第一章函数与极限
第一节映射与函数
函数是高等数学全书研究的对象，读者必须深刻理解。


问题1课委会制订的教学基本要求指出“理解函数的概念”，要达到此要求，最低应该明确些什么？



最低明确： (1) 函数的本质是对应关系(或映射关系)； 
(2) 函数概念的两个要素； 

(3) 函数y=f(x)在点x0处有定义是指函数y=f(x)在点x0处有对应值。
例1已知狄利克雷函数D(x)=1,x为有理数，


0,x为无理数，求D(100)，D(2π)。
分析函数的本质是对应关系，函数y=f(x)在一点x0处有定义是指函数在x0处有对应值。
解当x=100时，没有数学式计算，在1837年狄利克雷给出的函数定义以前就说函数D(x)在x=100处没有定义。但根据狄利克雷的定义知，函数的本质是对应关系，有没有定义不完全取决于算出算不出数值来，而取决于函数在该点处有没有对应值。因为x=100是有理数，它的对应值为1，所以D(x)在x=100处有定义，且D(100)=1。同理，D(x)在x=2π处有对应值，且D(2π)=0。


问题2函数概念的两个要素是什么？



两个要素： (1)定义域： 使函数y有对应值的自变量x的取值范围。
(2) 对应关系： 给定x值，求得y值的某种对应规律，如例1。称(1)、(2)为构成函数概念的两个要素，同时也是判断两个函数是否是同一个函数的准则。
例2下列各题中，函数f(x)和g(x)是否相同？为什么？
(1) f(x)=lgx2， g(x)=2lgx； 
(2) f(x)=x， g(x)=x2； 
(3) f(x)=3x4－x3, g(x)=x3x－1； 
(4) f(x)=1， g(x)=sec2x－tan2x； 
(5) y=f(x)，s=f(t)。
分析要判断两个函数是否相同，主要依据函数概念的两个要素——定义域和对应关系。若两个函数的定义域和对应关系都相同，则两个函数是同一个函数，否则就是不同的函数。
解(1) f(x)的定义域为(－∞,0)∪(0,+∞),g(x)的定义域为(0,+∞)，所以f(x)和g(x)不相同。
(2) f(x)与g(x)的定义域均为(－∞,+∞)，当x>0时g(x)=x，当x<0时g(x)=－x≠f(x)，可见f(x)和g(x)对应关系不同，所以f(x)和g(x)不相同。
(3) f(x)和g(x)的定义域均为(－∞,+∞)，且x∈(－∞,+∞)有f(x)=3x4－x3=x3x－1=g(x)，可见f(x)=g(x)。
(4) f(x)的定义域为(－∞,+∞)，而g(x)当cos2x=0时，即x=k+12π(k=0,±1,…)时，无定义，所以f(x)≠g(x)。
(5) 因定义域与对应规律都相同，所以两个函数相同。(5)小题告诉我们一个函数的表示法与构成函数概念的两个要素有关，而与自变量、因变量(函数) 用什么字母表示无关。即f(x)=f(t)=f(u)=…简称函数表示法的“无关性”。函数表示法的“无关性”是由f［g(x)］的表达式去求f(x)的表达式的有效方法。


问题3“函数的本质是对应关系”在本节有哪些应用？考试中常出现的两种题型是什么？



函数的本质是对应关系在考试中常出现的两种题型是： 
(1) 由f［g(x)］表达式求出f(x)的表达式； (2) 构造复合函数。
例3设fx+1x=x+x31+x4，求f(x)。
分析从f［g(x)］的表达式求出f(x)的表达式。由于fx+1x表示关于“x+1x”的对应值，理应它的右端为“x+1x”的表达式，由于化简而变成现在的表达式右端的情形： “x+x31+x4”。这是属于从f［g(x)］的表达式求出f(x)的表达式的题型。若要求出f(x)的表达式，必须将f［g(x)］的表达式还原为g(x)的表达式。因此有两种作法： ①凑出法； ②设出法。
解方法1(凑出法) fx+1x=1x+x1x2+x2=x+1xx+1x2－2，由函数表示法的“无关性”知，f(x)=xx2－2。
方法2(设出法) 设u=x+1x, u2=x2+1x2+2, x2+1x2=u2－2, f(u)=uu2－2，由函数表示法的“无关性”知，f(x)=xx2－2。
例4设f(sin2x)=xsinx，求f(x)。
分析属于从f［sin2x］的表达式求出f(x)表达式的题型，由f(sin2x)=xsinx，暗示sin2x=sinx。
解方法1(设出法) 设sin2x=u则sinx=u，x=arcsinu，从而f(u)=arcsinuu，由函数表示的“无关性”知f(x)=arcsinxx。
方法2(凑出法) f(sin2x)=arcsinsinxsin2x=arcsinsin2xsin2x，由函数表示法的“无关性”知，f(x)=arcsinxx。
小结从f［g(x)］的表达式求出f(x)的表达式的理论基础是函数的本质是对应关系。因为f［g(x)］表示“g(x)”的对应值，理应f［g(x)］的右端是关于“g(x)”的表达式，由于化简变为现在的形式，因此为了求出f(x)的表达式，必须将f［g(x)］的右端恢复为“g(x)”的表达式，再利用函数表示法的“无关性”便得所求。而恢复的方法有两个： ①凑出法； ②设出法。
例5设f(x)=1,|x|≤1，


0,|x|>1，则f{f［f(x)］}=。
（A） 0（B） 1（C） 1,|x|≤1，

0,|x|>1（D） 0,|x|≤1，

1,|x|>1
分析属于构造复合函数题型。由f(x)的表达式求f［g(x)］的表达式，解此类题的关键是求中间变量u的值域。设y=f(u)，u=f(v)，v=f(x)。因为x∈(－∞,+∞)时，v的值域为0,1两个数，所以|v|≤1，从而u≡1，x∈(－∞,+∞)，所以y=f(u)|u≡1=1，x∈(－∞,+∞),故应选B。
例6设f(x)=1,|x|<1，

0,|x|=1，

－1,|x|>1，g(x)=ex，求f［g(x)］和g［f(x)］。
分析属于构造复合函数题型。
解g(x)的值域为(0,+∞)，所以f［g(x)］=1,|ex|<1，

0,|ex|=1，

－1,|ex|>1。因为当x<0时，|ex|<1； 当x=0时，|ex|=1； 当x>0时，|ex|>1，所以 f［g(x)］=
1,x<0，

0,x=0，

－1,x>0。

仿上面的方法，易得g［f(x)］=ef(x)=e,|x|<1，

1,|x|=1，

1e,|x|>1。
例7设f(x)=1,|x|≤1，


0,|x|>1，g(x)=2－x2,|x|≤2，

2,|x|>2，求f［g(x)］。
分析属于构造复合函数题型，解本题需要解两个不等式组。
解f［g(x)］=1,|g(x)|≤1，


0,|g(x)|>1。
先看中间变量g(x)的值域满足|g(x)|≤1时，需解不等式组： |2－x2|≤1，


|x|≤2，{－3≤x≤－1}∪{1≤x≤3}，


－2≤x≤2，取交集可得x∈［－3,－1］∪［1,3］。
再考查g(x)的值域满足|g(x)|>1，其中包含两部分： 
(1) {|g(x)|>1}∩{|x|≤2}； (2){|g(x)|>1}∩{|x|>2}。
解不等式组(1)得{－1<x<1}∩{|x|≤2}或者{x<－3}∪(x>3)∩{|x|≤2}x∈［－2,－3)∪(－1,1)∪［3,2］，解不等式组(2)得x∈(－∞,－2)∪(2,+∞)。综上所述得，当|g(x)|>1时，x∈(－∞,－3)∪(－1,1)∪(3,+∞)。所以
f［g(x)］=1,x∈［－3,－1］∪［1,3］，

0,x∈(－∞,－3)∪(－1,1)∪(3,+∞)。
小结构造复合函数的实质也是函数符号的应用，其理论基础仍然是函数的本质是对应关系。因为f(x)是x的对应值，所以为了求出f［g(x)］，需将f(x)的x换为g(x)，便得出f［g(x)］关于“g(x)”的表达式，化简，余下的问题是求关系式f［g(x)］成立的条件，其关键是求中间变量g(x)的值域并解值域满足的不等式，从而问题便得到解决。


问题4何谓分段函数？分段函数是客观存在的，还是人为的？用分段函数考什么概念？



1. 定义： 如果一个函数在其定义域内对应于不同的区间段有着不同的表达式，则称该函数为分段函数。
2. 分段函数客观存在吗？它是否是人为的？
分段函数是客观存在的。事物发展有渐变和突变，突变前后事物常常存在着不同的变化规律，这就产生了以突变点为衔接点的分段函数。
例81克的水（冰），当温度t由-10℃到10℃变化时，求水(冰)所需的热量Q与温度t之间的函数关系。
解1克的水（冰），温度t在-10℃到10℃的变化过程中，热量Q难以用一个公式表示。现在我们分段来研究它。由物理学知道，冰的比热容为0.5卡/（g·℃），而水的比热容为1卡/（g·℃）。又知从0℃的冰化为0℃的水，需要吸收80卡的热量，若取t=－10℃时，Q=0，则当t在区间－10℃≤t<0时，热量Q可由公式Q=0．5t+5表示。
当t在区间0<t≤10℃时，Q可由另一公式Q=t+85表示。
当t=0时，这个函数Q是多值的，为了方便起见我们可以规定t=0时，Q=85，这样Q可以由下面式子完全表示出来： Q=0．5t+5,－10℃≤t<0，

85,t=0，

t+85,0<t≤10℃，这说明了分段函数是客观存在的。
3． 分段函数在各种试题中出现的种类。
1) 显式分段函数(直接给出的分段函数)。
例9符号函数y=sgnx=1,x>0，

0,x=0，

－1,x<0，是分段函数的显式。
其定义域为(－∞,+∞)，点x=0为分段函数的衔接点。
一般地，关于点x=x0的左、右两侧的数学表达式不同，称此点x=x0为分段函数f(x)的第一类衔接点。例9中x=0为符号函数的第一类衔接点。
例10设f(x)=x2sin1x,x≠0，

0,x=0，此函数是分段函数的显式，其定义域为(－∞,+∞)，称点x=0为分段函数f(x)的第二类衔接点。
2) 对于隐式分段函数(间接给出的分段函数)，解题必须先将隐式化为显式。
（1） 以极限形式给出的分段函数。
例11化下列隐式分段函数为显式。
(Ⅰ) f(x)=limn→∞(n－1)xnx2+1； (Ⅱ) f(x)=limn→∞n1+|x|3n。
解(Ⅰ) 当x≠0时，f(x)=limn→∞1－1nxx2+1n=1x； 当x=0时，f(x)=0，所以f(x)=1x,x≠0，

0,x=0，其中x=0为分段函数的第二类衔接点。
(Ⅱ) 当|x|=1时，f(x)=1； 当|x|<1时，f(x)=1； 
当|x|>1时，f(x)=limn→∞|x|3n1|x|3n+1=|x|3。所以
f(x)=－x3,x<－1,

1,|x|≤1,

x3,x>1,其中x=－1,x=1为分段函数f(x)的第一类衔接点。
（2） 带有绝对值符号给出的分段函数。


图11


例12设φ（x）=|x-1|，化为显式。
解φ(x)=1-x,x<1,

0，x=1,

x-1,x>1。其中x=1为第一类衔接点
（3） 用max,min符号给出的分段函数。

例13求f(x)=max{1,x2,x3}的分段表达式。
解画出y=1, y=x2,y=x3 的图形如图11所示，由图11知f(x)=x2,x<－1,

 1,|x|≤1,

x3,x>1。

（4） 用取整符号［］给出的分段函数。
如y=［x］。
4． 用分段函数考点的概念，高等数学中的单、多元函数的微分学的概念都是点概念。如连续、导数、偏导数、方向导数，……。


问题5函数y=f(x)在定义区间X上是奇(偶)函数的必要条件是什么？



分析由函数f(x)的奇偶性定义知，对于x∈X，有－x∈X且恒有f(－x)=－f(x)(f(－x)=f(x))，从而得出y=f(x)在X上是奇(偶)函数的必要条件是定义区间X关于坐标原点对称。
例14下列函数中哪些是偶函数，哪些是奇函数？哪些是非奇非偶函数？
(1) y=x2(1－x2)； (2) y=x(x－1)(x+1)； 
(3) y=cosx,x∈［－10,20π］； (4) y=sinx, －50,－π2∪π2,50。
解(1) 因为y(－x)=(－x)2(1－(－x)2)=x2(1－x2)=y(x),所以该函数为偶函数。
(2) y(－x)=(－x)［(－x)－1］［(－x)+1］=－x［－(x+1)］［－(x－1)］=－x(x－1)(x+1)=－y(x)，所以该函数为奇函数。
(3) 因定义区间［－10,20π］不关于坐标原点对称，由奇(偶)函数的必要条件知该函数是非奇非偶函数。
(4) 因为定义区间－50,－π2∪π2,50关于坐标原点对称且当x∈－50,－π2∪π2,50时，有sin(－x)=－sinx。所以该函数是奇函数。
例15设下面所考虑的函数都是定义在区间(－l,l)上的。证明： (1)两个偶函数的和是偶函数，两个奇函数的和是奇函数； (2)两个偶函数的乘积是偶函数，两个奇函数的乘积是偶函数，偶函数与奇函数的乘积是奇函数。
证明(1) 设f(x)和g(x)皆为偶函数，于是f(－x)+g(－x)=f(x)+g(x)， 所以f(x)+g(x)为偶函数。同理可证，两个奇函数之和为奇函数。
(2) 设φ(x)=f(x)·g(x)， 其中f(x)和g(x)皆为偶函数。
因为φ(－x)=f(－x)·g(－x)=f(x)·g(x)=φ(x)，故两个偶函数的乘积是偶函数。同理可证，两个奇函数的乘积是偶函数，偶函数与奇函数的乘积是奇函数。
例16证明定义在对称区间(－l,l)上的任意函数f(x)可表示为一个奇函数与一个偶函数之和。
分析对于在(－l,l)上有定义的函数f(x)， 假设f(x)可以写成待定的偶函数φ(x)和奇函数g(x)之和，然后利用偶函数和奇函数的定义求出φ(x)和g(x)。若能够确定φ(x)和g(x)则命题得证。此种证题方法称为构造证题法。
证明f(x)是定义在(－l,l)上的任意函数，并假设可以写成
f(x)=φ(x)+g(x)，①
其中φ(x)是偶函数，g(x)是奇函数。
由①式可得f(－x)=φ(－x)+g(－x)=φ(x)－g(x)，即
f(－x)=φ(x)－g(x)，②
①式+②式得φ(x)=f(x)+f(－x)2； 
①式-②式得g(x)=f(x)－f(－x)2。
容易验证φ(x)=f(x)+f(－x)2是偶函数，g(x)=f(x)－f(－x)2是奇函数，并且下式恒成立： 
f(x)=f(x)+f(－x)2+f(x)－f(－x)2。
命题得证。


问题6若y=f(x)在包含坐标原点的对称区间X上处处有定义，则y=f(x)在X上是奇函数的必要条件是什么？



分析由奇函数定义知，对于x∈X，有－x∈X且f(－x)=－f(x)。又已知0∈X，由于x的任意性，所以取x=0则上式也成立，即f(0)=－f(0)，故f(0)=0。所以在包含坐标原点的对称区间X上y=f(x)是奇函数的必要条件f(0)=0。
例17设y=f(x)定义在(－∞,+∞)上，且在包含坐标原点的对称区间(－∞,+∞)上是奇函数，求f(0)。
解因为y=f(x)在x=0处有定义且为奇函数，所以由奇函数的必要条件知f(0)=0。


问题7函数y=f(x)在定义域X上是周期函数的必要条件是什么？



分析由周期函数定义知： 对x∈X，有x±T∈X，对任意的正整数n，有f(x)=f(x+T)=…=f(x+nT)=…=f(x－nT)。由于x及n的任意性推得X必为(－∞,+∞)。从而得y=f(x)为周期函数的必要条件是它的定义域为(－∞,+∞)，即定义域必为双向无界区间。
例18判断下列函数是否为周期函数：
(1) y=cos(x－2)； (2) y=cos4x； (3) y=1+sinπx； 
(4) y=sinx+1； (5) y=cos1－x。
分析利用周期函数定义求。设f(x)是以T>0为周期的函数，则f(ax)是以Ta为周期的函数。
解(1) 因为f(x+2π)=cos［(x+2π)－2］=cos［(x－2)+2π］=cos(x－2)，所以f(x)=cos(x－2)是周期函数，周期T=2π。
(2) 因为cosx是以2π为周期的函数，所以f(x)=cos4x是以2π4=π2为周期的函数，周期T=π2。
(3) 因为sinx是以2π为周期的函数，所以sinπx是以2ππ=2为周期的函数，故y=1+sinπx是以2为周期的函数。
(4) 定义域为［－1,+∞)。
(5) 定义域为(－∞,1］。因为(4)(5)的定义域不是双向无界区间，由周期函数的必要条件知，(4)和(5)都不是周期函数。
例19证明： 如果函数y=f(x)的图像关于直线x=a及x=b(a≠b)对称，则f(x)是周期函数。
证明因为y=sinx的图像关于直线x=π2及x=3π2对称，其周期T=23π2－π2=2π。又y=cosx的图像关于直线x=0及x=π对称，其周期T=2(π－0)=2π。
猜想： 不妨设b>a。y=f(x)的周期T=2(b－a)>0。
验证f(x)的图像关于x=a对称，有
f(x)=f(2a－x)，
关于x=b对称，有
f(x)=f(2b－x)，
而f［x+2(b－a)］=f(x+2b－2a)=f［2b－(2a－x)］=f(2a－x)=f(x)，所以y=f(x)是以T=2(b－a)>0为周期的周期函数。
点评本题给出高等数学常用的证题方法“猜想验证法”。
例20f(x)=|xsinx|ecosx，x∈(－∞,+∞)是。
(A) 有界函数(B) 单调函数(C) 周期函数(D) 偶函数
分析考查函数的有界性、单调性、周期性、奇偶性等四个性质。
解因为含有|x|因子，所以不是有界的，也不是周期的，故(A)(C)不正确。因为含有|sinx|，则当x=0时,|sinx|=0； 当x=π2时,|sinx|=1； 当x=π时,|sinx|=0。所以不是单调的，故(B)不正确，只有(D)正确。
事实上，f(－x)=|(－x)sin(－x)|ecos(－x)=|xsinx|ecosx=f(x)，所以f(x)是偶函数，故应选(D)。


问题8如何求反函数？反函数有哪些性质？



1． 反函数的求法： (1)由直接函数解出x； (2)将x换为y，同时将y换为x，得反函数y=f－1(x)。
2． 反函数的性质(只列出其中两个性质)： 
性质1设y=f(x)与y=g(x)是定义在区间I上的两个互为反函数，则它们的图像关于直线y=x对称。
性质2设y=f(x)与y=g(x)是定义在区间I上的两个互为反函数，则f［g(x)］=x，g［f(x)］=x。

例21求下列函数的反函数： 
(1) y=2sin3x－π6≤x≤π6； (2) y=1+ln(x+2)； (3) y=2x2x+1。
解(1) 解出x=13arcsiny2，得反函数y=13arcsinx2，x∈［-2,2］。
(2) 解出x=ey－1－2，得反函数y=ex－1－2。
(3) 由2x(1－y)=y解出2x=y1－y, x=log2y1－y。所以反函数为y=log2x1－x。
例22求y=3x+1+x2+3x－1+x2的反函数，并求定义域。
分析由直接函数y=f(x)解出x=φ(y)。这里欲解出x，显然需先将y的表达式两端三次方，再设法解之。
解y3=x+1+x2+3(x+1+x2)23(x－1+x2)13+

3(x+1+x2)13(x－1+x2)23+x－1+x2
=2x+3(x+1+x2)13(x－1+x2)13(x+1+x2)13+(x－1+x2)13
=2x+3(－1)13y=2x－3y，

解得x=y3+3y2，即所求反函数为y=x3+3x2，其定义域为(－∞,+∞)。
第二节数列的极限
第二节数列的极限


问题9如何读懂数列极限的“εN”定义？



分析数列极限的严格定义要用不等式表达： ε>0，N>0，当n>N时，有|xn－a|<ε。
因此，在学习数列极限概念时，首先必须弄清(或称读懂)有关不等式的含义。
(1) 在定义中的“ε>0”表示什么意思呢？ε是任意给定的，这里符号“”表示任意给定。ε的任意性是不可缺少的，而ε一经给定之后，ε就是已知数了。因此ε具有任意性和确定性(或已知性)这样双重性质，这就是“ε>0”的含义。
(2) 在定义中的“N>0”表示什么意思呢？“”是什么意思呢？符号“”表示存在，“”的含义是： 表示存在，不是唯一的。N>0表示存在的N不是唯一的，只要找到某一个N就可以。但N与给定的ε有关，所以找N时要合理，这就决定找N的方法可以采取“放大法”，但放大要合理。因此“N>0”的含义是N具有不唯一性和合理性这样的双重性质。值得注意的是N与ε有关，但不是ε的函数。
(3) 定义中的“|xn－a|”表示什么？绝对值|xn－a|表示数轴上的动点M(xn)与定点A(a)之间的距离，即|AM|=|xn－a|。
(4) 定义中的不等式“|xn－a|<ε”表示什么意思呢？不等式|xn－a|<ε表示数轴上的动点M(xn)与定点A(a)之间的距离小于任意给定的正数ε。由于ε可以任意小，则不等式|xn－a|<ε表示点xn无限接近于a。
(5) 定义中的“当n>N时，有|xn－a|<ε”表示什么意思？由(2)知，这里的N是由一个已经任意给定的ε>0确定好的项序数，大于N的项的序数就是N+1,N+2,…。因此对于n>N时的一切xn，不等式|xn－a|<ε都成立，即n>N是不等式|xn－a|<ε成立的条件，也就是说当n>N时下列无穷多个不等式： |xN+1－a|<ε,|xN+2－a|<ε,…都成立。由ε的任意性知，xn无限接近于a，即limn→∞xn=a。
上述(1)~(5)的分析是作者的读书体会，也是在教读者如何看书，看书时对书中的定义或定理的每句话、每个式子都要读懂。


问题10如何用数列极限“εN”定义验证极限？



分析弄清或读懂极限“εN”定义中各项不等式的含义，就不难得出用数列极限“εN”定义验证极限的一般步骤。
如用“εN”定义证明limn→∞2n－14n+2=12，这里xn=2n－14n+2，a=12都是已知的，ε>0，ε是任意给定的，一经给定后，ε也是已知的， 从而不等式2n－14n+2－12<ε是已知的。用“εN”定义验证就是从已知不等式2n－14n+2－12<ε求出使此不等式成立的条件： n>N，因此问题的实质就是解绝对值不等式2n－14n+2－12<ε。下面给出解此类不等式的一般规律。
按“εN”定义，先任意给定ε>0，则ε就是已知数，而题中的xn, a也是已知的，假设结论成立，于是问题就化为从已知不等式|xn－a|<ε去寻找使该不等式成立的条件： n>N。由于N不是唯一的，因此N的选取具有灵活性，我们可以不必先追求最小的N。一般采用“放大法”，即放大不等式|xn-a|＜ε，|xn－a|<ME(n)<ε，其中M是与n无关的正数，而从不等式ME(n)<ε容易解出n，从而找到使不等式|xn－a|<ε成立的条件： n>N， 问题便得证。从上述分析知这种证题方法是“逆推法”，也称“分析法”。
例1根据数列极限的定义证明： 
(1) limn→∞3n+12n+1=32； (2) limn→∞n2+a2n=1。
证明(1)ε>0，要证N>0，当n>N时，有3n+12n+1－32<ε。只需3n+12n+1－32=6n+2－6n－32(2n+1)=－12(2n+1)=12(2n+1)<1n<ε，则n>1ε，取()N=1ε，当n>N时，有3n+12n+1－32<ε，即limn→∞3n+12n+1=32。
(2) ε>0，要证N>0，当n>N时，有n2+a2n－1<ε。只需n2+a2n－1<(n+|a|)2n－1=n+|a|n－1=|a|n<ε。则n>|a|n，取()N=|a|ε，当n>N时，有n2+a2n－1<ε，即limn→∞n2+a2n=1。