第3章不等式



不等式是数学里面很重要的一块知识，跟各个模块都很契合进而形成各类不等式问题。不等式主要培养发散思维，不等式的思想是开放的、相对的，不同于等式的绝对。我们需要灵活掌握不等式的思想从而灵活解决各类不等式问题。




第3章不等式




刷题散点图
让我们用数学的思想来备战高考数学，如统计中的散点图可展示出数据的分布和聚合情况，甚至可以得到趋势线公式。大道至简，请在刷题后完成属于你的本章刷题散点图，直接用你刷题的黑笔在题号上标出即可，做对画√，做错画×。
完成后，根据题号的分布和聚合情况，合理安排你的二刷甚至三刷。







3.1


〖JS;《2》:J〗
〖JS;《2》:J〗
〖JS;《2》:J〗
〖JS;《2》:J〗
〖JS;《2》:J〗
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3.2


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3.3


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3.4


〖JS;《2》:J〗
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3.1基本不等式




核心笔记

基本不等式是解决不等式问题的重要工具，既可以求解相关代数式的范围，也可用于放缩，使用的核心在于搞清楚代数式之间的关联。
1. 若a,b∈R，则a2+b2≥2ab，当且仅当a=b时取“=”。
2. 若a,b∈R+，则a+b2≥ab，当且仅当a=b时取“=”。
变式： ab≤a+b22 ，当且仅当a=b时取“=”。
3. 重要结论： 若a>0,b>0，则21a+1b≤ab≤a+b2≤a2+b22 ，当且仅当a=b时取“=”。





【〖JS;《1》:J〗】
(2010·安徽·15·)



山海自有归期，风雨自有相逢，意难平终将和解，万事终将如意。（推荐人： @尧曙（甘肃））


若a>0,b>0,a+b=2，则下列不等式对一切满足条件的a,b恒成立的是。(写出所有正确命题的编号)



① ab≤1；  ② a+b≤2； 

③ a2+b2≥2；  ④ a3+b3≥3； 

⑤ 1a+1b≥2。

【〖JS;《1》:J〗】
(2015·天津·12·)

已知a>0,b>0,ab=8, 则当a的值为时，log2a·log22b取得最大值。

【〖JS;《1》:J〗】
(2015·重庆·14·)

设a,b>0，a+b=5，则a+1+b+3的最大值为。

【〖JS;《1》:J〗】
(2015·山东·14)

定义运算“”： xy=x2－y2xy(x,y∈R，xy≠0)。当x>0，y>0时，xy+(2y)x的最小值为。

【〖JS;《1》:J〗】
(2013·天津·14·)

设a + b = 2, b>0, 则当a= 时, 12|a|+ab取得最小值。

【〖JS;《1》:J〗】
(2020·江苏·12·)

已知5x2y2+y4=1(x,y∈R)，则x2+y2的最小值为。

【〖JS;《1》:J〗】
(2017·天津·12·)

若a,b∈R，ab>0，则a4+4b4+1ab的最小值为。

【〖JS;《1》:J〗】
(2020·天津· 14·)



人生各有志，终不为此移。同知埋身剧，心亦有所施。——王粲《咏史诗》（推荐人： @徒手摘星的人（山西））


已知a>0,b>0，且ab=1，则12a+12b+8a+b的最小值为。

【〖JS;《1》:J〗】
(2010·四川·11·)

设a>b>0，则a2+1ab+1a(a－b)的最小值是()。



A. 1   B.  2 C. 3  D.  4








【〖JS;《1》:J〗】
(2011·天津·12·)

已知log2a+log2b≥1，则3a+9b的最小值为。


【〖JS;《1》:J〗】
(2013·山东·理12·)

设正实数x,y,z满足x2-3xy+4y2-z=0，则当xyz取得最大值时，2x+1y-2z的最大值为()。

A. 0B. 1  C. 94D. 3

【〖JS;《1》:J〗】
(2013·山东·文12·)

设正实数x,y,z满足x2-3xy+4y2-z=0，则当zxy取得最小值时，
x+2y-z的最大值为()。

A. 0  B. 98C. 2 D. 94

【〖JS;《1》:J〗】
(2014·辽宁·理16·)

对于c>0，当非零实数a,b满足4a2－2ab+4b2－c=0，且使|2a+b|最大时，3a－4b+5c的最小值为。

【〖JS;《1》:J〗】
(2014·辽宁·文16·)



这世界不会辜负每一份努力与坚持，时光也不会怠慢每一个执着而勇敢的人。（推荐人： @Dofin_杨（浙江））


对于c>0，当非零实数a，b满足4a2－2ab+b2－c=0，且使
|2a+b|最大时，1a+2b+4c的最小值为。

【〖JS;《1》:J〗】
(2011·重庆·15·)

若实数2a+2b=2a+b,2a+2b+2c=2a+b+c，则c的最大值是。

3.2不等式综合问题




核心笔记

不等式的综合问题对学生基础要求较高，既要掌握关于不等式的基础知识和各类其他知识，也要
有敏锐的观察力和缜密的数学思维能力，要能从多个角度对问题进行剖析并寻求内部关联和转化。



【〖JS;《1》:J〗】
(2012·浙江·17·)

设a∈R，若x>0时，均有［(a－1)x－1］·(x2－ax－1)≥0，则a=。

【〖JS;《1》:J〗】
(2020·浙江·9·)

已知a,b∈R且ab≠0，对于任意x≥0均有(x－a)(x－b)(x－2a－b)≥0，则()。

A. a<0B. a>0 

C. b<0D. b>0 

【〖JS;《1》:J〗】
(2015·浙江·14·)



在二三十年后，不要成为你十七八岁时所厌恶、所不耻的人。(推荐人： @过野(河南))


若实数x,y满足x2+y2≤1，则2x+y－2+6－x－3y的最小值是。

【〖JS;《1》:J〗】
(2012·江苏·14·)

已知正数a,b,c满足： 5c－3a≤b≤4c－a，clnb≥a+clnc，则ba取值范围是。

【〖JS;《1》:J〗】
(2014·浙江·16·)

已知实数a,b,c满足a+b+c=0,a2+b2+c2=1，则a的最大值为。

【〖JS;《1》:J〗】
(2020·新课标全国三·12·)

已知55<84,134<85,设a=log53,b=log85,c=log138，则()。

A. a<b<cB. b<a<c

C. b<c<a D. c<a<b


3.3线性规划




核心笔记


新高考区域不要求掌握本节内容，解决线性规划的突破口在于理解目标函数并能赋予其几何意义，从数形结合的角度理解并计算。线性规划对代数和解析几何知识都有一定要求，分别涉及了数形结合思想和分类讨论思想，以及转化与划归思想。




【〖JS;《1》:J〗】
(2011·湖南·7·)

设m＞1，在约束条件y≥x，
y≤mx，
x+y≤1下，目标函数z=x+my的最大值小于2，则m的取值范围为( )。

A. (1，1+2)B. (1+2，+∞)

C. (1,3 ) D. (3，+∞)






【〖JS;《1》:J〗】
(2014·湖南·14·)

若变量x，y满足约束条件
y≤x,

x+y≤4，

y≥k,
且z=2x+y的最小值为－6，则k=。

【〖JS;《1》:J〗】
(2010·安徽·13·)



踏过去，春天就不远了。（推荐人： @ARJTKEVIN(四川)）


设x，y满足约束条件2x－y+2≥0,
8x－y－4≤0,
x≥0,y≥0,若目标函数z=abx+y(a>0,b>0)的最大值为8，则a+b的最小值为 。

【〖JS;《1》:J〗】
(2009·山东·12·)

设x,y满足约束条件3x－y－6≤0,
x－y+2≥0,
x≥0,y≥0,若目标函数z=ax+by(a＞0,b＞0)的最大值为12，则2a+3b的最小值为()。

A. 256  B. 83C. 113 D.  4

【〖JS;《1》:J〗】
(2015·四川·9·)

设实数x,y满足2x+y≤10,
x+2y≤14,
x+y≥6,则xy的最大值为( )。

A. 252B. 492C. 12 D. 16

【〖JS;《1》:J〗】
(2015·山东·13·)

已知x,y满足约束条件x－y≥0,
x+y≤2,
y≥0,若z=ax+y的最大值为4，则a=()。

A. 3B. 2 C. －2 D. －3

【〖JS;《1》:J〗】
(2013·浙江·13·)

设z=kx+y，其中实数x,y满足x≥2，
x－2y+4≥0，
2x－y－4<0，若z的最大值为12，则实数k=。

【〖JS;《1》:J〗】
(2014·浙江·13·)

当实数x,y满足
x+2y-4≤0,

x-y-1≤0,

x≥1
时，1≤ax+y≤4恒成立，则实数a的取值范围是。

【〖JS;《1》:J〗】
(2013·北京·8·)



真正的幸福并不是得到你极力追求的东西，而是那些你习以为常直到失去才后悔莫及的东西。——罗翔（推荐人： @余憨憨的猪（广西））


设关于x,y的不等式组2x－y+1>0,
x+m<0,
y－m>0表示的平面区域内存在点P(x0,y0)，满足x0－2y0=2，求得m的取值范围是()。

A. －∞,43B. －∞,13

C. －∞,－23D. －∞,－53

【〖JS;《1》:J〗】
(2014·福建·11·)

已知圆C:x－a2+y－b2=1，设平面区域Ω=x+y-7≤0,

x-y+3≥0,

y≥0,

若圆心C∈Ω，且圆C与x轴相切，则a2+b2的最大值为( )。

A. 5   B. 29   C. 37  D. 49


【〖JS;《1》:J〗】
(2014·山东·9·)

已知x,y满足约束条件x－y－1≤0,
2x－y－3≥0,当目标函数z=ax+by(a>0,b>0)在该约束条件下取到最小值25时，a2+b2的最小值为()。

A. 5 B. 4 C. 5 D. 2


【〖JS;《1》:J〗】
(2014·新课标全国一·11·)

设x,y满足约束条件x－y≤－1，
x+y≥a，且z=x+ay的最小值为7，则a=() 。

A.－5 B. 3   

C. －5或3  D. 5或－3



3.4不等式选讲




核心笔记


新高考区域不要求掌握，本节的核心知识分别是含绝对值的不等式、均值不等式和柯西不等式。含绝对值的不等式处理的核心是去绝对值和对绝对值三角不等式的使用； 而均值不等式则要求相对灵活，是基本不等式的延伸性内容； 柯西不等式的考查相对较少。



【〖JS;《1》:J〗】
(2015·新课标全国一·24·)



有关国家书常读，无益身心事莫为。（推荐人： @熊航航（浙江））


已知函数fx=x+1－2x－a,a>0。

(1) 当a=1时，求不等式fx>1的解集； 

(2) 若fx的图像与x轴围成的三角形面积大于6，求a的取值范围。














【〖JS;《1》:J〗】
(2011·新课标全国·24·)

设函数f(x)=|x-a|+3x,其中a>0。

(1) 当a=1时，求不等式f(x)≥3x+2的解集； 

(2) 若不等式f(x)≤0的解集为{x|x≤-1}，求a的值。



【〖JS;《1》:J〗】
(2020·新课标全国一·23·)

已知函数f(x)=|3x+1|－2|x－1|。

(1) 画出y=f(x)的图像； 

(2) 求不等式f(x)>f(x+1)的解集。



【〖JS;《1》:J〗】
(2013·新课标全国一·24·)

已知函数f(x)=|2x-1|+|2x+a|,g(x)=x+3。

(1) 当a=－2时，求不等式f(x)＜g(x)的解集； 

(2) 设a>－1且当x∈-a2,12时，f(x)≤g(x),求a的取值范围。

【〖JS;《1》:J〗】
(2017·新课标全国一·23·)



你所浪费的今天，是昨天死去的人奢望的明天； 你所厌恶的现在，是未来的你回不到的曾经。（推荐人： @兮（广东））


已知函数f(x)=-x2+ax+4，g(x)=|x+1|+|x-1|。

(1) 当a=1时，求不等式f(x)≥g(x)的解集； 

(2) 若不等式f(x)≥g(x)的解集包含［-1，1］，求a的取值范围。


【〖JS;《1》:J〗】
(2016·新课标全国三·24·)

已知函数f(x)=|2x-a|+a。

(1) 当a=2时，求不等式f(x)≤6的解集； 

(2) 设函数g(x)=|2x-1|,当x∈R时，f(x)+g(x)≥3，求a的取值范围。

【〖JS;《1》:J〗】
(2019·新课标全国三·23·)

设x,y,z∈R，且x+y+z=1。

(1) 求(x-1)2+(y+1)2+(z+1)2的最小值； 

(2) 若(x-2)2+(y-1)2+(z-a)2≥13成立，证明： a≤-3或a≥-1。