函数

微积分
第1章函数

函数是数学中最重要的基本概念之一，是现实世界中量与量之间的依存关系在数学中的反映，也是经济数学的主要研究对象．本章将对中学学过的一些函数知识进行总结．
1.1集合
1.1.1区间与邻域

在数学中，我们把具有某种特定性质的事物所组成的全体称为集合. 例如，全体复数的集合记为C； 全体实数的集合记为R； 全体有理数的集合记为Q； 全体整数的集合记为Z； 全体自然数的集合记为N(通常我们记N*为正整数集合)．
在微积分中最常用的一类实数集是区间．设a与b都是实数，且a<b，则数集{x|a<x<b}称为开区间，记为(a,b)．数集{x|a≤x≤b}称为闭区间，记为［a,b］．类似地，规定： ［a,b)={x|a≤x<b}，(a,b］={x|a<x≤b}为半开半闭区间．这些区间均称为有限区间．引进记号+∞及-∞，可类似地表示无限区间．例如


［a,+∞)={x|x≥a}，(-∞,b)={x|x<b}，


全体实数的集合R可记为(-∞,+∞)={x|x∈R}．
邻域是另一种常用的集合．设a，δ是实数且δ>0，集合


{x|x-a|<δ}={xa-δ<x<a+δ}


称为点a的δ邻域(图1-1(a))，记为U(a,δ)，其中a称为邻域的中心，δ称为邻域的半径．如果把邻域的中心a去掉，就成为空心的，称为点a的去心δ邻域(图1-1(b))，记为U°(a,δ)，即


U°(a,δ)={x0<|x-a|<δ}．




图1-1


为了后面研究方便，把区间(a-δ,a)称为点a的左δ邻域； 区间(a,a+δ)称为点a的右δ邻域．
1.1.2函数的概念
1. 函数的定义

设数集D是一非空数集，若按照某一对应法则f，对于D内每个数x都有唯一确定的数y与之对应，则称f是定义在D上的一元函数，简称为函数，记做y=f(x),x∈D，其中x称为函数f的自变量，y称为函数f的因变量，D称为函数f的定义域，记做Df，R={y|y=f(x),x∈D}称为函数f的值域，记做Rf．集合{(x,y)|y=f(x),x∈D}称为函数y=f(x)的图形(或图像)．
给定一个函数，就给定了一个对应关系和定义域．但当我们只是在数学上研究由算式表达的对应关系时，如无特别指出，则函数的定义域就是使算式有意义的一切实数组成的集合，称为函数的自然定义域．例如，函数y=11-x2的定义域就是区间(-1,1)．
例1.1符号函数sgnx=1,x>0,
0,x=0,
-1,x<0的定义域是(-∞,+∞)，值域是{-1,0,1}．
例1.2对于任意的x∈R，用记号［x］表示不超过x的最大整数，从而得到取整函数y=［x］．例如［2］=1,12=0,［-2.8］=-3. 此函数的定义域为R，值域是整数集Z．
2. 反函数
设函数y=f(x)的定义域为Df，值域为Rf，若对任意的y∈Rf，有唯一确定的x∈Df满足f(x)=y，则x是定义在Rf上以y为自变量的函数，记做x=f-1(y)，并称x=f-1(y)是y=f(x)的反函数．
由于改变自变量和因变量的字母并不改变函数的对应关系，而且习惯上以x表示自变量，因此常把x=f-1(y)写作y=f-1(x)．相对于反函数y=f-1(x)来说，原来的函数y=f(x)称为直接函数．把直接函数y=f(x)和它的反函数y=f-1(x)的图形画在同一坐标平面上，这两个图形关于直线y=x对称．
容易验证，若f(x)为定义在Df上的单调函数，则f(x)是从定义域Df到值域Rf的一一映射，其反函数一定存在．有时，f(x)在它的整个定义域Df上不是单调的，但它在某个区间I(IDf)上是单调的(称I为f的一个单调区间)．如果我们把它的定义域限制在单调区间I上，记做f|I，则f|I在I上存在反函数，此反函数的定义域为Rf|I，值域为I． 
3. 复合函数
设函数y=f(u)的定义域为Df，函数u=φ(x)的定义域为Dφ，若集合


D={x|φ(x)∈Df,x∈Dφ}≠，


则由下式确定的函数


y=f［φ(x)］,x∈D


称为由函数y=f(u)与u=φ(x)复合而成的复合函数．通常称y=f(u)为外层函数，u=φ(x)为内层函数，u为中间变量．
注意：函数经复合后，其自然定义域未必是中间函数的自然定义域. 例如函数y=arcsinx2可看做由y=arcsinu与u=x2复合而成，但是u=x2的自然定义域是(-∞,+∞)，相应的值域［0,+∞)并没有完全包含在y=arcsinu的自然定义域［-1,1］内，只有当u=x2的定义域取为D=［-1,1］时，值域［0,1］才包含在y=arcsinu的定义域内，因此复合函数y=arcsinx2的定义域是D=［-1,1］. 此外，一定要注意两个函数能够复合的条件. 例如y=arcsinu和u=x2+2就不能构成复合函数，因为表达式arcsin(x2+2)对任何实数都没有意义．
1.1.3初等函数
常函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数统称为基本初等函数．
1. 常函数


y=C (常数)，x∈(-∞,+∞)．


2. 幂函数


y=xa (a是常数)，x∈D．


D随a而异，但不论a为何数，y=xa的定义域都包含(0,+∞). 
3. 指数函数


y=ax (a是常数，且a>0,a≠1)，x∈(-∞,+∞), y∈(0,+∞).


4. 对数函数


y=logax (a是常数，且a>0,a≠1)，x∈(0,+∞), y∈(-∞,+∞)．


5. 三角函数
我们将所有的三角函数列在表1-1中，便于大家复习．

表1-1三角函数



函数名称
函数记号
定义域
值域
周期
奇偶性

正弦函数
y=sinx
R
［-1,1］
2π
奇
余弦函数
y=cosx
R
［-1,1］
2π
偶
正切函数
y=tanx
Rn+12πn∈Z
R
π
奇
余切函数
y=cotx
R＼nπ|n∈Z
R
π
奇
续表



函数名称
函数记号
定义域
值域
周期
奇偶性

正割函数
y=secx
Rn+12πn∈Z
R＼(-1,1)
2π
偶
余割函数
y=cscx
R＼nπ|n∈Z
R＼(-1,1)
2π
奇

为了大家使用方便，下面给出常用的三角函数公式.
(1) 和差角公式
① sin(α±β)=sinαcosβ±cosαsinβ； 
② cos(α±β)=cosαcosβsinαsinβ； 

③ tan(α±β)=tanα±tanβ1tanαtanβ．
(2) 倍角与半角公式
① sin2θ=2sinθcosθ=2tanθ1+tan2θ； 
② cos2θ=cos2θ-sin2θ=2cos2θ-1=1-2sin2θ=1-tan2θ1+tan2θ； 
③ tan2θ=2tanθ1-tan2θ； 
④ sin2θ=tan2θ1+tan2θ=1-cos2θ2； 
⑤ cos2θ=1+cos2θ2； 
⑥ 1±sinθ=cosθ2±sinθ22=cosθ2±sinθ2； 
⑦ tanθ2=sinθ1+cosθ=1-cosθsinθ．
(3) 积化和差公式
① sinαcosβ=12sin(α+β)+sin(α-β)； 
② cosαsinβ=12sin(α+β)-sin(α-β)； 
③ cosαcosβ=12cos(α+β)+cos(α-β)； 
④ sinαsinβ=-12cos(α+β)-cosα-β．
(4) 和差化积公式
① sinα+sinβ=2sinα+β2cosα-β2； 
② sinα-sinβ=2cosα+β2sinα-β2； 
③ cosα+cosβ=2cosα+β2cosα-β2； 
④ cosα-cosβ=-2sinα+β2sinα-β2．
6. 反三角函数
由于三角函数是周期函数，所以它们在各自的自然定义域上不是一一映射，不存在反函数．若将三角函数的定义域限制在某一单调区间上，这样得到的函数就存在反函数，称为反三角函数．表1-2中的反三角函数是限制在主值区间上的反三角函数．

表1-2反三角函数



函数名称
函数记号
定义域
值域
单调性
性质

反正弦函数
y=arcsinx
［-1,1］
-π2,π2
递增
arcsin(-x)=-arcsinx，奇函数


反余弦函数
y=arccosx
［-1,1］
0,π
递减
arccos(-x)=π-arccosx
反正切函数
y=arctanx
R
-π2,π2
递增
arctan(-x)=-arctanx，奇函数
反余切函数
y=arccotx
R
(0,π)
递减
arccot(-x)=π-arccotx

基本初等函数经过有限次四则运算和复合所生成的函数，称为初等函数．例如y=1-x2,y=sinx2，y=cotx2等都是初等函数．本课程中讨论的函数基本上都是初等函数．
1.2函数的参数方程与极坐标方程
1.2.1函数的参数方程

一般情况下，若方程



x=x(t),



y=y(t)(1-1)


确定了y与x之间的函数关系，则称此函数为由参数方程所确定的函数．变量t称为参数，关系式(1-1)称为参数方程．
例1.3(1) 圆周x2+y2=a2(a>0)的参数方程一般表示为


x=acost,



y=asint(0≤t<2π)．


(2) 椭圆x2a2+y2b2=1的参数方程一般表示为


x=acost,



y=bsint(0≤t<2π)．


(3) 双曲线x2a2-y2b2=1的参数方程一般表示为


x=acosht,



y=bsinht(-∞<t<+∞)．


这里，sinht=et-e-t2，cosht=et+e-t2，称为双曲函数．


图1-2

(4) 当半径为R的圆周沿水平直线(地面)滚动时，开始时圆周上与地面相切的那个点的运动轨迹称为摆线(图1-2)，其参数方程为


x=R(t-sint),



y=R(1-cost)(-∞<t<+∞)．


1.2.2函数的极坐标方程
在平面内取一个定点，叫做极点； 自极点O引一条射线Ox，叫做极轴； 再选定一个长度单位、一个角度单位(通常用弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)．这样就建立了一个极坐标系．如图1-3所示，设M是平面内一点，极点O与点M的距离|OM|叫做点M的极径，记为r(r≥0)； 以极轴Ox为始边，射线OM为终边的∠xOM叫做点M的极角，记为θ； 有序实数对(r,θ)叫做点M的极坐标，记为M(r,θ)．


图1-3

将直角坐标系与极坐标系放在同一个平面中，原点与极点重合，极轴与x轴的正半轴重合，并取相同的单位长度．设M是平面内任意一点，它的直角坐标是(x,y)，极坐标是(r,θ)，则有


x=rcosθ



y=rsinθ, 与
r2=x2+y2,

tanθ=yx(x≠0),


若x=0,y>0,则θ=π2； 若x=0,y<0,则θ=3π2．即直角坐标与极坐标之间可以相互转化．
例1.4(1) 圆心在原点、半径为a (a>0)的圆周的极坐标方程为r=a (θ∈［0,2π))．
(2) 直线ax+by=c的极坐标方程为r=cacosθ+bsinθ．
特别地，垂直于x轴的直线x=a的极坐标方程为r=acosθ； 


图1-4

垂直于y轴的直线y=b的极坐标方程为r=bsinθ．
(3) 直径均为a (a>0)的两个圆周外切，当一个圆周沿另一个圆周滚动时，动圆周上一点的运动轨迹就是心脏线(图1-4)，其极坐标方程为


r=a(1+cosθ),θ∈［0,2π)．


1.3复数
1.3.1复数域

在解实系数的一元二次方程ax2+bx+c=0时，如果Δ=b2-4ac<0，则方程没有实根．这是因为在实数范围内，没有一个实数的平方会等于负数．为了解决这一问题，我们引入一个新数i，叫做虚数单位，并规定： 
(1) i2=-1； 
(2) 实数可以与它进行四则运算，原有的运算法则仍然成立．
根据虚数单位i的第(2)条性质，i可以与实数y相乘，再与实数x相加，从而可以把结果写成x+iy．称形如z=x+iy (x,y∈R)的数为复数，实数x和y分别称为复数z的实部和虚部，记为


x=Rez,y=Imz．


复数z1=x1+iy1与z2=x2+iy2相等，是指它们的实部与实部相等，虚部与虚部相等，即


x1+iy1=x2+iy2  x1=x2,y1=y2．


全体复数的集合称为复数集，记为C．虚部为零的复数是实数，即实数集是复数集的真子集．虚部不为零的复数称为虚数，实部为零且虚部不为零的复数称为纯虚数．我们称复数x+iy和x-iy互为共轭复数，复数z的共轭复数记为z-，即


x-iy=x+iy或x+iy=x-iy．


设复数z1=x1+iy1，z2=x2+iy2，那么复数的四则运算为：
(1) z1±z2=(x1±x2)+i(y1±y2)； 
(2) 两个复数相乘，按多项式乘法法则进行，其中i2=-1，即


z1z2=(x1x2-y1y2)+i(x1y2+x2y1)； 


(3) 若z2≠0，对于z1z2，分子分母同乘以分母的共轭复数，再进行化简，即


z1z2=z1·z-2z2·z-2=x1x2+y1y2x22+y22+ix2y1-x1y2x22+y22，z2≠0.


全体复数引入上述运算后就称为复数域．与实数域不同，复数域中不能规定复数的大小．
1.3.2复数的模与辐角
一个复数z=x+iy本质上是由一对有序实数(x,y)唯一确定．因此可以建立平面上全部的点与全体复数间的一一对应，即以横坐标为x、纵坐标为y的点来表示复数z=x+iy (图1-5)．由于x轴上的点对应着实数，故x轴称为实轴； y轴上的非原点的点对应着纯虚数，故y轴称为虚轴．这样表示复数z的平面称为复平面或z平面．


图1-5

也可以借助点z的极坐标(r,θ)来表示复数z的位置．用向量Oz表示复数z=x+iy，其中x,y分别是Oz沿x轴与y轴的分量．向量Oz的长度称为复数z的模或绝对值，以符号z或r表示，因而有


r=|z|=x2+y2≥0,


且|z|=0的充要条件是z=0．由于复数z的模z是非负实数，所以能够比较大小．实轴正向到非零复数z=x+iy所对应的向量Oz间的夹角θ称为复数z的辐角，记为θ=Argz．有


tanθ=yx.


由于任一非零复数z有无穷多个辐角，称在区间(-π,π］内的辐角为Argz的主值，或称为z的主辐角，记为argz．于是


θ=Argz=argz+2kπ,k∈Z．


从直角坐标与极坐标的关系，我们可以用复数的模与辐角来表示复数z，即


z=r(cosθ+isinθ)，


称为复数z的三角形式．特别地，当r=1时，


z=cosθ+isinθ，


这种复数称为单位复数．
由欧拉公式


eiθ=cosθ+isinθ，


可引入复数z的指数形式


z=reiθ，


并称z=x+iy为复数z的代数形式．复数的这三种表示形式可相互转换，以适应讨论不同问题时的需要，且使用起来各有其便．例如，设z1=r1eiθ1,z2=r2eiθ2，由指数函数的性质知


z1·z2=r1eiθ1·r2eiθ2=r1r2ei(θ1+θ2)，z1z2=r1eiθ1r2eiθ2=r1r2ei(θ1-θ2)．


显然，利用复数的指数形式做乘除法较简单．
复习题一
1. 求下列函数的自然定义域.
(1) y=1x+2；  (2) y=x2-9；  (3) y=11-x2+x+1；   (4) y=1［x+1］．
2. 下列各对函数中哪些相同，哪些不同？
(1) f(x)=xx,g(x)=1；  (2) f(x)=x,g(x)=x2； 
(3) f(x)=1,g(x)=cos2x+sin2x； 
(4) f(x)=1,g(x)=sec2x-tan2x．
3. 下列函数中哪些是偶函数？哪些是奇函数？哪些是非奇非偶函数？
(1) y=x+x2-x3； (2) y=a+bcosx； 
(3) y=ln1+x2-x； (4) y=xsin1x．
4. 指出下列函数的复合过程．
(1) y=ln(x2+1)； (2) y=2sin21x； 
(3) y=sin［lg(x2+1)］； 
(4) y=arcsin22x1+x2．
5. 设函数f(x)在(-∞,+∞)内是奇函数，且f(1)=a，对任何x值都有


f(x+2)-f(x)=f(2)．


(1) 用a表示f(2)和f(5)； 
(2) 问a取何值时，f(x)是以2为周期的周期函数．
6. 设f(x)=4-x2,|x|≤2,



0,|x|>2,求f［f(x)］．
7. 求下列函数的反函数及反函数的定义域．
(1) y=2x2x+1； (2) y=1+2sinx-1x+1 (x≥0)； 
(3) y=1-x2 (-1≤x≤0)； (4) y=x,-∞<x<1,
x2,1≤x≤4,
2x,4<x<+∞.
8. 设f(x)=11-x2，求f［f(x)］，f1f(x)．
9. 设z=1-3i2，求z及Argz．
10. 设z1=1+i2,z2=3-i,试用指数形式表示z1·z2及z1z2．



极限与连续

微积分
第2章极限与连续

微积分是一门以变量作为研究对象、以极限方法作为基本研究手段的数学学科．应用极限方法研究各类变化率问题和曲线的切线问题，就产生了微分学； 应用极限方法研究诸如曲边梯形的面积等这类涉及微小量无穷积累的问题，就产生了积分学．可以说，整个微积分学是建立在极限理论基础之上的．
本章将介绍极限的概念、性质和运算法则； 介绍与极限概念密切相关且在微积分运算中扮演重要角色的无穷小量； 还将求得两个应用非常广泛的重要极限．学好这些内容，准确理解极限概念，熟练掌握极限运算方法，是学好微积分的基础．本章的后半部分将通过极限引入函数的一类重要性质——连续性，连续性是对客观世界广泛存在的连续变化现象的数学描述．由于连续函数具有良好的性质，无论在理论上还是在应用中都十分重要，故本课程主要讨论连续函数．
2.1数列的极限
2.1.1引例



图2-1

自然界中很多量仅通过有限次的算术运算是计算不出来的，必须通过分析一个无限变化过程的变化趋势才能求得结果，这正是极限概念产生的客观基础．古希腊数学家阿基米德(Archimedes)利用内接矩形的面积来推算曲边三角形
注： 一条边为曲线的三角形称为曲边三角形，曲线边简称为曲边．(图2-1)的面积的方法就是极限思想在几何学上的应用．
如图2-1所示，曲线y=x2与x轴、直线x=1围成一个曲边三角形，求其面积S．

解决这个问题的困难在于这个图形的上部边界是一条曲线，