第3章 静定结构的内力分析 3.1单跨静定梁 梁是一种以承受弯矩内力为主的结构体系，它的结构有多种，如图31所示。 图31 （a） 简支梁； （b） 悬臂梁； （c） 伸臂梁； （d） 斜梁 这些模型来自工程，若以房屋工程为例，它们依次相当于窗户上框处的过梁，雨篷的挑出部分，阳台的外挑梁以及楼梯等。 3.1.1梁的约束反力（支座反力）及内力 单跨静定梁共有3个约束反力（支座反力），它们与梁上荷载共同构成平面一般力系，可由平面一般力系的3个平衡方程直接求出。 ∑Fx=0∑Fy=0∑M=0 （31） 支座反力未规定其正负号，在求支座反力前可在支座处任意假设其作用方向，若结果为正，则说明该支座反力的实际作用方向与假设一致，反之，则表示实际作用方向与假设方向相反。一旦求得支座反力后，再用隔离体方法求梁上某截面内力。一般将支座反力按其实际作用方向示于图上（这只是方便、直观而已）。 受荷载作用后，梁的任一截面上会产生内力，按其作用分为轴向力（简称轴力）、剪切力（简称剪力）及弯矩3个内力。轴力记为FN，它是杆件正截面上法向应力的合力，规定拉为正、压为负； 剪力记为FQ，它是截面上切向应力的合力，规定以绕隔离体顺时针转动为正； 弯矩记为M，它是截面上正应力对截面形心的力矩，通常习惯将使杆件下侧受拉上侧受压的情形记为正，如图32所示。 图32 用截面法计算某一截面上3个内力的方法，就是取出某一段隔离体，利用式（31）的静力平衡方程求出。 轴力FN等于截面任一侧所有沿截面法向外力的代数和； 剪力FQ等于截面任一侧所有沿截面切向外力的代数和； 弯矩M等于截面任一侧所有外力对截面形心力矩的代数和。 3.1.2梁的内力图 求出梁上各截面的内力之后，以杆轴线为基线（记为x坐标），将FN、FQ及M的值沿基线示出（将各内力值作为纵坐标），这样可得三幅图，即xFN，xFQ及xM坐标图，称为内力图。FN和FQ图应该标示正负，M图是将其绘于受拉侧，一般不标示正负。 作内力图时，应标明图名（轴力图、剪力图、弯矩图）、单位、数值，且以拟合方法连成连续曲线（内力一般都可以分段写出数学表达式，这在后面的例题中可以看到）。 3.1.3荷载与内力之间的数学关系 任取一段梁设其长为dx，作为隔离体考虑其平衡，下面将分别对梁上作用均布荷载和集中荷载的两种情形进行推导。 图33 ∑Fx=0FN+dFN－FN+qxdx=0 ∑Fy=0FQ+dFQ－FQ+qydx=0 ∑Mx=0M+dM－M－(FQ+dFQ)dx－qydx·dx2=0 化简并略去高阶小量得： dFNdx=－qx dFQdx=－qy dMdx=FQ（32） 图34 及 d2Mdx2=－qy（33） 当梁上某点有集中力作用时，可在其作用点邻近处取微元分析，所取微元见图34，FPx为x向（沿轴向）集中力，FPy为y方向（垂直于轴向）集中力，m为集中力偶。考虑该微元体平衡得： ∑Fx=0FN+dFN－FN+FPx=0 ∑Fy=0FQ+dFQ－FQ+FPy=0 ∑Mx=0M+dM－M－(FQ+dFQ)dx－m=0 同理，得： dFN=－FPx dFQ=－FPy dM=m（34） 这说明，在集中力作用点的左右截面上（图中x截面和x+dx截面，当dx→0时，即成为一点的左右截面），其相应内力值是有突变的，突变值就是此点对应的荷载值。 式（32）和式（34）给出了外荷载与内力的基本关系，比如说，当沿梁轴线方向（x方向）无均布荷载作用，而该段的两端又无轴线方向的轴力，则这段梁的FN必为零，又如在一段梁上只有qy=常数作用，则该段的FQ图必为线性函数，特别地，当qy=0时，FQ为常数。当然，从式（32）的第三式看到内力弯矩M和内力剪力FQ的关系，M图的斜率为FQ。由此规律知，以后绘制好FQ图后，可参考其形状绘制M图。为以后绘制内力图方便起见，将这些特征总结在表31中。 表31内力图的特征 梁上某区段外荷载情形剪力FQ图的特征弯矩M图的特征 无荷载（qy=0）水平线一般为斜直线 均布荷载（qy=常数） 斜直线二次抛物线，凸向与qy相同 FQ=0处弯矩取极值 集中力FP作用处FQ值有突变，突变量ΔFQ=-FP尖角，方向与FP方向相同 集中力偶m作用处无变化突变，突变量ΔM=m 铰结处连续弯矩为零 例31作图35所示简支梁的剪力图和弯矩图。 解： （1） 求支座反力 考虑整体平衡求得： FAx=0FAy=8.5kNFBy=9.5kN （2） 求弯矩 选取A、C、D及B点作为控制截面（控制点），求出这几个截面上的弯矩值，在这些区间（AC区间、CD区间及DB区间）内弯矩的变化应遵循式（32）的规律，可按表31各情形给出。 图35 取AC段作为隔离体求得： MC－8.5×4+2×4×42=0 MC=18kN·m 同理取DB段作为隔离体求得： MD－9.5×2=0 MD=19kN·m 注意，在D点左右弯矩无突变，各控制截面处的弯矩值为 MA=0（铰）MC=18kN·m MD=19kN·mMB=0 由此，结合表31绘出弯矩图。AC段有均布荷载作用，M图应为抛物线形式且凸出方向与q同向； CD区间与DB区间q=0，M图应为直线，只需将C点和D点弯矩值以直线相连，得该区间弯矩图； DB区间同样处理。至此绘出完整的弯矩图。 （3） 求剪力 利用AC段和BD段隔离体图求得： FQC+2×4－8.5=0 FQC=0.5kN F右QD+9.5=0 F右QD=－9.5kN 因为在D点有集中力作用，所以FQ在此点左右两截面有突变，其突变值应为10kN，故 F左QD=（10－9.5）kN=0.5kN A、B两点的剪力值即为其支座的竖向反力值。这里应注意，支座反力对于梁来说引起剪力FQ的正负号。利用上述所求各控制截面FQ，并利用表31作剪力图。 式（32）中给出dMdx=FQ，可对照本题的M图和FQ图进行校核。 例32作图36所示伸臂梁的弯矩图和剪力图。 图36 解： （1） 求支座反力 利用整体平衡列方程可得： ∑X=0FBx=0 ∑Y=0FAy+FBy－20－30－5×4=0 ∑MA=0FBy×8+20×1－30×1－5×4×4+10－16=0 解得： FAy=58kNFBx=0FBy=12kN （2） 求作弯矩图 选取C、A、D、E、F、G及B点处为控制截面，利用取隔离体求出各点的弯矩值，C、A、D及E点选左侧为隔离体，其余各点选右侧为隔离体(选取的隔离体上作用力少则计算工作量相对就少），解得： MC=0MA=－20kN·m MD=18kN·mME=26kN·m MF=18kN·mMLG=6kN·m MRG=－4kN·mMB=－16kN·m 由计算结果可知，D点处弯矩无突变，G点处突变值为10kN·m（注意为正值）。按表31中给出的规律，绘出M图。请读者注意B点的M值，那个大小为16kN·m的弯矩外荷载作用在梁的截面上（或者说梁上），此处支座和梁两者互不传递弯矩（因是铰结）。 （3） 作剪力图 利用dMdx=FQ，由M图求作剪力图： CA段FQ=dMdx=－20－01kN=－20kN AD段FQ=dMdx=18－(－20)1kN=38kN DE段FQ=dMdx=26－181kN=8kN FG段FQ=dMdx=6－181kN=－12kN GB段FQ=dMdx=－16－(－4)1kN=－12kN 在EF段上，M图为抛物线,则其FQ图必为斜直线，且E点和F点的剪力值已知，FQE=8kN，FQF=－12kN,故将此二点以直线相连即可。注意dM的量纲为kN·m（弯矩量纲），dx的量纲为m（长度量纲）。 例33作图37所示结构的内力图（设梁的倾斜角为α）。 图37 解： （1） 求支座反力 考虑该梁的整体平衡得： FAx=0FAy=12qlFBy=12ql （2） 求内力 从梁中K点截开考虑左段梁的平衡得： ∑X=0FNKcosα+FQKsinα=0 ∑Y=0FNKsinα－FQKcosα－qx+12ql=0 ∑MK=0MK－12qlx+qx·x2=0 由此求得： FNK=－l2－xqsinα FQK=l2－xqcosα MK=12qx(l－x) 将其绘制在图中（基线为梁轴线，考虑x点位置内力值，因为梁长并非l）。 由本例看出，斜梁与水平梁相比（在受均布荷载作用下），斜梁的剪力变小了，轴力不再为零。由FN和FQ表达式可知，α变大时梁中轴力变大，剪力变小，反之亦然。 通过以上例题得出作静定梁结构内力图的过程，在此将其作法步骤归纳如下： ①求支座反力（利用整体平衡方程）； ② 根据梁上荷载分布特征确定控制截面（支座处也是一控制截面，对于梁来说，支座反力也是外荷载）； ③ 选适当隔离体，按平衡条件求各控制面处的三个内力值； ④ 以梁轴线为基线绘制内力图（通常为三幅： FN图、FQ图及M图）。 绘制内力图后还可借用式（32）来做校验，由M图和FQ图互相验证。 3.2分段叠加法作弯矩图 对结构中的直线段作弯矩图时，可采用分段叠加法。 先做准备工作，即讨论图38中简支梁的情形。梁上作用的荷载有两类，全梁满布均布荷载q和在两端部位作用力矩MA和MB，当只有MA和MB作用时，弯矩图为梯形，记为(x)，当只有均布荷载q作用时，弯矩图为抛物线，记为M0(x),那么总的弯矩图为 M(x)=(x)+M0(x) 应当注意，M(x)的叠加是按同一x坐标叠加，不要误以为是图形的简单拼合（实际上简单拼合时斜边长度不相等）。 现在讨论直杆中任一段的弯矩图作法。以图39中的AB段为例，将其作为隔离体取出，此段有荷载q作用，两端还有弯矩、剪力和轴力。由于轴力对弯矩图无影响，故在作弯矩图时不考虑轴力。将图39中杆段情形与图38中的简支梁比较，若两者的均布荷载q，以及两端的弯矩相等，支座反力和剪力有关系： FAy=FQA，FBy=-FQB，则两者的弯矩图应 图38 图39 相同。这样作任意直杆杆段弯矩图的问题就转化为作相应简支梁弯矩图的问题。具体作法可分为三步： 第一步，根据A、B两点的弯矩MA和MB作直线弯矩图(x)； 第二步，作简支梁受均布荷载的弯矩图M0(x)； 第三步，将以上两种结果按坐标叠加得最终该梁段的弯矩图M(x)。 对于具体问题分段时，要选一些特征点分段，这些特征点一般为集中力作用点、集中力偶作用点、分布荷载的起点和终点。 例34作图310所示简支梁的内力图。 图310 解： (1) 求支座反力 FAx=0FAy=17kNFGy=7kN AB、BC、EF和FG四段区间无荷载作用，那么FQ应为常数，其图形应为水平线。CDE段内有均布荷载，FQ为线性函数，其图形应为一斜直线。故只要求出A、B、C、E、F、G各点的剪力值，以直线相连即可。 FQA=FAy=17kNFRQB=FAy－8=9kN FQC=FAy－8=9kNFQE=FAy－8－4×4=－7kN FQF=－7kNFQG=－FBy=－7kN （2） 作弯矩图 求出特征点A、B、C、E、FL、FR及G点的弯矩值： MA=0MB=FAy×1=17kN·m MC=FAy×2－8×1=26kN·mME=FGy×2+16=30kN·m MLF=FGy×1+16=23kN·mMRF=FGy×1=7kN·m MG=0 在AB、BC、EF、FG四段FQ为常量，M(x)应为直线，故只需将以上计算出的各点弯矩值作为竖标，再以直线相连即可。CE段有均布荷载，那就以MC和ME的连线为基线，叠加以CE为跨度的简支梁在均布荷载作用下的弯矩图（抛物线），至此作出了该结构完整的弯矩图。 这里还有两个具体数值需说明，一是中点D处的弯矩值M，二是M在何处达到最大。 D点的弯矩MD由两部分叠加，一是梯形一是抛物线顶点值，故 MD=12(MC+ME)+18ql2 =12×(26+30)+18×4×42kN·m =（28+8）kN·m=36kN·m 全梁弯矩的最大值Mmax应在FQ=0处（H点）。那么，由FQ图可知 9CH=7HE=74－CH 求得： CH=2.25m 即H点在距A点为4.25m处，并非中点，这是由于CE段弯矩中一部分是梯形，并非关于D点对称造成的。 H点的弯矩值可利用积分关系求得： MH=MC+ ∫HCFQdx=26+12×2.25×9kN·m=36.1kN·m 3.3静定多跨梁 静定单跨梁中的简支梁、伸臂梁、悬臂梁等都是梁式结构中最简单的情形，工程实际中有时需要跨度较大的梁，若使用这些单跨结构，由于跨度大造成梁的中间部分弯矩较大，梁的尺寸及用材上就不尽合理，因此，工程师利用这些单跨梁作为基本单元构造出多跨的静定结构。举一例如图311所示。 图311 从几何组成分析看，多跨梁可分为基本部分和附属部分，基本部分是不依赖结构的其他部分并能独立维持几何不变的部分，如图311中的AB梁部分； 附属部分是指依赖基本部分的支撑才能维持其几何不变的部分,如图311中的CD梁部分。 从构造来看，静定多跨梁是由几个梁组成的，组成次序应是先固定基本部分，后固定附属部分。 从受力分析来看，附属部分梁的受力可作用到基本部分上去，而基本部分的受力不会传到附属部分上去。因此，在计算多跨静定梁的内力时应先由附属部分开始，按此顺序可避免求解联立方程。而各部分的计算分别相当于单跨静定梁。 例35求作如图312所示静定多跨梁的内力图。 图312 解： （1） 先由结构判断基本部分和附属部分，作出层次图。 （2） 进而由层次图的结构关系绘出传力图。在传力图中由最后附属部分依次计算各梁段的支座反力，依次传递给基本部分，这样一来，各梁段的受力就明确了，再依次求出其内力。该例题的三段梁均较简单，第一段梁ABC支座反力（向上为正）为FBy=2FP，FCy=-FP； 第二段梁CDE支座反力（向上为正）为FDy=-2FP，FEy=FP。计算过程略去，直接将内力结果绘于图312中（其剪力和弯矩求取很简单，不作具体演算）。在此看到经过铰C、E时剪力无变化。 例36求作如图313所示结构的弯矩图，并确定D点铰的最佳位置，即使得两跨梁上出现的正负弯矩峰值相等。 解： 记D点到B点的距离为x，其他尺寸如图313所示，由结构特性作出层次图，并在其上标示出各种荷载，由左端附属部分求出AD段梁的反力（竖向支座反力以向上为正，水平方向支座反力显然为0）： FAy=12q(l－x)FDy=12q(l－x) 图313 将FDy作用于基本部分的D点。考虑基本部分的平衡求得DBC段梁的反力（水平方向支反力显然为0）： FBy=q(l+x)FCy=12q(l－x)