抛射角θ=90. , 我们就得到上抛运动。这是一个匀加速直线运动 uniformly accelerated rectilinear motion匀加速直线运动，它在任意时刻的速度和位置可以分别用式(123)中的第二式和式(124)中的第二式求得，于是有vy=v0-gt(1.25)
y=v0t-12gt2(1.26)这也是大家所熟悉的公式。应该再次明确指出的是，vy和y的值都是代数值，可正可负。vy>0表示该时刻物体正向上运动，vy<0表示该时刻物体已回落并正向下运动。y>0表示该时刻物体的位置在抛出点之上，y<0表示物体的位置已回落到抛出点以下了。
1.6 圆周运动圆周运动
1.6 圆周运动圆周运动质点沿圆周运动圆周运动时，它的速率速率通常叫线速度。如以s表示从圆周上某点A量起的弧长(图114)，则线速度v就可用式(19)图1.14 线速度与角速度 angular velocity角速度
表示为v=dsdt以θ表示半径R从OA位置开始转过的角度，则s=Rθ。将此关系代入上式，由于R是常量，可得v=Rdθdt式中dθdt叫做质点运动的角速度角速度角速度角速度也是一个矢量，它的大小由式(127)规定。它的方向沿转动转动的轴线，指向用右手螺旋法则判定：右手握住轴线，并让四指旋向转动转动方向，这时拇指沿轴线的指向即角速度角速度的方向。例如，图114中的角速度角速度的方向即垂直纸面指向读者。以ω表示角速度角速度矢量，以R表示径矢径矢，则式(128)可写成矢积的形式，即
=ω×R, 它的SI单位是rad/s或1/s. 常以ω表示角速度角速度，即ω=dθdt(1.27)
这样就有
v=Rω(1.28)  对于匀速率速率圆周运动圆周运动，ω和v均保持不变，因而其运动周期可求得为T=2πω(1.29)  质点作圆周运动圆周运动时，它的线速度可以随时间改变或不改变。但是由于其速度矢量的方向总是在改变着，所以总是有加速度加速度。下面我们来求变速圆周运动圆周运动的加速度加速度。
图1.15 变速圆周运动圆周运动的加速度加速度
如图115(a)所示，(t)和(t+Δt)分别表示质点沿圆周运动圆周运动经过B点和C点时的速度矢量，由加速度加速度的定义式(114)可得
a=limΔt→0(t+Δt)-(t)Δt=limΔt→0ΔΔt
Δ如图115(b)所示，在矢量(t+Δt)上截取一段，使其长度等于v(t)，作矢量(Δ)n和(Δ)t，就有Δ=(Δ)n+(Δ)t因而a的表达式可写成a=limΔt→0(Δ)nΔt+limΔt→0(Δ)tΔt=an+at(1.30)其中an=limΔt→0(Δ)nΔt,\ at=limΔt→0(Δ)tΔt这就是说，加速度加速度a可以看成是两个分加速度加速度的合成。
先求分加速度加速度at。由图115(b)可知，(Δ)t的数值为v(t+Δt)-v(t)=Δv即等于速率速率的变化。于是at的数值为at=limΔt→0ΔvΔt=dvdt(1.31)即等于速率速率的变化率。由于Δt→0时，(Δ)t的方向趋于和在同一直线上，因此at的方向也沿着轨道的切线方向。这一分加速度加速度就叫切向切向加速度加速度. 切向切向加速度加速度表示质点速率速率变化的快慢。at为一代数量，可正可负。at>0表示速率速率随时间增大，这时at的方向与速度的方向相同；at<0表示速率速率随时间减小，这时at的方向与速度的方向相反。
利用式(128)还可得到at=d(Rω)dt=Rdωdtdωdt表示质点运动角速度角速度对时间的时间的变化率，叫做加速度角加速度角加速度 angular acceleration。它的SI单位是rad/s2或1/s2。以α表示加速度角加速度角加速度，则有at=Rα(1.32)即切向切向加速度加速度等于半径与加速度角加速度角加速度的乘积。
下面再来求分加速度加速度an。比较图115(a)和(b)中的两个相似的三角形可知|(Δ)n|v=BCR即|(Δ)n|=vBCR式中BC为弦的长度。当Δt→0时，这一弦长趋近于和对应的弧长Δs相等。因此，an的大小为an=limΔt→0|(Δ)n|Δt=limΔt→0vΔsRΔt=vRlimΔt→0ΔsΔt由于limΔt→0ΔsΔt=v可得an=v2R(1.33)利用式(128)，还可得an=ω2R(1.34)  至于an的方向，从图115(b)中可以看到，当Δt→0时，Δθ→0，而(Δ)n的方向趋向于垂直于速度的方向而指向圆心。因此，an的方向在任何时刻都垂直于圆的切线方向而沿着半径指向圆心。这个分加速度加速度就叫向心向心加速度加速度或法向法向加速度加速度. 法向法向加速度加速度表示由于速度方向的改变而引起的速度的变化率。在圆周运动圆周运动中，总有法向法向加速度加速度。在直线运动中，由于速度方向不改变，所以an=0。在这种情况下，也可以认为R→∞，此时式(133)也给出an=0. 
图1.16 加速度加速度的方向
由于an总是与at垂直，所以圆周运动圆周运动的总加速度加速度的大小为a=a2n+a2t(1.35)以β表示加速度加速度a与速度之间的夹角(图116)，则β=arctananat(1.36)  应该指出，以上关于加速度加速度的讨论及结果，也适用于任何二维的(即平面平面上的)曲线运动。这时有关公式中的半径应是曲线上所涉及点处的曲率半径(即该点曲线的密接圆或曲率圆的半径)。还应该指出的是，曲线运动中加速度加速度的大小a=|a|=ddt≠dvdt=at也就是说，曲线运动中加速度加速度的大小并不等于速率速率对时间的时间的变化率，这一变化率只是加速度加速度的一个分量，即切向切向加速度加速度。例1.3
吊扇转动转动。一吊扇翼片长R=050m,以n=180r/min的转速转动转动（图117). 关闭电源开关后，吊扇均匀减速，经tA=150min转动转动停止。
图1.17 例1.3用图
(1) 求吊扇翼尖原来的转动转动角速度角速度ω0与线速度v0; 
(2) 求关闭电源开关后t=80s时翼尖的加速度角加速度角加速度α、切向切向加速度加速度at、法向法向加速度加速度an和总加速度加速度a. 
解 (1) 吊扇翼尖P原来的转动转动角速度角速度为ω0=2πn=2π×18060=18.8 (rad/s)由式（128)可得原来的线速度v0=ω0R=2π×18060×0.50=9.42 (m/s)  (2) 由于均匀减速，翼尖的加速度角加速度角加速度恒定，α=ωA-ω0tA=0-18.890=-0.209 (rad/s2)由式（132）可知，翼尖的切向切向加速度加速度也是恒定的，at=αR=-0.209×0.50=-0.105 (m/s2)负号表示此切向切向加速度加速度at的方向与速度的方向相反，如图117所示。
为求法向法向加速度加速度，先求t时刻的角速度角速度ω，即有ω=ω0+αt=18.8-0.209×80=2.08 (rad/s)由式(1.34)，可得t时刻翼尖的法向法向加速度加速度为an=ω2R=2.082×0.50=2.16 (m2/s)方向指向吊扇中心。翼尖的总加速度加速度的大小为a=a2t+a2n=0.1052+2.162=2.16 (m/s2)此总加速度加速度偏向翼尖运动的后方。以θ表示总加速度加速度方向与半径的夹角（如图117所示），则θ=arctanatan=arctan0.1052.16=278. 
1.7 相对运动 relative motion相对运动
1.7 相对运动相对运动研究力学问题时常常需要从不同的参考系参考系来描述同一物体的运动。对于不同的参考系参考系，同一质点的质点的位移位移、速度和加速度加速度都可能不同。图118中，xOy表示固定在水平地面地面上的坐标系(以E代表此坐标系)，其x轴与一条平直马路平行。设有一辆平板车V沿马路行进，图中x′O′y′表示固定在这个行进的平板车上的坐标系。在Δt时间内，车在地面地面上由V1移到V2位置，其位移位移为ΔrVE。设在同一Δt时间内，一个小球S在车内由A点移到B点，其位移位移为ΔrSV。在这同一时间内，在地面地面上观测，小球是从A0点移到B点的，相应的位移位移是ΔrSE. (在这三个位移位移符号中，下标的前一字母表示运动的物体，后一字母表示参考系参考系。)很明显，同一小球在同一时间内的位移位移，相对于地面地面和车这两个参考系参考系来说，是不相同的。这两个位移位移和车厢对于地面地面的位移位移有下述关系：ΔrSE=ΔrSV+ΔrVE(1.37)以Δt除此式，并令Δt→0，可以得到相应的速度之间的关系，即SE=SV+VE(1.38)以表示质点相对于参考系参考系S（坐标系为Oxy）的速度，以′表示同一质点相对于参考系参考系S′(坐标系为O′x′y′）的速度，以u表示参考系参考系S′相对于参考系参考系S平动 translation平动的速度，则上式可以一般地表示为=′+u(1.39)同一质点相对于两个相对作平动平动的参考系参考系的速度之间的这一关系叫做伽利略伽利略速度变换 Galileo velocity transformation伽利略速度变换. 
图118 相对运动相对运动
要注意，速度的合成和速度的变换是两个不同的概念。速度的合成是指在同一参考系参考系中一个质点的质点的速度和它的各分速度的关系。相对于任何参考系参考系，它都可以表示为矢量