第1章行列式 行列式是研究矩阵和线性方程组的重要工具，而矩阵和线性方程组又是线性代数的重要组成部分.本章主要介绍n阶行列式的定义、性质、计算方法以及用行列式解线性方程组的克莱姆法则.在后面章节关于逆矩阵、矩阵的秩、方阵的特征值等问题的讨论中，行列式都是必不可少的研究工具. 1.1排列与逆序数 为了给出n阶行列式的概念，我们首先引入排列与逆序的概念. 定义1.1由1,2,…,n组成的n个不同数字的全排列，称为一个n级排列，记作j1j2…jn.例如321,213都是三级排列，2413是一个四级排列. 由定义知，n级排列共有n!个.例如由1,2,3所组成的三级排列共有3!=6个.它们是123,132,231,213,312,321.在以上所有的三级排列中，除排列123是按从小到大顺序排列(称此排列为自然排列)以外，其余的排列中，都有较大的数排在较小的数前面. 定义1.2在一个n级排列j1j2…jn中，如果有较大的数jt排在较小的数js的前面(jt>js)，则称jt与js构成一个逆序，记作jtjs； 一个n级排列j1j2…jn中逆序的总数，称为这个排列的逆序数，记作τ(j1j2…jn). 如果排列的逆序数是奇数，则称为奇排列，排列的逆序数是偶数，则称为偶排列，规定逆序数为零的排列为偶排列.如三级排列123，231，312是偶排列，132，213，321是奇排列. 定义1.3在一个n级排列j1…js…jt…jn中，如果将其中两个数js和jt的位置互换，其余数位置不变，就得到另一个排列j1…jt…js…jn，这样的变换，称为一次对换，记为(js,jt).相邻两个数的对换称为相邻对换. 定理1.1一次对换改变排列的奇偶性. 证先证相邻对换的情形. 设排列为j1j2…js-1jsjtjt+1…jn，对换js与jt后，变为j1j2…js-1jtjsjt+1…jn，显然j1,j2,…,js-1,jt+1,…,jn这些数构成的逆序及它们与js或jt构成的逆序经过对换并不改变，只是js与jt是否构成逆序在对换前后不同.如果jsjt，则经过对换后逆序就减少一个，因此原排列与新排列的奇偶性恰好相反，即一次相邻对换改变排列的奇偶性. 再证一般对换的情形. 设排列为j1j2…js-1jsjs+1…js+mjtjt+1…jn.对换js与jt，可看成是： 先将jt做m次相邻对换变为j1j2…js-1jsjtjs+1…js+mjt+1…jn，再将js做m+1次相邻对换变为j1j2…js-1jtjs+1…js+mjsjt+1…jn.故完成js与jt的对换总共需经过2m+1次相邻对换，因此两排列的奇偶性相反. 定理1.2 在所有的n(n≥2)级排列中，奇排列与偶排列的个数相等，各为n!2个. 证设在所有的n级排列中，奇排列共有p个，偶排列共有q个. 对这p个奇排列施以同一个对换(js,jt)，则由定理1.1可知p个奇排列全部变成偶排列，于是得到p个偶排列，由于偶排列总共只有q个，所以p≤q； 同理，如果将全部的偶排列都施以同一个对换(js,jt)，则q个偶排列全部变成奇排列，于是又有q≤p，所以p=q，即奇排列与偶排列的个数相等. 又由于n级排列共有n!个，即p+q=n!，所以p=q=n!2. 1.2n阶行列式的定义 为了给出n阶行列式的定义，我们先来介绍二阶、三阶行列式. 在中学代数中，用消元法解二元线性方程组 a11x1+a12x2=b1 a21x1+a22x2=b2(1.1) 当a11a22-a12a21≠0时，方程组(1.1)有唯一解 x1=b1a22-b2a12a11a22-a12a21，x2=b2a11-b1a21a11a22-a12a21(1.2) 为便于记忆，我们引入记号 a11a12 a21a22=a11a22-a12a21(1.3) 称为二阶行列式，则(1.2)式中两个分子可分别表示为二阶行列式 b1a12 b2a22=b1a22-b2a12，a11b1 a21b2=b2a11-b1a21 二阶行列式含有两行、两列，横排称为行，纵排称为列，行列式中的数又称为行列式的元素.二阶行列式代表的是一个数，它是两项的代数和： 一项是从左上角到右下角的对角线(称为行列式的主对角线)上两元素的乘积，取正号； 一项是从右上角到左下角的对角线(称为行列式的次对角线)上两元素的乘积，取负号.若将上述三个二阶行列式分别记为D,D1,D2，则(1.2)式可表示为 x1=D1D，x2=D2D(1.4) 例1.1求解二元线性方程组 3x1-2x2=12 2x1+x2=1 解由于 D=3-2 21=3-(-4)=7≠0 D1=12-2 11=12-(-2)=14，D2=312 21=3-24=-21 所以x1=D1D=2，x2=D2D=-3. 同样，用消元法解三元线性方程组 a11x1+a12x2+a13x3=b1 a21x1+a22x2+a23x3=b2 a31x1+a32x2+a33x3=b3(1.5) 当a11a22a33+a12a23a31+a13a21a32-a13a22a31-a12a21a33-a11a23a32≠0时，方程组(1.5)有唯一解.引入三阶行列式 a11a12a13 a21a22a23 a31a32a33=a11a22a33+a12a23a31+a13a21a32 -a13a22a31-a12a21a33-a11a23a32 (1.6) 三阶行列式代表的数值可通过下面图示(又称为对角线法则)加以记忆： 实线上三个元素的乘积取正号； 虚线上三个元素的乘积取负号.但需要注意，对角线法则只适用于二阶和三阶行列式的计算. 按上述规则，有 b1a12a13 b2a22a23 b3a32a33=b1a22a33+a12a23b3+a13b2a32-a13a22b3-a12b2a33-b1a23a32 a11b1a13 a21b2a23 a31b3a33=a11b2a33+b1a23a31+a13a21b3-a13b2a31-b1a21a33-a11a23b3 a11a12b1 a21a22b2 a31a32b3=a11a22b3+a12b2a31+b1a21a32-b1a22a31-a12a21b3-a11b2a32 若将上述四个三阶行列式分别记为D,D1,D2,D3，则当D≠0时，方程组(1.5)的唯一解可表示为 x1=D1D，x2=D2D，x3=D3D(1.7) 显然，用行列式表示方程组的解，形状简便，容易记忆. 例1.2计算三阶行列式 D=201 1-4-1 -183 解按上述三阶行列式的计算法则，有 D=2×(-4)×3+1×1×8+0×(-1)×(-1) -1×(-4) ×(-1)-0×1×3-2×(-1)×8 =-4 从(1.3)式和(1.6)式可知，二阶、三阶行列式都是一些乘积项的代数和； 而每一乘积项都是由行列式中位于不同行、不同列的元素构成的； 并且等号右端恰好就是由所有这种可能的乘积项组成.另外，每一项还带有一定的符号，如在三阶行列式中，右端的每一项均可写成如下的一般形式： a1j1a2j2a3j3 当这一项中各元素的行标按自然排列时，则该项的符号由其列标构成的排列的奇偶性来决定.若j1j2j3为偶排列，则该项的符号取正号； 若j1j2j3为奇排列，则该项的符号取负号.因此三阶行列式也可写成 a11a12a13 a21a22a23 a31a32a33=∑j1j2j3(-1)τ(j1j2j3)a1j1a2j2a3j3 其中∑j1j2j3表示对所有的三级排列求和. 仿照三阶行列式的特点，我们给出n阶行列式的定义. 定义1.4由n2个元素aij(i,j=1,2,…,n)排成的n行、n列的数表 a11a12…a1n a21a22…a2n  an1an2…ann 称为n阶行列式.它表示一个数，这个数是n!项的代数和，每一项都是取自行列式中不同行不同列的n个元素的乘积，各项的符号是： 当这一项中各元素的行标构成自然排列时，若列标构成的排列为偶排列则取正号，若列标构成的排列为奇排列则取负号.所以n阶行列式中的一般项可写成 (-1)τ(j1j2…jn)a1j1a2j2…anjn(1.8) 其中j1j2…jn是一个n级排列，当j1j2…jn取遍所有的n级排列时，则得到n阶行列式所表示的代数和中的所有项.因此n阶行列式 a11a12…a1n a21a22…a2n  an1an2…ann= ∑j1j2…jn(-1)τ(j1j2…jn)a1j1a2j2…anjn (1.9) 其中∑j1j2…jn表示对所有的n级排列求和.(1.9)式称为n阶行列式按行标自然排列的展开式. 当n=1时，规定|a|=a，即由一个元素a构成的一阶行列式就是元素a本身. 例1.3计算下三角形行列式 D=a1100…0 a21a220…0 a31a32a33…0  an1an2an3…ann 解根据行列式定义，n阶行列式是n!项的代数和，但由于该行列式中有许多元素为零，含零元素的乘积项等于零，因此只需计算那些不等于零的项.而D的一般项(1.8)式中，只有当j1=1,j2=2,…,jn=n时，乘积a1j1a2j2…anjn才可能不为零.所以 D=(-1)τ(12…n)a11a22…ann=a11a22…ann 仿照例1.3可得，上三角形行列式的值也等于主对角线上所有元素的乘积，即 a11a12a13…a1n 0a22a23…a2n 00a33…a3n  000…ann=a11a22…ann 特别地，对角形行列式的值为 a1100…0 0a220…0 00a33…0  000…ann=a11a22…ann 由于数的乘法满足交换律，所以行列式的一般项中各元素的位置可以任意交换，行列式的值是不变的.因此有下面定理. 定理1.3n阶行列式又可表示为 a11a12…a1n a21a22…a2n  an1an2…ann=∑i1i2…in(-1)τ(i1i2…in)ai11ai22…ainn(1.10) (1.10)式称为n阶行列式按列标自然排列的展开式. 证对于行列式的一般项(行标为自然排列) (-1)τ(j1…js…jt…jn)a1j1…asjs…atjt…anjn 其中τ(j1…js…jt…jn)=τ(1…s…t…n)+τ(j1…js…jt…jn).若对换asjs与atjt的位置，则行标排列和列标排列各作了一次对换，故新行标排列和新列标排列的逆序数的奇偶性都发生了改变，但两排列逆序数之和的奇偶性不变.因此经过若干次对换后，行标排列和列标排列逆序数之和的奇偶性也不变，即当列标排列j1j2…jn变成自然排列，行标排列相应变成某个排列i1i2…in时，有 (-1)τ(12…n)+τ(j1j2…jn)=(-1)τ(i1i2…in)+τ(12…n)， 即 (-1)τ(j1j2…jn)=(-1)τ(i1i2…in) 此时(-1)τ(j1j2…jn)a1j1a2j2…anjn=(-1)τ(i1i2…in)ai11ai22…ainn，得证. 更一般地，n阶行列式的一般项也可以写成 (-1)τ(i1i2…in)+τ(j1j2…jn)ai1j1ai2j2…ainjn 其中i1i2…in及j1j2…jn都是n级排列. 例1.4计算n阶行列式 D=a11a12…a1,n-1a1n a21a22…a2,n-10  an-1,1an-1,2…00 an10…00 解根据(1.10)式，行列式中的一般项只有当i1=n,i2=n-1,…,in-1=2,in=1时，才可能不等于零，所以 D=(-1)τ(n…21)an1an-1,2…a1n=(-1)n(n-1)2an1an-1,2…a1n 注意，在以后的行列式计算中，例1.3、例1.4常作为重要结果直接应用. 1.3行列式的性质 利用行列式的定义计算较高阶的行列式时，其计算量是相当大的，因此为了简化行列式的计算，有必要研究行列式的性质. 将行列式D的行、列互换后得到的行列式，称为行列式D的转置行列式，简称转置，记作DT. 性质1行列式转置，其值不变，即D=DT. 证若将行列式D及其转置DT分别记为 D=a11a12…a1n a21a22…a2n  an1an2…ann,DT=b11b12…b1n b21b22…b2n  bn1bn2…bnn 根据转置的定义，有aij=bji(i,j=1,2,…,n).因此将DT按行标自然排列展开，得 DT=∑j1j2…jn(-1)τ(j1j2…jn)b1j1b2j2…bnjn =∑j1j2…jn(-1)τ(j1j2…jn)aj11aj22…ajnn 此即为行列式D按列标自然排列的展开式，所以D=DT. 性质1表明，行列式的行和列的地位是相同的，因此对于行成立的性质，对于列也一定成立. 性质2互换行列式D的某两行(列)的位置，行列式的值变号. 证若将行列式D及互换D的第s行、第t行后得到的新行列式分别记为 D=a11a12…a1n  as1as2…asn  at1at2…atn  an1an2…ann，D1=b11b12…b1n  bs1bs2…bsn  bt1bt2…btn  bn1bn2…bnn=a11a12…a1n  at1at2…atn  as1as2…asn  an1an2…ann 则根据行列式定义，有 D1=∑j1…js…jt…jn(-1)τ(j1…js…jt…jn)b1j1…bsjs…btjt…bnjn =∑j1…js…jt…jn(-1)τ(j1…js…jt…jn)a1j1…atjs…asjt…anjn =-∑j1…jt…js…jn(-1)τ(j1…jt…js…jn)a1j1…asjt…atjs…anjn =-D 推论1若行列式有两行(列)完全相同，则此行列式等于零. 显然，将完全相同的两行互换，则D=-D，故D=0. 性质3行列式中某一行(列)的公因子，可以提到行列式符号的前面，即 a11a12…a1n  kai1kai2…kain  an1an2…ann=ka11a12…a1n  ai1ai2…ain  an1an2…ann 证左端=∑j1j2…jn(-1)τ(j1j2…jn)a1j1…(kaiji)…anjn =k∑j1j2…jn(-1)τ(j1j2…jn)a1j1…aiji…anjn =右端 推论2行列式的某一行(列)中所有元素都乘以数k等于用数k乘以此行列式. 推论3若行列式的某一行(列)中所有元素全为零，则此行列式等于零. 推论4若行列式的某两行(列)的对应元素成比例，则此行列式等于零. 性质4若行列式的某一行(列)中所有元素都是两个元素的和，则此行列式等于两个行列式的和.即 a11a12…a1n  ai1+bi1ai2+bi2… ain+bin  an1an2…ann = a11a12…a1n  ai1ai2…ain  an1an2…ann+a11a12…a1n  bi1bi2…bin  an1an2…ann 证左端=∑j1j2…jn(-1)τ(j1j2…jn)a1j1…(aiji+biji)…anjn =∑j1j2…jn(-1)τ(j1j2…jn)a1j1…aiji…anjn+∑j1j2…jn(-1)τ(j1j2…jn)a1j1…biji…anjn =右端 性质5将行列式的某一行(列)所有元素乘以数k加到另一行(列)的对应元素上，行列式的值不变，即 a11a12…a1n  ai1ai2…ain  aj1aj2…ajn  an1an2…ann=a11a12…a1n  ai1ai2…ain  aj1+kai1aj2+kai2…ajn+kain  an1an2…ann 证利用性质4及推论4即可得证. 为便于计算，互换行列式D的i，j两行(或两列)，记作rirj(或cicj)； 第i行(或列)提出公因子k，记作ri÷k(或ci÷k)； 第i行(或列)乘以数k，记作kri(或kci)； 以数k乘以第i行(或列)加到第j行(或列)，记作rj+kri(或cj+kci). 利用行列式的性质，可以简化行列式的计算，特别是利用性质5，可以把行列式中许多元素化为0.计算行列式的一种基本方法就是利用性质将行列式化为上(下)三角形行列式或对角形行列式，从而算得行列式的值. 例1.5计算行列式 D=21-51 1-30-6 02-12 14-76 解利用行列式性质，将行列式化为上三角形行列式. 先互换行列式的第1、2两行，同时提取第3列的公因子-1，再利用行列式性质5，得 D r1r2 c3÷(-1) 1-30-6 2151 0212 1476 r2-2r1 r4-r1 1-30-6 07513 0212 07712 r3- 27r2 r4-r2 1-30-6 07513 00-37- 127 002-1 r3÷ -37 -37 1-30-6 07513 0014 002-1 r4-2r3 -37 1-30-6 07513 0014 000-9=27 例1.6解方程 Dn=xa…a ax…a  aa…x=0 解由于方程左端的行列式Dn的每一行各元素之和均为x+(n-1)a，故将第2，3，…，n列加到第1列后，第1列各元素均为x+(n-1)a； 再将第1列的公因子提出，第1列各元素均变为1； 最后将第1行乘以(-1)加到其他各行上去，则行列式变成上三角形，即 Dn=x+(n-1)aa…a x+(n-1)ax…a  x+(n-1)aa…x=x+(n-1)a1a…a 1x…a  1a…x =x+(n-1)a1a…a 0x-a…0  00…x-a =x+(n-1)a(x-a)n-1 解方程，得x=-(n-1)a或x=a(n-1重根). 例1.7计算行列式 D=a011…1 1a10…0 10a2…0  100…an，ai≠0,i=1,2,…,n 解这是一种特殊类型行列式，通常可根据性质5，化为三角形行列式. 第2列至第n+1列分别乘以-1a1,-1a2,…,-1an加到第1列上去，则该行列式变为上三角形行列式，于是 D=a0-∑ni=11ai11…1 0a10…0 00a2…0  000…an =a1a2…ana0-∑ni=11ai