第1篇 力学
宇宙间所有的物体都是运动的，运动是永恒的。运动形式多种多样，我们知道的有机械运动、热运动、电磁运动，等等。其中物体之间或物体各部分之间发生的相对位置的变化称为机械运动(mechanical  motion)。力学(mechanics)就是研究机械运动及其规律的物理学分支。
根据研究内容，力学可分为运动学(kinematics)、动力学(dynamics)和静力学(statics)。运动学研究物体运动的规律(第1章),  动力学研究物体运动的原因(第2章和第3章)，而静力学研究物体平衡时的规律(理论力学中讨论，本书不作专门讨论). 
根据研究对象，本书第1章～第3章为质点力学，研究对象为质点；第4章为刚体和流体力学，研究对象为刚体和理想流体。

第1章 质点运动学
运动学的主要任务是研究物体位置随时间变化的规律，并不涉及运动变化的原因。
质点运动学的主要内容涉及三个概念(质点、参考系、坐标系)、四个物理量(位置矢量、位移、速度、加速度)以及三种运动(直线运动、曲线运动、圆周运动),进而阐述运动描述的相对性。
1.1 质点 参考系 坐标系
【思考1-1】  
 (1)  为什么要把物体视为质点？  质点和几何学上的点有什么不同？
 (2)  讨论物体可视为质点的条件。质点是否一定是宏观尺度很小的物体？地球与小米粒相比哪个更可以视为质点？ 
 (3)  如果物体不能视为质点，如何研究其运动规律？
 (4)  分别以地球和太阳作参考系，讨论月亮的运动是怎样的。
 (5)  在火车站坐在火车上等待发车时，当看到右边的火车启动时，分别向右看和向左看站台，讨论坐车人的感觉。
 (6)   地球运动吗？解释歌词“月亮走，我也走”. 
1.1.1 质点
任何物体都有一定的大小和形状。一般情况下，当物体运动时，其各部分的位置变化是不同的，物体的运动情况非常复杂。
一般情况下，在描述物体的运动时，如果物体的大小远小于研究问题的范围时，物体的大小和形状可忽略不计；或者，当物体上各部分具有相同的运动规律，那么可以把物体视为只有质量没有形状和大小的几何点，称为质点(particle). 
如图1-1-1所示，飞行表演中的飞机姿态时时不同，有时俯冲，有时爬升，有时横滚，飞机上各点的运动轨迹不同。但对地面上的观察者来说，因为飞机离地面的距离远大于飞机本身的大小，所以在讨论飞机的航迹时，飞机的大小和形状可忽略，可以把飞机视为质点。  又如图1-1-2所示，日地间距为1.53×108km，地球半径为6.37×103km,因此，当以太阳为参考系讨论地球绕太阳的运动时，地球的大小和形状可忽略，地球可视为质点。
图 1-1-1
图 1-1-2
一个物体能否视为质点，与其大小无关，取决于研究问题的性质。
当一个物体不能视为质点时，可看成许多质点的集合--质点系。如果了解了其中每一个质点的运动规律，从理论上讲，则这个质点系的规律可循。
刚体是指不考虑物体在外力作用下产生的形变(任意两质点间距离保持不变)的特殊质点系。第4章将专门讨论刚体的具体规律。
本书力学的研究思路是
质点集合质点系特例刚体  【物理研究方法--理想化方法】
自然界发生的一切物理现象和物理过程一般都是比较复杂的，如果不分主次地考虑一切因素，不仅会增加研究的难度，而且也不能得出精确的结果，因此，就在物理研究中产生了理想化方法冯杰. 大学物理专题研究［M］.北京： 北京大学出版社，2011: 12-20.。理想化方法在自然科学研究中占有重要地位，在科技史上多次被一些著名科学家运用，是一种重要的科学研究方法。
在物理学中理想化方法主要表现为以下三种形式： 理想模型、理想过程和理想实验。
所谓理想模型，是指在原型(物理实体、物理系统、物理过程)的基础上，经过科学抽象而建立起来的一种研究客体。它忽略了原型的次要因素，集中突出了原型中起主导作用的因素，摒弃了次要矛盾，突出了主要矛盾。质点的概念就是在研究物体复杂运动时，考虑主要因素而忽略次要因素所引入的一个理想化的力学模型。物理学中有很多这样的理想模型，除了质点，还有刚体、理想流体、理想气体、点电荷等。
所谓理想过程，是指在研究物体的运动过程中忽略次要因素，只保留主要因素，将物体状态与运动的过程理想化。如匀速直线运动、自由落体运动、简谐振动、简谐波、完全弹性碰撞以及气体状态变化的等温过程、等压过程、等容过程和绝热过程、卡诺循环等。
所谓“理想实验”，又叫做“假想实验”、“抽象的实验”、“思想实验”或“思维实验”，它是人们在思想中塑造的理想过程，是一种逻辑推理的思维过程和理论研究的重要方法。如伽利略的惯性实验、爱因斯坦的理想火车等。
1.1.2 参考系
所有的物体都在不停地运动，没有绝对不动的物体，有诗云： “坐地日行八万里，巡天遥看一千河”。运动是绝对的，但是对运动的描述是相对的。要想描述物体如何运动，必须事先选定一个作为参考的物体。用来描述物体运动而选作参考的物体称为参考系(reference system)。选定的参考系不同，对同一物体运动的描述可能有不同的结果。也就是说，运动的描述是相对的。
需要强调的是： 第一，在描述物体的运动时，必须指明参考系，不同参考系对物体运动的描述不同；第二，在运动学中，参考系的选择是任意的，主要根据问题的性质和研究方便而定；第三，  常用参考系有太阳参考系、地心参考系、地面参考系、质心参考系。若不指明参考系，则认为以地面为参考系。
1.1.3 坐标系
为了定量地描述物体的运动，在选定的参考系上建立的带有标尺的数学坐标称为坐标系(coordinate system)。坐标系是固结于参考系上的一个数学抽象，是量化(大小和方向)的参考系。
常见的坐标系有时间坐标系(只含时间轴的坐标系)和空间坐标系(如直角坐标系、平面极坐标系、球坐标系等). 
坐标系的选择是任意的，主要由研究问题的方便而定。坐标系的选择不同，描述物体运动的方程也就不同。
【练习1-1】
1-1-1 在大学物理课程中，常用的空间坐标系为直角坐标系和平面极坐标系。在你的数学课程里，它们的坐标轴及坐标是如何规定的？它们使用于什么场合？
1-1-2 什么叫矢量？你知道矢量的加法、减法和乘法的法则吗？在直角坐标系中如何表示矢量及其运算法则？查看你的数学参考书，熟悉矢量的有关知识，这将对你的大学物理学习非常有帮助。
1-1-3 为了更好地帮助你理解矢量的有关知识，研究以下的问题： 
(1) 求两个矢量相加的最大值和最小值，并用图表示出来。
(2) 矢量a1、a2和a3三者大小相等、a1、a2和a3的方向的夹角依次为120. ，求这三个矢量的和。
(3) 在直角坐标系中用单位矢量表示矢量，利用矢量运算的定义推导： a+b=(ax+bx)i+(ay+by)j+(az+bz)k
a-b=(ax-bx)i+(ay-by)j+(az-bz)k
a·b=axbx+ayby+azbz
a×b=(aybz-byaz)i+(azbx-bzax)j+(axby-bxay)k  (4) 将长度为a与b的两矢量的尾对尾放在一起时，它们相交成θ角。在直角坐标系中用单位矢量表示矢量a与b，证明这两个矢量的和的大小满足余弦定理： |a+b|=a2+b2+2abcosθ  (5) 证明a·(b×a)为零对任何矢量a与b成立。
1.2 描述质点运动的物理量【思考1-2】   (1)  对于飞机的调度(空中管制)来讲，要想安全且合理地调配空中各架飞机，必须明确空中每一架飞机的空间位置、运动的快慢和方向以及运动快慢的变化，从而有效地控制各架飞机的起降。对于高速火车以及地铁的调度也必须知道每一列火车在铁轨上的空间位置、运动快慢和方向以及运动快慢的变化。讨论用哪些量能够确定空中的飞机、海洋上的轮船以及轨道上的机车的运动。
 (2)  哪些物理量可以描述质点运动情况呢？填写表1-2-1. 表 1-2-1描 述 对 象物理量定义直角坐标系下的表示位置位置变化位置变化快慢(率)速度变化快慢(率)
1.2.1 描述质点在某时刻位置的矢量--位置矢量
要确定一个质点的位置，首先要明确一个参考系，并在该参考系上确定一个坐标系(通常是直角坐标系，如图1-2-1所示)。由从原点O到质点所在的图 1-2-1
位置P点的有向线段r，可唯一确定质点相对坐标原点的位置，称r为位置矢量(position vector)，简称位矢。
在直角坐标系中，P点的坐标(x,y,z)唯一确定r的大小和方向。
位矢r的矢量表达式为r＝xi+yj+zk(1-2-1)  位矢r的大小为 r=|r|=x2+y2+z2        (1-2-2)  位矢r的方向用方向余弦表示为cosα=xr=xx2+y2+z2 
cosβ=yr=yx2+y2+z2              
cosγ=zr=zx2+y2+z2  (1-2-3)式中α、β、γ分别为位置矢量r与x轴、y轴、z轴的夹角。
1.2.2 运动方程 
当质点相对参考系运动时，用来确定质点位置的位置矢量r将随时间t变化，是时间t的单值连续函数。记作r=r(t)  (1-2-4a)称之为质点的运动方程(equation of kinematics). 
在直角坐标系中，有r(t)=x(t)i+y(t)j+z(t)k                        (1-2-4b)分量形式为x=x(t)
y=y(t)
z=z(t)(1-2-5)若把式(1-2-5)消去时间t，得到的是只含空间坐标的函数f(x,y,x)=0，其对应的空间曲线正是质点的运动轨迹。因此称f(x,y,x)=0为质点运动的轨迹方程(equation of trajectory). 
质点运动时，在坐标系中描绘的曲线称为运动的轨迹。轨迹是直线的称直线运动，轨迹是曲线的称曲线运动。
运动学的重要任务之一，就是找出各种具体运动所遵循的运动方程。
【讨论1-2-1】 写出下面运动的运动方程和轨迹方程： 
(1) 平抛运动；
(2) 斜抛运动；
(3) 匀速率圆周运动。
【分析】
(1) 初始位置为坐标原点，设初始时刻质点沿x轴以初速度v0抛出，则平抛运动的运动方程的分量形式为x=v0t
y=12gt2   轨迹方程为 y=g2v20x2  (2) 初始位置为坐标原点，初始时刻质点以与x轴成夹角为α的初速度v0抛出，则斜抛运动的运动方程的分量形式为x=v0cosαt
y=v0sinαt-12gt2  轨迹方程为y=xtanα-g2v20cos2αx2   (3) 设质点绕坐标原点作圆周运动，半径为r，单位时间内转过的圆心角为ω，则匀速率圆周运动的运动方程的分量形式为x=rcosωt
y=rsinωt  轨迹方程为x2+y2=r21.2.3 描述质点位置变化的大小和方向--位移矢量
如图1-2-2所示，质点沿曲线运动，t时刻在A点， t+Δt时刻在B点，则有向线段AB既图 1-2-2
反映了质点位置变化的大小，又反映了位置变化的方向，称之为位移矢量(displacement  vector)，用Δr表示。
若A点对应的位置矢量为r(t),  B点对应的位置矢量为r(t+Δt)，则根据矢量法则有Δr=r(t+Δt)-r(t)          (1-2-6)即位移矢量Δr等于末时刻的位置矢量r(t+Δt)减去初始时刻的位置矢量r(t)。图1-2-2中，矢量Δr(=AB)反映了Δt内质点位置移动的大小和方位。
【讨论1-2-2】
(1) 位置矢量和位移矢量有何不同?
(2) 位移和路程有何不同？
(3)  |Δr|和Δr的意义有何不同？在图中画出。
(4) 在直角坐标系中如何表示位移的大小和方向？
【分析】
(1)  位置矢量反映质点的空间位置，是某时刻质点相对于参考点的矢量；而位移反映的是位置矢量的变化，是质点的初始位置指向末了位置的矢量。
(2) 位移是矢量，表示质点位置变化的净效果，与质点运动轨迹无关，只与始末点的位置有关。路程是标量，是质点通过的实际路径的长度，与质点运动轨迹有关。只有当单向直线运动时或时间趋于无限小，位移的大小和路程相等；其他情况下，两者不相等。
(3) 符号Δ为希腊文delta的大写，它代表其后面物理量的变化或增量，即相应物理量的末值减去初值。
|Δr|表示位置矢量的“差之模”，即位移(位矢增量)的大小|Δr|=|rB-rA|. 
Δr表示位置矢量的“模之差”，即位矢的径向增量Δr=|rB|-|rA|=rB-rA. 
|Δr|和Δr一般不相等，即Δr ≠ |Δr|，如图1-2-3所示。
(4) 位移在直角坐标系下的描述Δr=r2-r1=(x2-x1)i+(y2-y1)j+(z2-z1)k
=Δxi+Δyj+Δzk(1-2-7)其中图1-2-4是二维平面中位移矢量在直角坐标系下的示意图。
图 1-2-3
图 1-2-4
1.2.4 位移对时间的变化率--速度
飞机在8:30从上海虹桥机场起飞，11:00到达北京首都机场，航程约为1300km。在这段时间内(视为直线运动)其位移大小为1300km，路程为1300km。在11:45该飞机从首都机场起飞，14:00飞回到上海虹桥机场。在8:30到14:00这段时间内，飞机的位移为零，路程为2600km. 
可见，在不同的时间段里，描述同一架飞机的位移和路程的结果是不同的。反映这种位置变化不同的物理量称为速率或速度。
表1-2-2所示为某些典型速度大小的量级。表1-2-2 某些典型速度大小的量级m/s典 型 情 况速度量级光(真空中)3.0×108已知类星体最快的退行2.7×108电子绕核的运动2.2×108太阳绕银河中心的运动2.0×105地球绕太阳的运动3.0×104第二宇宙速度1.1×104第一宇宙速度7.8×103子弹出口速度约7×102地球的自转(赤道上的一点)4.6×102典 型 情 况速度量级空气分子热运动的平均速度(室温)4.5×102空气中的声速(0℃)3.3×102民航喷气客机2.7×102人的最大速度12人的步行1.3蜗牛爬行约10-3冰河移动约10-6头发生长3×10-9大陆漂移约10-9  质点的位移与发生这段位移所经历时间之比定义为平均速度(average velocity)。即平均速度=位移时间间隔用公式表示为-=ΔrΔt                                                      (1-2-8a)  质点的路程与发生这段路程所经历时间之比定义为平均速率(average speed)。即平均速率=路程时间间隔 用公式表示为v-=ΔSΔt                                                      (1-2-8b)  平均速率取决于质点在这段时间内运动的总路程，平均速度则不依赖于质点所走过的实际路程，而依赖于它起点和终点的位置。一般情况下，平均速度的大小和平均速率不相等(除了以上的飞机的例子，你还有其他的例子吗？). 
在上述飞行过程中，飞机有加速过程，有减速过程，有静止在跑道的状态。飞机的速度表指示不断在变化，如何精确描述飞机每一时刻的运动变化呢？图 1-2-5

如图1-2-5所示， 为了精确地描述质点的运动变化，当Δt趋于零时， B点趋于A点，平均速度的极限表示质点在t 时刻通过A点的瞬时速度(instantaneous velocity)，简称速度。表示为=limΔt→0ΔrΔt=drdt                                                            (1-2-9a)即速度等于位置矢量对时间的一阶导数，其方向沿轨道上质点所在处的切线，指向前进的一侧。
为求出t 时刻通过 A 点的瞬时速度，我们假设Δt趋于零，这样做的结果有三个： ①在图1-2-5中，位置矢量rB移向rA而使位移Δr缩小到零； ②平均速度-=ΔrΔt的方向趋于质点的轨迹上A点的切线方向； ③平均速度趋向t 时刻通过 A 点的瞬时速度。
瞬时速度的大小称为瞬时速率(instantaneous speed)。用公式表示为v=||=limΔt→0|Δr|Δt=limΔt→0ΔsΔt=dsdt                                          (1-2-9b)可以看出瞬时速率也等于路程对时间的一阶导数。
【讨论1-2-3】
(1) 速度与速率的区别和联系。
(2) 速度在直角坐标系下的描述。
【分析】
(1) 速度是矢量，具有矢量性、瞬时性、相对性。速率是标量。
一般情况下，平均速度的大小不等于平均速率，但瞬时速度的大小等于瞬时速率。即|-|≠v-
||=v  在SI制中，速度的单位为米/秒(m/s). 
(2) 速度在直角坐标系下的描述:=drdt=dxdti+dydtj+dzdtk                                        (1-2-10a)
=vxi+vyj+vzk
vx=dxdt, vy=dydt, vz=dzdt速度的大小v=||=v2x+v2y+v2z(1-2-10b)速度的方向cosα′=vxv2x+v2y+v2z
cosβ′=vyv2x+v2y+v2z
cosγ′=vzv2x+v2y+v2z(1-2-10c)式中α′、β′、γ′分别为速度矢量与x轴、y轴、z轴的夹角。
1.2.5 速度对时间的变化率--加速度 
飞机在起飞、平飞和降落过程中，速度的变化是不同的。描述速度对时间的变化率的物理量称为加速度(acceleration). 
若Δt内速度的变化Δ=(t+Δt)-(t)，用ΔΔt可粗略描述质点速度大小和方向改变的快慢，称为平均加速度(average  acceleration)。即平均加速度=速度的增量时间间隔用公式表示为a-=(t+Δt)-(t)Δt=ΔΔt                                (1-2-11)令Δt趋于零时，得到的平均加速度的极限可精确描述质点的速度变化，称为质点通过该点的瞬时加速度(instantaneous  acceleration)，简称加速度。用公式表示为a=limΔt→0ΔΔt=ddt=d2rdt2                                 (1-2-12)即加速度等于速度对时间的一阶导数，或位置矢量对时间的二阶导数。如果速度的大小或方向中任一个改变或两者均变，质点就一定有加速度。
加速度的方向就是时间Δt趋近于零时，速度增量Δ的极限方向。加速度与速度的方向一般不同。
表1-2-3所示为某些常见事件的加速度值。
【讨论1-2-4】
(1) 加速度与速度的方向一般不同，以下各种情况下质点作什么运动？
① 加速度与速度的夹角为0. 或180. ; 
② 加速度与速度的夹角恒等于90. ; 
③ 加速度与速度的夹角小于90. ; 
④ 加速度与速度的夹角大于90. .   表1-2-3 某些常见事件的加速度值m/s2事  件加速度值电梯启动1.9飞机起飞4.9地球表面自由落体9.8月球表面自由落体1.7太阳表面自由落体2.7×102事  件加速度值使人昏晕约70火箭升空约50～100子弹在枪膛中的运动约5×105质子在加速器中的运动约1013～1014  (2) 加速度在直角坐标系下的描述。
【分析】
(1) 质点作直线运动时，加速度的方向要么一致(夹角为0. )，作加速运动；要么相反(夹角为180. )，作减速运动。
加速度与速度有夹角时，质点作曲线运动，这时加速度总是指向轨迹曲线凹的一边。加速度与速度的夹角小于90. 时，质点加速；加速度与速度的夹角大于90. 时，质点减速。加速度与速度的夹角为90. 时，质点作圆周运动。
加速度具有矢量性、瞬时性、相对性的性质。在SI制中，加速度的单位为米每二次方秒  (m/s2). 
(2)  加速度在直角坐标系下的描述a=ddt=d2rdt2=d2xdt2i+d2ydt2j+d2zdt2k=dvxdti+dvydtj+dvzdtk 
a=axi+ayj+azk
ax=dvxdt=d2xdt2
ay=dvydt=d2ydt2
az=dvzdt=d2zdt2(1-2-13)加速度的大小a=|a|=a2x+a2y+a2z(1-2-14)加速度的方向cosα" =axa=axa2x+a2y+a2z
cosβ" =aya=aya2x+a2y+a2z
cosγ" =aza=aza2x+a2y+a2z(1-2-15)α" 、β" 、γ" 分别为加速度矢量与x轴、y轴、z轴的夹角。
1.2.6 运动学的两类问题
运动学有两类问题。
第一类问题是由质点的运动方程r=r(t)可以求得质点在任一时刻的位矢r、速度和加速度a，用微分方法求解。参看例1-2-1. 
第二类问题是已知质点的加速度a(t)以及初始速度和初始位置,  可求质点速度(t)及其运动方程r=r(t)，用积分方法求解。参看例1-2-2. 
例1-2-1 一质点的运动方程为 x=4t2,  y=2t+4，其中x和y 的单位是m, t 的单位是s。试求： 
(1) 运动轨迹；
(2) 第一秒内的位移；
(3) t=0和t=1两时刻质点的速度和加速度。
解:  (1) 由运动方程x=4t2
y=2t+4消去参数t得x=(y-4)2此为抛物线方程，即质点的运动轨迹为抛物线。
(2) 先将运动方程写成位置矢量形式：r=xi+yj=4t2i+(2t+4)jt=0时，r0=4jt=1时，r1=4i+6j第一秒内的位移为Δr=r1-r0=4i+2j  (3) 由速度和加速度定义得=drdt=8ti+2j 
a=ddt=8i则t=0时，0=2j,  a0=8i t=1时，1=8i+2j,  a1=8i   例1-2-2 一质点沿x轴运动，其加速度为a=12t+4(SI)，已知t=0时，质点位于x0=10m处，初速度v0=0。试求其位置和时间的关系式。
解:  由a=dvdt=12t+4分离变量得dv=(12t+4)dt两边分别积分得∫v0dv=∫t0(12t+4)dt
v=6t2+4t由v=dxdt=6t2+4t分离变量得dx=(6t2+4t)dt两边分别积分得∫xx0dx=∫t0(6t2+4t)dt
x=2t3+2t2+x0=2t3+2t2+10【练习1-2】
1-2-1 一电子沿x 轴运动的位置由x=16te-t (SI) 给出。当电子瞬间静止时，它距原点有多远？
1-2-2 一质点沿x 轴运动，其加速度a与位置坐标x 的关系为a＝2+6x2(SI)。如果质点在原点处的速度为零，试求其在任意位置处的速度。
1-2-3 一艘正在沿直线行驶的电艇，在发动机关闭后，其加速度方向与速度方向相反，大小与速度平方成正比，即dv/dt=-Kv2,  式中K为常量。并设发动机关闭时的速度为v0。求：
(1) 电艇在关闭发动机后，电艇的速度与时间的关系；
(2) 电艇在关闭发动机后，电艇行驶的距离与时间的关系；
(3) 电艇在关闭发动机后又行驶x距离时的速度。
1-2-4 云雾室是研究基本粒子的常用设备,其中充满大量的过饱和气体。当粒子穿过云雾室时，在粒子经过的路径上产生带电的离子，离子作为凝结核心会使过饱和气体凝结成液滴。这样，我们可以通过观测液滴形成的可见路径测定粒子的物理性质。设云雾室中粒子的运动方程为 x=a-be-αt，其中a、b、α都为常数。图 1-2-6
设粒子进入云雾室时为计时原点,试讨论该粒子的运动状况(速度和加速度；初始状态和极限状态、运动的总距离). 
1-2-5 讨论椭圆规原理。图1-2-6中，OA=BA=AC,OA以ω的旋转速度绕O转动，B、C分别沿y、x轴运动。BC上有一点P,  已知BP=a, PC=b, 求 P点的轨迹方程。
1-2-6 设从某一点O以同样的速率沿着同一竖直面内各个不同方向同时抛出几个物体。试证在任意时刻，这几个物体总是散落在某一个圆周上。
1-2-7 扩展阅读： http://songshuhui.net/archives/66096。看物理学家怎样搞定交通罚单。
1.3 圆周运动【思考1-3】  写出描述圆周运动的物理量在不同坐标系中的表示（列于表1-3-1). 表 1-3-1物理量直角坐标系极坐标系自然坐标系位置矢量位移速度加速度1.3.1 圆周运动的平面极坐标(角量)描述
对于作平面圆周运动的质点，有时用平面极坐标(polar coordinate system)能更简便地描述其位置、运动快慢等。
平面极坐标系如图1-3-1所示，极坐标为(θ,r)。质点作平面圆周运动时，半径R一定，如图1-3-2所示，质点P的位置由极坐标θ唯一确定，我们把极坐标θ称为角位置，并规定逆时针方向为正。
图 1-3-1
图 1-3-2
当质点在t 时刻的角位置为θ(t),  t+Δt时刻的角位置为θ(t+Δt)，则称Δθ=θ(t+Δt)-θ(t)为角位移(angular displacement)，它反映了Δt时间内质点的位置变化。
不同的质点在相同的时间内的角位移不同，反映这种不同的物理量称为角速度(angular velocity). 
角位置对时间的变化率(单位时间内的角位移)定义为平均角速度，记作ω-=ΔθΔt                                                 (1-3-1a)平均角速度的极限称为瞬时角速度，简称为角速度，记作ω=limΔt→0ΔθΔt=dθdt                                           (1-3-1b)即角速度等于角位置对时间的一阶导数。
不同的质点在相同的时间内的角速度变化不同，反映这种不同的物理量称为角加速度(angular acceleration). 
角速度对时间的变化率(单位时间内的角速度变化)定义为平均角加速度，记作β=ΔωΔt                                           (1-3-2a)平均角加速度的极限称为瞬时角加速度，简称为角加速度，记作β=dωdt=d2θdt2(1-3-2b)即角加速度等于角速度对时间的一阶导数，或角位置对时间的二阶导数。
注意，角位置和角位移的单位是弧度(rad)，角速度的单位为弧度每秒(rad/s)，角加速度的单位为弧度每二次方秒(rad/s2). 
1.3.2 圆周运动的直角坐标系描述
以匀速率的圆周运动为例。如图1-3-3所示，质点以角速度ω绕坐标原点作匀速率圆周运动，已知在t时刻质点在A点，其位置矢量与x轴的夹角θ=ωt. 图 1-3-3
则在如图所示的直角坐标系中，其位置矢量为r=Rcosωti+Rsinωtj运动方程的分量式为x=Rcosωt
y=Rsinωt轨迹方程为x2+y2=R2速度为=drdt=-ωRsinωti+ωRcosωtj加速度为a=ddt=-ω2Rcosωti-ω2Rsinωtj  【讨论1-3-1】 匀速率圆周运动的速度以及加速度的大小和方向。
【分析】 匀速率圆周运动的速度=drdt=-ωRsinωti+ωRcosωtj  速度分量vx=-ωRsinωt, vy=ωRcosωt  速度大小v=v2x+v2y=ωR速度大小为常量，但速度方向是随时间变化的，因此是匀速率运动；由于·r=0，可知速度与位置矢量(即圆的半径)垂直，即速度方向沿切线。
匀速率圆周运动的加速度a=ddt=-ω2Rcosωti-ω2Rsinωtj  加速度分量ax=-ω2Rcosωt
ay=-ω2Rsinωt  加速度大小 a=a2x+a2y=ω2R加速度的大小为常量，但由于a=-ω2r，可知加速度方向总是指向圆心，与速度方向垂直。也就是说，加速度没有速度方向的分量，意味着该加速度只改变速度的方向，不改变速度的大小。
1.3.3 圆周运动的自然坐标系描述1. 自然坐标系  在研究质点的平面曲线运动时，有时采用自然坐标系(natural coordinates)更简便。自然坐标系的原点固接于质点，沿质点运动轨道的切向和法向建立两个坐标轴，如图1-3-4所示。并且规定，切向轴以质点前进方向为正，法向轴以曲线凹侧方向为正，两轴的单位矢量分别记作τ和n. 
【讨论1-3-2】 分别从原点、坐标轴的方向、单位矢量的变化比较自然坐标系和直角坐标系的不同。
【分析】 直角坐标系的坐标原点、坐标轴的方向以及坐标轴的单位矢量都是不变的；而自然坐标系的坐标原点随质点的运动而移动，坐标轴的方向是变化的，因此其坐标方向的单位矢量也是变化的。2. 在自然坐标系中描述圆周运动
(1) 位置 
在轨道上取一固定点O，用质点距离O的路程长度s可唯一确定质点的位置,如图1-3-5所示。位置s有正负之分。
图 1-3-4
图 1-3-5
(2) 位置变化
初始时刻的位置为s1，末时刻的位置为s2，则位置变化为Δs=s2-s1  (3) 速度
方向沿切线方向，大小为v。则
=||τ=dsdt τ(1-3-3)
  (4)  加速度
根据加速度的定义a=ddt=ddtvτ=dvdtτ+vdτdt          (1-3-4)  如图1-3-6(a)所示，作半径为R的圆周运动的质点， t时刻在A点，速度为，时刻t+Δt在B点，速度为+d，角位置变化为dθ. A、B两点处的切向单位矢量分别记为τ1和τ2，可构成如图1-3-6 (b）所示的等腰(两腰的大小均为1)矢量三角形。由于dθ很小，dτ的方向可视为垂直τ1，即指向法向，dτ的大小等于dθ，代入式(1-3-4)，可得dτdt=dθdtn=dθdsdsdtn=vRn
a=dvdtτ+v2Rn                                                                           (1-3-5)  如图1-3-7所示，在自然坐标系中，加速度a沿切向和法向分别投影，切向分量称为切向加速度(tangential acceleration)，记作aτ；法向分量称为法向加速度(centripetal acceleration)，记作an。即a=dvdtτ+v2Rn=aτ+an           (1-3-6)图 1-3-6
图 1-3-7
【讨论1-3-3】
(1) 切向加速度和法向加速度的大小、方向及意义，总加速度的大小和方向。
(2) 推广到一般曲线运动的自然坐标描述。
(3) 用切向加速度和法向加速度如何表示各类运动？
【分析】
(1) 由式（1-3-6）知切向加速度aτ=dvdtτ       其大小aτ=dvdt，方向沿切向。切向加速度描述了速度大小变化的快慢，不反映速度方向的变化。
由式（1-3-6）知法向加速度an=v2Rn其大小an=v2R，方向指向圆心。法向加速度描述了速度方向变化的快慢，不反映速度大小的变化。
总加速度的大小a=|a|=a2τ+a2n=dvdt2+v2R2a与aτ的夹角θ=arctananaτ总加速度总是指向曲线的凹侧。
(2) 对于一般的曲线运动，加速度a也可以分解为切向加速度aτ和法向加速度an,即a=aττ+ann其中aτ=dvdt
an=v2ρ (ρ为曲率半径)  总加速度的大小  a=|a|=a2τ+a2na与aτ的夹角θ=arctananaτ  (3) 用切向加速度和法向加速度表示各类运动:an=0, aτ=0 匀速直线运动
an=0, aτ≠0 变速直线运动
an≠0, aτ＝0 匀速率曲线运动
an≠0, aτ≠0 变速曲线运动1.3.4 角量和线量的关系
如图1-3-8所示，根据弧长和圆心角的关系ds=Rdθ(1-3-7)图 1-3-8
可推出各线量与角量的关系。
线速度 v=dsdt=Rdθdt=Rω             (1-3-8)法向加速度  an=v2R=Rω2             (1-3-9)切向加速度aτ=dvdt=Rdωdt=Rβ    (1-3-10)  例1-3-1 一质点作半径为0.1m的圆周运动，其角位置θ=2+4t2(SI)，求任意时刻质点的法向加速度和切向加速度。
解:  这是质点运动学的第一类问题，由质点的角运动方程用求导方法求得质点在任一时刻的角速度和角加速度，进而求切向加速度和法向加速度。
由于ω=dθdt=8t, β=dωdt=8，所以法向加速度an=ω2R=64Rt2=6.4t2(SI)切向加速度aτ=Rβ=8R=0.8(m/s2)  例1-3-2 一质点从静止出发作半径为R的圆周运动，其角加速度随时间t的变化规律为β＝12t2-6(SI),  求： 
(1) 质点的角速度；
(2) 质点的角运动方程(设质点初始时刻的角位置θ0为零). 
解:  这是质点运动学的第二类问题，已知质点的角加速度β以及初始角速度和初始角位置, 求质点的角速度及其角运动方程。这类问题用积分方法求解。
(1) 由β=dωdt=12t2-6通过分离变量得dω=(12t2-6)dt，两边积分得ω=4t3-6t  (2) 由ω=dθdt=4t3-6t，通过分离变量dθ=(4t3-6t)dt，两边积分得θ=t4-3t2【练习1-3】
1-3-1 分析线量r、、a之间的关系以及角量θ、ω、β之间的关系，比较两组量的相似性并分析原因。
1-3-2 推导表1-3-2中匀速率圆周运动和匀变速率圆周运动有关公式，与表1-3-3中匀速直线运动和匀变速直线运动有关公式比较，并分析类似的原因。表 1-3-2物理量匀速率圆周运动匀变速率圆周运动角位置θ＝θ0+ω0tθ＝θ0+ω0t+β2t2
ω2＝ω20+2β(θ-θ0)角位移Δθ＝θ-θ0=ω0tΔθ＝ω0t+β2t2角速度ω=ω0(为常量)ω＝ω0+βt角加速度β=0β=常量  表 1-3-3物理量匀速直线运动匀变速直线运动位置x＝x0+v0tx＝x0+v0t+a2t2
v2＝v20+2a(x-x0)=v20+2as位移Δx＝x-x0=v0tΔx＝v0t+a2t2速度v=v0(为常量)v＝v0+at加速度a=0a=常量  1-3-3 某发动机工作时，主轴边缘一点作圆周运动，运动方程为θ=t3+4t+3(SI)，问： 
(1) t=2s时，该点的角速度和角加速度为多大？
(2) 若主轴半径 r=0.2m，则t=1s时， 该点的速度和加速度为多大？
1-3-4 一质点沿半径为R 的圆周运动，质点所经过的弧长与时间的关系为s=bt+12ct2其中b、c 是大于零的常量，求从t=0开始到切向加速度与法向加速度大小相等时所经历的时间。
1-3-5 质点在重力场中作斜上抛运动，初速度的大小为v0，与水平方向成α角。求质点到达抛出点的同一高度时的切向加速度、法向加速度以及该时刻质点所在处轨迹的曲率半径(忽略空气阻力)。已知法向加速度与轨迹曲率半径之间的关系为an=v2/ρ. 
1-3-6 老练的飞行员常常关注的飞行难点就是转弯太急。飞行转弯的过程中，当飞行员的头朝向曲线中心（即头与法向加速度同向）时，大脑的血压会降低，并导致大脑功能的部分丧失。有几个警示信号提醒飞行员要注意： 当法向加速度为2g或3g时，飞行员会感到增重；在约达4g时，飞行员会产生黑视，且视野变小，出现“管视”；如果加速度继续保持或者增加，视觉就会丧失，随后意识也会丧失，即出现所谓的“超重昏厥”。如果F-22战斗机飞行员以v=2500km/h的速率飞过曲率半径为r=5.80km的圆弧，法向加速度为多少个g，是否有危险？ (g为重力加速度）
1.4 相对运动1.4.1 运动描述的相对性  所有的物体都在不停地运动，没有绝对不动的物体，运动是绝对的。但运动的描述是相对的，只有相对于确定的参考系才能具体描述物体的运动。一般而言，选择的参考系不同，对同一物体运动的描述也不相同。
例如，地面上的观察者看到飞机从上海起飞，在首都机场落地。但飞机上的乘客(设封闭在飞机里)相对于飞机是静止的。
1.4.2 伽利略变换
下面讨论两个不同参考系对同一个质点的运动描述间的关系。
如图1-4-1所示，有两个参考系，S系(Oxyz) 和S′(O′x′y′z′)系。当t=t′=0时，两坐标系重合。计时开始，S′相对S系以速度u沿x轴正向匀速运动。
如图1-4-2所示，在t时刻时，运动质点P在S系中的位置矢量为r，对应坐标为(x,y,z), 在S′系中的位置矢量为r′，对应坐标为(x′,y′,z′)。两位置矢量间的关系为r′=r-ut              (1-4-1)其分量式为x′=x-ut
y′=y
z′=z (1-4-2)上式称为伽利略坐标变换式(Galilean coordinate  transformation). 图 1-4-1
图 1-4-2
对式(1-4-1)求导，可得速度的伽利略变换式(Galilean velocity  transformation)′=-u                                              (1-4-3)其分量式为v′x=vx-u
v′y=vy
v′z=vz(1-4-4)其中是质点相对于参考系S的速度，称为绝对速度（absolute velocity) ; ′是质点相对于参考系S′的速度，称为相对速度(relative velocity); u是参考系S′相对于S平动的速度，称为牵连速度（velocity of  following) . 
对式(1-4-3)再次求导，可得加速度的伽利略变换式(Galilean acceleration  transformation)a′=a                                                 (1-4-5)其分量式为a′x=ax
a′y=ay
a′z=az(1-4-6)  【讨论1-4-1】 伽利略变换中，在不同的相对作匀速直线运动的参考系中，测量的空间长度和时间间隔是否相同？可以得出什么结论？这些结论有没有使用范围？
【分析】 从伽利略变换可以知道： 
(1) 同一长度的测量结果与参考系的相对运动无关，即长度测量是绝对的；
(2)  同一段时间的测量结果与参考系的相对运动无关，即时间测量是绝对的。
我们把长度测量和时间测量的绝对性称为绝对时空观。应该指出的是，在低速(vc)情况下，伽利略变换是成立的;但对于高速现象，它们就失效了，只有确立了相对论时空观才能解决。
【练习1-4】
1-4-1 飞行落地时经常遇到左侧风(风向来自飞机左侧)或者右侧风，如何让落地的飞机对准跑道落地？
1-4-2 风切变指风矢量(风向、风速)在空中水平或垂直距离上的变化。风切变主要由锋面(冷暖空气的交界面)、逆温层、雷、复杂地形地物和地面摩擦效应等因素引起。对飞机和着陆安全威胁最大的是低空风切变，即发生在着陆进场或起飞爬升阶段的风切变。查阅有关风切变的资料，用相对运动的有关知识讨论风切变对飞行安全的危害。
1-4-3 分析在雨中的各种情况，人怎样行走才能淋得雨量最少？