第1章随机事件及其概率 在自然界和人类社会活动中，人们观察到的现象大体可归结为两种类型. 一类是可事先预言的，即在准确地重复某些条件下，它的结果总是肯定的；或是根据它过去的状态，在相同条件下完全可以预言将来的发展.我们将这类现象称为必然现象.例如，在一个标准大气压下，水加热到100℃时必然沸腾；水稻的生长从播种到收割，总是经过发芽、育秧、长叶、吐穗、扬花、结实这几个阶段．另一类现象是事前无法预言的，即在相同条件下重复进行试验，每次结果未必相同；或是知道它过去的状态，在相同条件下，未来的发展事前却不能完全肯定，我们将这类现象称为随机现象. 例如，新生婴儿可能是男或是女；在相同海况与气象条件下，某定点海面的浪高时起时伏. 概率论与数理统计是研究随机现象及其统计规律性的一门数学学科，概率论是整个随机理论的理论基础，它不仅研究随机现象的基本规律，还通过引入随机变量来刻画和描述随机现象，并在此基础上研究随机变量的规律性．数理统计则是通过观测试验数据，根据建立在概率论基础上的统计原理，对挑选的试验数据进行分析、整理，进而对所研究的随机现象进行推断和预测． 随着科学技术的发展和社会的进步，概率论与数理统计的理论和方法已逐步渗透到自然科学和社会科学的各个领域，在工农业生产、科学研究、经营管理、质量控制、环境监测和抗灾救险等方面都发挥着越来越重要的作用． 1.1随机事件〖*4/5〗1.1.1随机试验例1.1抛掷一枚均匀硬币，落地后可能正面向上，也可能反面向上. 例1.2某射手向同一目标连续射击5次，目标被击中的次数可能是0，1，2,3，4，5中的任何一个数. 例1.3甲、乙二人进行3次定点投篮比赛，比分也会出现多种结果. 例1.4某急救中心在一个工作日内收到的求助信号，可能是任何一个非负整数. 以上各例描述的都是随机现象，也是自然界中普遍存在的一种现象.它们的共同特点是试验结果的不确定性.人们经过长期观察和深入研究发现，在随机现象表现的这种不确定性背后，却隐藏着内在的规律性.虽然在一次试验之前，人们无法准确预测究竟会出现哪种结果，但在相同条件下进行重复试验时，其结果却呈现出明显的统计规律性. 我们将通过随机试验来研究随机现象. 我们把试验作为一个广泛的术语，它包括各种各样的科学试验，甚至对某一事物的某一特征的观察也认为是一种试验.下面举一些例子来说明: E1 : 掷一枚硬币，观察正面H、反面T出现的情况. E2 : 掷一枚骰子，观察其出现的点数. E3 : 记录电话交换台一分钟内接到的呼唤次数. E4 : 袋中装有红、白两色的球各若干，从袋中任取一球，观察其颜色. E5 : 一射手进行射击，直到击中目标为止，观察其射击的情况. E6 : 在一批灯泡中，任意抽取一只，测试其寿命. 以上6个试验的例子，其共同的特点是: 试验可能结果不止一个,例如，E1有两种可能的结果，E2有6种可能的结果，E6可能的结果无穷多；试验前不能确定哪一个结果会出现，并且可以在相同的条件下重复进行试验. 我们将具有以下3个特征的试验称为随机试验，简称试验,常用E表示. （1） 可以在相同的条件下重复进行； （2） 每次试验的可能结果不止一个，并且能事先明确试验的所有可能结果； （3） 进行试验之前不能确定哪一个结果会出现，但试验结束时能确定出现的结果. 应用概率论与数理统计(第2版)第1章随机事件及其概率1.1.2随机事件与样本空间 随机试验E的所有可能结果组成的集合称为E的样本空间，记为Ω.样本空间的元素，即E的每个结果，称为样本点. 下面写出了1.1.1节中试验Ei(i =1，2，…，6)的样本空间Ωi. Ω1: {H，T}. Ω2: {1，2，3，4，5，6}. Ω3: {0，1，2，…}. Ω4: {白色，红色}. Ω5: {+，-+，--+，…}，这里“+”表示击中，“-”表示没有击中. Ω6: {t | t≥0}. 随机试验E的结果称为随机事件(即样本空间Ω的子集)，简称事件.一般用大写英文字母A,B,C,…表示. 由一个样本点组成的单点集，称为基本事件(不能再分解的事件).由若干基本事件组合而成的事件称为复合事件. 例如E2中，事件“点数1”是由一个样本点组成的，它是E2的基本事件；如事件“点数2”，“点数3”，…，“点数6”都是基本事件.而出现偶数点，出现素数点都不止含有一个样本点，是复合事件而不是基本事件.在E3中，事件A={10}表示该电话交换台一分钟内接到的呼唤次数为10次，它是样本空间Ω3的子集，同时，它也是一个基本事件. 样本空间Ω包含所有的样本点，它是Ω自身的子集，在每次试验中它总是发生的，称为必然事件.在每次试验中都不发生的事件称为不可能事件，不可能事件也是Ω的子集，通常用表示. 例如E2中，点数不大于6的事件是必然事件；点数大于6的事件是不可能事件. 1.1.3事件间的关系与运算 设试验E的样本空间为Ω,A,B,Ak(k=1,2,…)是E的事件. 1. 包含与相等 若事件A发生必将导致事件B发生，则称事件A为事件B的子事件，记为AB.或称事件B包含事件A.可用图1.1来直观地说明，图中矩形表示样本空间Ω，圆A与圆B分别表示事件A与事件B，事件B包含事件A. 若事件B包含事件A，且事件A也包含事件B，则称事件A与事件B相等，记为A=B. 2. 事件的和(或并) 事件A与事件B至少有一个发生，这一事件称为事件A与事件B的和(或并)，记为A∪B，如图1.2阴影部分所示. 图1.1 图1.2 类似地，事件A1,A2,…,An中至少有一个发生的事件称为事件A1,A2,…,An的和事件，记为A1∪A2∪…∪An，简记为∪ni=1Ai；称∪∞i=1Ai为可列个事件A1,A2,…的和事件. 3. 事件之差 事件A发生而事件B不发生的事件称为事件A与事件B的差事件，记为A-B.如图1.3中阴影部分所示.不难看出A-B=A-AB. 4. 事件之积(或交) 事件A与事件B同时发生的事件称为事件A与事件B的积事件，记为A∩B或AB.如图1.4阴影部分所示. 图1.3 图1.4 类似地可定义事件A1,A2,…,An的积事件: ∩ni=1Ai=A1∩A2∩…∩An. 5. 事件互不相容(或互斥) 若事件A与事件B不能同时发生，即AB=，则称事件A与事件B为互斥事件，也称事件A与事件B互不相容.基本事件是互不相容的.图1.5直观地表示了事件A与事件B是互不相容的. 对于互不相容事件的和A∪B，记作A+B. 一般地，若一组事件A1,A2,…,An,…中任意两个都互斥，称这组事件两两互斥. 6. 互为对立事件(或逆事件) 若事件A与事件B互斥，且其和事件为必然事件，即AB=，且A+B=Ω，则称事件A与事件B是互为对立事件.记为B=A或A=B.即A＝Ω-A.如图1.6所示. 图1.5 图1.6 由以上定义可知: 对立事件一定互斥，而互斥事件未必对立. 易见: A-B=A-AB=A，这在以后的概率计算中十分有用. 7. 互斥事件完备组 设Ω为某随机试验E的样本空间，如果一组事件A1,A2,…,An满足下列条件: ①A1,A2,…,An两两互斥，即AiAj=(i≠j)； ②A1+A2+…+An=Ω；则称事件A1,A2,…,An为样本空间Ω的一个互斥事件完备组，或称A1,A2,…,An为样本空间Ω的一个剖分. 8. 事件之间的运算规则 与集合的运算类似，事件之间的运算满足下列规则. (1) 交换律:A∪B=B∪A,AB=BA; (2) 结合律: (A∪B)∪C=A∪(B∪C),(AB)C=A(BC); (3) 分配律: (A∪B)C=(AC)∪(BC),(AB)∪C=(A∪C)(B∪C); (4) 德摩根(De Morgan)律: A∪B=,AB=A∪B； (5) 包含律: AA∪B,BA∪B;ABA，ABB. 此外，对于多个随机事件，上述运算规则也成立. 从上面的图示中，我们还可以得到以下一些关系： A-BA；A，B与AB两两互斥，A=A∪AB,A∪B=A∪B∪AB=A∪B=B∪A=A∪(B-A),… 有了上面一些表示法和事件的运算规则，给我们处理复杂事件带来很大方便. 例1.5设A,B,C为任意三个事件，试用A,B,C的运算关系表示下列各事件: ①三个事件中至少一个发生； ②没有一个事件发生； ③恰有一个事件发生； ④至多有两个事件发生； ⑤至少有两个事件发生. 解① A∪B∪C； ② ABC=A∪B∪C； ③ ABC+ABC+ABC； ④ (ABC+ABC+ABC)+(C+B+A)+=ABC=∪∪； ⑤ ABC∪AC∪BC∪ABC=AB∪BC∪AC. 1.2随机事件的概率 研究随机现象，不仅要知道它可能出现哪些事件，更重要的是要知道各种事件出现的可能性大小，以揭示这些事件的内在统计规律.因此，我们需要一个能够刻画事件出现可能性大小的数量指标，通常地，我们把用来刻画事件A出现可能性大小的数量指标称为事件A的概率，记为P(A). 1.2.1古典概率 一般地，若随机试验E满足以下两个条件: (1) 有限性.试验的结果只有有限个，即试验产生有限个基本事件. (2) 等可能性.每个结果出现的可能性都相同，即每次试验中各个基本事件出现的可能性相同，则称随机试验E为古典概型. 定义1.1设随机试验E是含有n个基本事件的古典概型，事件A包含k个基本事件，则事件A的概率为P(A)=事件A包含的基本事件数样本空间中所含的基本事件总数=kn.在古典概型下定义的事件的概率为古典概率. 性质1对古典概率，有①0≤P(A)≤1； ②P(Ω)=1,P()=0； ③若A与B互斥，则P(A+B)=P(A)+P(B). 例1.6盒子里有10只球，其中6只白球，4只红球.现从盒子里任取一球，问取到白球的概率是多少？ 解设A表示“任取一球为白色”的事件，则有P(A)=35. 例1.7书架上有15本书，其中5本精装书，10本平装书.现随机地抽取3本，求至少抽到一本精装书的概率. 解方法一设A表示“随机抽取的3本书中至少有一本精装书”的事件，Ai(i=1,2,3)表示“3本书中恰有i本精装书”的事件(i=1，2，3)，则有A=A1∪A2∪A3，所以P(A)=P(A1)+P(A2)+P(A3)=C15C210C315+C25C110C315+C35C315=6791.方法二P(A)=1-P()=1-C310C315=6791. 例1.8袋中有10只球，其中6只白球，4只红球.从袋中任取球两次，每次取一只.考虑两种情况: (1)第一次取一球观察颜色后放回袋中，第二次再取一球，这种情况叫做有放回抽样； (2)第一次取后不放回袋中，第二次再取一球，这种情况叫做不放回抽样.试分别就上述两种情况，求: 取到2只球都是白球的概率；取到的2只球颜色相同的概率. 解设A,B分别表示“取得的2只球都是白球”，“取得的2只球都是红球”，于是“取得颜色相同的球”的事件为A+B. (1) 有放回抽样 试验的基本事件的总数共10×10=100种，事件A包含的基本事件数为6×6=36，事件B包含的基本事件数为4×4=16，于是P(A)=36100=925,P(B)=16100=425,P(A+B)＝36+16100=1325.(2) 不放回抽样 试验的基本事件的总数共10×9=90种，事件A包含的基本事件数为6×5=30种，事件B包含的基本事件数为4×3=12种，故有P(A)=3090=13,P(B)=1290=215,P(A+B)=30+1290=715.例1.9将3个不同的球随机地放入4个不同的盒子中，试求每个盒子里至多有一个球的概率. 解3个球中的每个球都可以放入4个盒子中的任何一个，共有4种不同的放法.3个不同的球放入4个盒子共有4×4×4=43种放法，故试验的基本事件总数为64. 所求事件A“每个盒子中至多有一个球”包含的基本事件数: 第一个球有4种放法，第二个球有3种放法，第三个球有2种放法.于是，3个球放入4个盒子中去，每个盒子中至多有一个球的放法共有4×3×2=24种. 故P(A)=2464=38. 例1.9是典型的“分房”问题.经常遇到的分房问题有: n个人的生日问题；n封信装入M个信封(或信筒)的问题；将n个人等可能地分配到N(n≤N)个房间的问题,等等. 例1.10设有N件产品，其中有M件次品.从中随机抽取n件(不放回抽样)，求其中恰有k(k≤M,k≤n)件次品的概率. 解从N件产品中随机抽取n件(不放回抽样)，共有CnN种取法.恰有k件是次品意味着: 从M件次品中抽取k件及从N-M件正品中抽取n-k件构成，共有CkMCn-kN-M种取法.于是所求概率为CkMCn-kN-MCnN. 例1.11货架上有外观相同的商品12件，其中9件来自产地甲，3件来自产地乙. 现从12件商品中随机地抽取两件，求这两件商品来自同一产地的概率． 解设A1,A2分别表示“两件商品来自产地甲”，“两件商品来自产地乙”，于是“两件商品来自同一产地”的事件为A1∪A2． 从12件产品中随机抽出2件商品，共有C212种取法，且每种取法都是等可能的，每种取法是一个基本事件，于是基本事件总数是C212=12×112×1=66. 事件A1包含的基本事件数为C29=9×82×1=36，事件A2包含的基本事件数为C23=3×22×1=3．于是所求概率为P(A1∪A2)=36+366=1322． 例1.12某接待站在某一周曾接待过12次来访，已知所有这12次接待都是在周二和周四进行的，问是否可以推断接待时间是有规定的？ 解假设接待站的接待时间没有规定，而各来访者在一周的任一天中去接待站是等可能的，那么12次接待来访者都在周二、周四的概率为212712=0.0000003.人们在长期的实践中发现：“概率很小的事件在一次试验中实际上几乎是不发生的”（称之为小概率原理，我们在第7章假设检验中会进一步讨论）．本题中概率很小的事件（概率为0.0000003的事件即12次接待来访者都在周二、周四）竟然发生了，因此我们怀疑假设的正确性，从而推断接待站的接待时间是有规定的. 古典概型的局限性很显然: 它只能用于试验产生的试验结果(或基本事件数)为有限个且等可能性成立的情况.但在某些情况下，这个概念可引申到试验结果(或基本事件数)为无限多的情况，这就是所谓的几何概型. 1.2.2几何概率 一般地，若随机试验E满足以下两个条件: (1) 随机试验E的样本空间Ω可用一个几何区域G表示； (2) 每个样本点落在G中任一区域D中的可能性与区域D的几何测度(一维空间的长度，二维空间的面积，三维空间的体积)成正比，与其位置及形状无关，则称此随机试验E为几何概型. 定义1.2设随机试验E是几何概型，样本空间Ω用几何区域G表示，事件A对应的区域为D，则事件A的概率为P(A)=D的几何测度G的几何测度.在几何概型下定义的事件概率为几何概率. 例1.13在区间［-1,1］上随机取一个数a, 求cosπa2的值介于0到12之间的概率. 解欲使cosπa2的值介于0到12之间，则需－π2≤πa2≤－π3或π3≤πa2≤π2，即需－1≤a≤－23或23≤a≤1，这两个区间的总长度为23，而区间［-1,1］的长度为2，由几何概率的定义知cosπa2的值介于0到12之间的概率为2/32=13. 例1.14甲、乙二人约定下午1点到2点之间在某处碰头，约定先到者等候10min即图1.7 可离去，若二人各自随意地在1～2点之间选一个时刻到达该处，求甲、乙两人能碰上的概率. 解设甲、乙二人到达该处的时间分别是1点x分和1点y分，则0≤x≤60,0≤y≤60；若以(x,y)作为平面上点的坐标，则所有可能到达的时刻就可用平面上的一个边长为60的正方形区域(0≤x≤60,0≤y≤60)内的点来表示，则两人能“碰上”的充要条件是: |x-y|≤10(图1.7中阴影部分)，因此，所求概率为P=阴影部分面积正方形面积=602-(60-10)2602=1136.1.2.3概率的统计定义 概率的古典定义是以等可能为基础的，然而在实际问题中，实现等可能性非常困难，此时人们自然人为地要度量事件出现的可能性大小，最可靠的办法是重复做试验，于是就提出了概率的统计定义. 如果在n次重复试验中，事件A发生k次，则称比值k/n为事件A在n次试验中发生的频率，记为fn(A)，即fn(A)=k/n.显然频率k/n与试验次数n有关，当n不同时，k/n常不同，而即使n相同，k/n也可能不同.但是，在大量重复试验中，频率就将呈现出稳定性来.即当试验次数n充分大时，事件发生的频率常在一个确定的数值附近摆动，n越大，这种摆动幅度越小.这种规律称为频率的稳定性.例如，历史上曾有许多人做过掷硬币的试验，得到的数据见表1.1.表1.1掷硬币试验试验者投掷次数“正面向上”的次数“正面向上”的频率蒲丰404020480.5069皮尔逊1200060190.5016皮尔逊24000120120.5005维尼30000149940.4998容易看出，“正面向上”的频率虽不尽相同，但却都在0.5附近摆动，而且当试验次数越大时，“正面向上”的频率也越接近于0.5.一般情况下，我们这样引入概率的统计定义. 定义1.3在相同条件下重复进行n次试验，如果事件A发生的频率k/n在某个确定数值p的附近摆动，并且随着试验次数n的增大，摆动幅度越来越小，则称数值p为事件A发生的概率，记为P(A)，即P(A)=p.显然，掷一枚质地均匀的硬币，根据概率的统计定义，事件“正面向上”的概率为0.5. 概率的统计定义仅仅指出了事件的概率是客观存在的，但无法用此定义来计算P(A)的值.但它提供了一种概率估计的方法.例如在人口的抽样调查中，根据抽样的一小部分去估计全部人口的文盲比例；在工业生产中，依据抽取的一些产品的检验去估计产品的废品率；在医学上，根据积累的资料去估计某种疾病的死亡率,等等. 1.2.4概率的公理化定义 前面介绍的古典概率与几何概率都是在等可能的前提下给出的，具有很大的局限性，实际中遇到的许多问题都不具有这种等可能性.概率的统计定义在数学上不够严密.因为它的主要依据是: 当试验次数逐渐增大时，频率所呈现的稳定性.但是，试验次数究竟大到什么程度，频率又如何摆动等无法确切描述.概率论作为一门重要的数学分支，也有必要建立一套公理系统，以便使它的所有结论能够形成一个完整的理论体系.1933年，苏联大数学家柯尔莫哥洛夫成功地将概率论实现公理化.下面给出概率的公理化定义. 定义1.4设Ω是随机试验E的样本空间，如果对于E的每一事件A，都有确定的实数P(A)与之对应，并且满足以下条件: (1) (非负性)P(A)≥0； (2) (规范性)P(Ω)=1； (3) (可列可加性)对于Ω中两两互斥的事件A1,A2,…,An,…,都有P∪∞n=1An=P(A1∪A2∪…∪An∪…) =P(A1)+P(A2)+…+P(An)+….则称P(A)为事件A的概率. 1.2.5概率的性质 性质1P()＝0. 性质2设A1,A2，…,An是n个两两互斥的事件，则P∪ni=1Ai=∑ni=1P(Ai).性质3设A为任一事件，则P(A)=1-P(A).证明因为AA=，A∪A=Ω,P(Ω)=1，所以P(A)+P(A)=1，从而 P(A)=1-P(A). 性质4(减法法则)设A，B为两个事件，则P(A-B)=P(A)-P(AB). 证明由于A=A(B+)=AB+A，故P(A)=P(AB)+P(A),因此P(A-B)=P(A)=P(A)-P(AB).推论1设A，B为两个事件，且AB，则P(A-B)=P(A)-P(B). 推论2若AB，则P(A）≥P(B). 性质5对于任一事件A,有P(A)≤1. 性质6(加法法则)设A,B为任意两个事件，则P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(AB).证明由于A(B-AB)=(图1.8)，并且A∪B=A+(B-AB)，故P(A∪B)=P(A)+P(B-AB).又由ABB，根据性质3的推论可得图1.8 P(B-AB)=P(B)-P(AB).因此P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(AB). (1.1)加法法则可以推广到任意有限个事件的和，如对任意三个事件A,B,C，有P(A∪B∪C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB) -P(AC)-P(BC)+P(ABC).例1.15 产品有一等品、二等品及废品3种，若一、二等品率分别为0.63，0.35，求产品的合格品率及废品率. 解令事件A表示产品为合格品，A1,A2分别表示一、二等品，显然A1与A2互不相容，且A=A1+A2，则合格品率P(A)=P(A1+A2)=P(A1)+P(A2)=0.98，废品率P()=1-P(A)=0.02. 例1.16设有100件产品，其中有95件合格品，5件次品.从中任取5件，试求其中至少有一件次品的概率. 解方法一用Ai(i=0,1,2,3,4,5)分别表示“5件产品中有i件次品”，用A表示“至少有一件次品”，于是P(A)=∑5i=1P(Ai)=∑5i=1Ci5C5-i95C5100≈0.2304. 方法二由于“至少有一件次品”的对立事件是“无次品”，所以P(A)=1-P(A)=1-P(A0)=1-C595C5100=1-0.7696≈0.2304. 第二种解法显示了对立事件概率的性质在计算事件概率时的作用.一般当所要求概率的事件较复杂时，常常考虑先求其对立事件的概率. 1.3条件概率〖*4/5〗1.3.1条件概率与乘法公式在实际问题中，除了要考虑某事件的概率，还要考虑在其他事件已出现的条件下该事件的概率.如下例. 例1.17一批产品共100件，其中合格品90件，合格品中的一等品60件，现从中任取一件，则(1)取到合格品的概率为90100； (2)若已知取到的是合格品，则它是一等品的概率为6090. 为此给出下面的定义以示区别. 定义1.5在已知某个事件A发生的条件下，事件B发生的概率，称为事件B在事件A下的条件概率，记为P(B|A).相应地，称P(B)为无条件概率. 于是例1.17中，若用事件A表示取到合格品，用事件B表示取到一等品，则P(A)=90100，P(B|A)=6090. 由此例可以看出，有没有附加条件，对最终结果通常是会有一定影响的.那么，附加条件对最终结果到底会产生什么影响呢？ 一般情况下，我们规定: 如果P(A)>0，则在事件A发生的条件下事件B发生的条件概率为 P(B|A)=P(AB)P(A). 　　　 　　　　 (1.2)类似地，如果P(B)>0，则在事件B发生的条件下事件A发生的条件概率为P(A|B)=P(AB)P(B). (1.3)由条件概率公式(1.2)和(1.3)容易得到P(AB)=P(A)P(B|A)； (1.4) P(AB)=P(B)P(A|B). (1.5)公式(1.4)和式(1.5)称为概率的乘法公式.将乘法公式推广到三个事件，可得P(ABC)=P(AB)P(C|AB)=P(A)P(B|A)P(C|AB). (1.6)一般地，对n个事件A1,A2,…,An，我们有P(A1A2…An)=P(A1)P(A2|A1)…P(An|A1A2…An-1). (1.7)不难验证，条件概率符合概率公理化定义中的三个条件，即 （1） 非负性： 对于每一事件B,有P(B|A)≥0； （2） 规范性： P(Ω|A)=1; (3) 可列可加性： 设B1,B2,…是两两互斥事件，则有P∪∞i=1Bi|A=∑ni=1P(Bi|A). 事实上，1.2.5节中对概率所证明的一些重要结果都适用于条件概率.例如，对于任意事件B1,B2有P(B1∪B2|A)=P(B1|A)+P(B2|A)-P(B1B2|A).例1.18已知10张考签中有4张难签，甲、乙两人参加抽签，各抽取一张，甲先抽取，抽取后不放回.求: (1)甲抽到难签的情况下，乙抽到难签的概率； (2)甲、乙都抽到难签的概率； (3)甲没有抽到难签而乙抽到难签的概率. 解用事件A表示甲抽到难签，用事件B表示乙抽到难签. (1)甲抽到难签的情况下，乙抽到难签的概率为P(B|A)=39=13； (2)甲、乙都抽到难签的概率为P(AB)=P(A)P(B|A)=410×39=215； (3)甲没有抽到难签而乙抽到难签的概率P(B)=P()P(B|)=610×49=415. 例1.19100件产品中含10件次品，每次取出一件产品进行检查(不放回抽取)，求： (1)前两次连续都取到合格品的概率； (2)前两次取到合格品，而第三次取到次品的概率. 解事件Ai={第i次取到合格品}，则： (1)前两次都取到合格品的概率P(A1A2)=P(A1)P(A2|A1)=90100×8999=0.8091； (2)直到第三次才取到次品的概率为P(A1A23)=P(A1)P(A2|A1)P(3|A1A2)=90100×8999×1098=0.0826. 1.3.2全概率公式 在计算较复杂事件的概率时，往往同时利用概率的加法公式和乘法公式，把两者结合起来，就产生了全概率公式. 例1.20某工厂有甲、乙、丙三个车间生产同一产品，其产量分别占全厂产量的25%，35%，40%，其次品率分别为5%，4%，2%，现从全厂待出厂的该产品中任取一件，问取到次品的概率. 解分别用A1,A2,A3表示“甲、乙、丙三个车间生产的产品”,B表示“取到次品”，于是P(A1)=25%,P(A2)=35%,P(A3)=40%， P(B|A1)=5%,P(B|A2)=4%,P(B|A3)=2%，则P(B)=P(A1B+A2B+A3B)=P(A1B)+P(A2B)+P(A3B) =P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)+P(A3)P(B|A3) =0.25×0.05+0.35×0.04+0.4×0.02 =0.0345=3.45%.将这道题的解法推广到一般情形，就可得到如下的全概率公式. 定理1.1若事件A1,A2,…,An为样本空间Ω的一个互斥事件完备组，则对于任一事件B，都有P(B)=∑ni=1P(Ai)P(B|Ai). (1.8)式(1.8)称为全概率公式. 证明因为A1,A2,…,An为样本空间Ω的一个互斥事件完备组，即A1,A2,…,An两两互斥，并且A1+A2+…+An=Ω，所以B=BΩ=B(A1+A2+…+An)=A1B+A2B+…+AnB,因此P(B)=P(A1B+A2B+…+AnB)=P(A1B)+P(A2B)+…+P(AnB) =P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)+…+P(An)P(B|An) =∑ni=1P(Ai)P(B|Ai).特别地，当n=2时，全概率公式(1.8)变为P(B)=P(A)P(B|A)+P(A)P(B|A). 例1.21袋中有10张卡片，其中2张卡片是中奖卡，甲、乙二人依次从该袋中摸出一张，甲先乙后，问甲、乙两人各自中奖的概率. 解分别用A1,A2表示“甲、乙两人摸到中奖卡”,则 (1) 甲中奖的概率为P(A1)=210=15； (2) 乙中奖的概率为P(A2)=P(A1A2+1A2)=P(A1A2)+P(1A2)；即P(A2)=P(A1)P(A2|A1)+P(1)P(A2|1)=210×19+810×29=15. 此例验证了众所熟知的抽签机会均等，中奖与否与抽签顺序无关这一事实.由以上例题可以看出，全概率公式适用问题的一般特征是: 随机试验可分为两个层次，第一个层次的所有可能结果构成一个完备事件组，它们通常是第二个层次事件发生的基础或原因；需要求概率的事件是第二个层次中的事件.而找到完备事件组是运用全概率公式的关键.直观地说，只要知道了各种原因发生条件下该事件发生的概率(姑且称其为“原因”概率)，则该事件的概率可通过全概率公式求得. 1.3.3贝叶斯公式 上述问题的“逆问题”可叙述如下: 若已知各种“原因”的概率，且在进行随机试验中该事件已发生，问在此条件下，各原因发生的概率是多少？如在例1.20中考虑这样的问题: 若取到的产品是次品，问它是甲车间生产的概率有多大？即求P(A1|B).利用条件概率公式、乘法公式和全概率公式，得到P(A1|B)=P(A1B)P(B)=P(A1)P(B|A1)P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)+P(A3)P(B|A3) =0.25×0.050.25×0.05+0.35×0.04+0.4×0.02 =0.01250.0345≈0.3623.将该问题的解法推广到一般情形，就可得到如下的贝叶斯公式. 定理1.2若事件A1,A2,…,An为样本空间Ω的一个互斥事件完备组，则对于任一事件BΩ，均有 P(Ak|B)=P(Ak)P(B|Ak)∑ni=1P(Ai)P(B|Ai),k=1,2,…,n.　 (1.9) 式(1.9)又称为贝叶斯公式. 证明P(Ak|B)=P(AkB)P(B)=P(Ak)P(B|Ak)∑ni=1P(Ai)P(B|Ai). 贝叶斯公式可视为全概率公式的逆概公式，使用公式的关键仍然是找到完备事件组.总之，全概率公式刻画的是“由因推果”，而贝叶斯公式刻画的是“知果寻因”. 例1.22设8支枪中有3支未经试射校正，5支枪已经试射校正.一射手用校正过的枪射击时，中靶的概率为0.8，而用未校正过的枪射击时，中靶的概率为0.3.今假定从8支枪中任取一支进行射击，问：（1）中靶的概率； （2）若结果中靶,求所用这支枪是已校正过的概率. 解分别用事件A1,A2表示“所取到的枪是校正过的”和“所取到的枪是未校正过的”,B表示“射击中靶”，则由题设知P(A1)=58,P(A2)=38, P(B|A1)=0.8,P(B|A2)=0.3,由全概率公式得中靶的概率为P(B）＝P（A1）P（B|A1）＋P（A2）P（B|A2）=58×0.8+38×0.3=0.6125.由贝叶斯公式得,若中靶，所用枪是已校正过的概率为P(A1|B)=P(A1)P(B|A1)P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2) =58×0.858×0.8+38×0.3≈0.8163.例1.23设某种病菌在人群中的带菌率为0.03，当检查时，由于技术及操作之不完善等原因，使带菌者未必检出阳性反应，而不带菌者也可能呈阳性反应.设P(阳性|带菌)=0.99，P(阳性|不带菌)=0.05，现某人检出阳性，问他“带菌”的概率是多少？ 解用A1,A2表示“带菌”和“不带菌”,B表示“阳性”，则由题设知P(A1)=0.03,P(A2)=0.97,P(B|A1)=0.99，P(B|A2)=0.05，则所求概率为P(A1|B)=P(A1)P(B|A1)P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2) =0.03×0.990.03×0.99+0.97×0.05=0.3798.本题可以看出，即使某人检出阳性，也不能过早下结论，因为他带菌的可能性尚不足40%.理由很简单，因为带菌率极低，绝大部分人均不带菌.由于检验方法不完善，在众多不带菌的人中会检出许多呈阳性者.可是一个不懂概率的人可能会这样推理： 由于不带菌时检出阳性的机会才0.05，若某人呈阳性，说明有0.95的机会带菌.实际不然.大而言之，概率思维是人们正确观察事物而必备的文化修养. 1.4事件的独立性〖*4/5〗1.4.1事件独立性的概念条件概率反映了一个事件的发生对另一个事件的概率的影响.一般来说，无条件概率P(B)与条件概率P(B|A)是不一样的，例如，若P(B|A)>P(B)，则A的发生使B发生的可能性增大了，即A促进了B的发生.但在某些特殊的情况下，这两者又是相等的，即若P(B|A)=P(B)，则事件A发生与否对事件B发生的可能性毫无影响，此时，在概率论上，事件A与事件B是相互独立的，事实上，若P(B|A),P(B),P(B|)这三者中任意两者相等，均可说明事件A与事件B是独立的. 当P(B)=P(B|A)时，乘法公式变为P(AB)=P(A)P(B|A)=P(A)P(B).我们可由此给出两个事件相互独立的定义. 定义1.6设A,B是两个事件，如果P(AB)=P(A)P(B)，则称事件A与事件B相互独立，简称A与B独立. 显然，若A与B独立，且P(A)≠0,P(B)≠0，则P(B|A)=P(B)，P(A|B)=P(A).对于相互独立的事件，有以下定理. 定理1.3若事件A与事件B相互独立，则与B，A与，以及与也都相互独立. 证明只证明A与是相互独立的，其余两条同法可证. 由于A与B独立，即P(AB)=P(A)P(B)，所以P(AB)=P(A-B)=P(A-AB)=P(A)-P(AB) =P(A)-P(A)P(B)=P(A)(1-P(B)) =P(A)P(B).即A与B是相互独立的. 推论设A，B为两事件，在下列四对事件： A与B；与B；A与；与中，若只要有一对事件独立，则其余三对也独立. 事件的相互独立性是一个非常重要的概念，它还可以推广到多个事件的情形. 对于三个事件A,B,C，如果 (1) P(AB)=P(A)P(B)； (2) P(AC)=P(A)P(C)； (3) P(BC)=P(B)P(C)； (4) P(ABC)=P(A)P(B)P(C); 我们称事件A,B,C相互独立. 设A1,A2,…,An是n个事件，如果对于任意的Ai1,Ai2,…,Aik(2≤k≤n)，都有P(Ai1Ai2…Aik)=P(Ai1)P(Ai2)…P(Aik)，则称n个事件A1,A2,…,An是相互独立的. 若事件A1,A2,…,An相互独立，则P(A1∪A2∪…∪An)=1-P(1)P(2)…P(n).显然，如果n个事件A1,A2,…,An相互独立，则其中任意k(1≤k≤n)个事件也是相互独立的. 如果n个事件A1,A2,…,An满足，对于任意的i≠j，都有P(AiAj)=P(Ai)P(Aj),1≤i,j≤n,i≠j，则称事件A1,A2,…,An是两两独立的. 特别值得注意的是，n个事件两两独立，并不能保证它们相互独立，甚至不能保证它们中的三个相互独立. 在实际问题中，我们不常用P(AB)=P(A)P(B)去判断事件A与B是否独立，而是相反,从事件的实际角度去分析判断其不应有关联，因而是独立的.再利用事件的独立性去计算较为复杂的事件的概率.例如,两个工人分别在两台机床上进行生产，彼此各不相干，则各自是否生产出废品或生产多少废品这类事件应是独立的.一个人的收入与其姓氏笔画这类事件凭常识推断，认定是独立的. 例1.24加工某零件共需要经过三道工序，第一，二，三道工序的次品率分别是2%，3%，5%.假定各道工序是互不影响的，问加工出来的零件的次品率是多少？ 解用Ai表示“第i道工序出现次品”(i=1,2,3)，以B表示“加工出来的零件是次品”.由于各道工序是互不影响的，故A1,A2,A3是相互独立的，因此1，2，3也是相互独立的. 方法一由B=A1∪A2∪A3，可得P(B)=P(A1∪A2∪A3)=1-P(A1∪A2∪A3) =1-P(A1A2A3)=1-P(A1)P(A2)P(A3) =1-0.98×0.97×0.95=0.09693.方法二P(B)=P(A1∪A2∪A3) =P(A1)+P(A2)+P(A3)-P(A1A2) -P(A2A3)-P(A1A3)+P(A1A2A3) =P(A1)+P(A2)+P(A3)-P(A1)P(A2) -P(A2)P(A3)-P(A1)P(A3)+P(A1)P(A2)P(A3) =0.02+0.03+0.05-0.02×0.03-0.03×0.05 -0.02×0.05+0.02×0.03×0.05 =0.09693. 1.4.2独立试验概型 在前面我们就提到，随机现象的统计规律性只有在相同条件下进行大量的重复试验或观察才呈现出来.如果n次重复试验满足以下两个特点: (1) 每次试验的条件都相同，且可能的结果为有限个； (2) 各次试验的结果互不影响，或者称为相互独立的; 则称这样的n次重复试验为n次独立试验概型. 特别地，在n次独立试验概型中，当每次试验的可能结果只有两个，即只有两个事件A及，且P(A)=p,P()=1-p(07),则事件(1)任意取出两球,号码为1,2的概率为； (2)任意取出三球，没有号码为1的概率为； (3)任意取出五球，号码1,2,3中至少出现一个的概率为 . 5. 从一批由5件正品、5件次品组成的产品中，任意取出三件产品，则其中恰有一件次品的概率为. 6. A,B,C是三个随机事件，且P(A)=P(B)=P(C)=1/4,P(AC)=1/8,P(AB)=P(BC)=0,则A,B,C中至少有一个发生的概率为；A,B,C都发生的概率为；A,B,C都不发生的概率为. 7. 设P(A)=0.4,P(B)=0.3，P(A∪B)=0.6，则P(AB)=. 8. 设P(A)=0.6,P(A-B)=0.2，则P(AB)=. 9. 设事件A,B，如果BA且P(A)=0.7,P(B)=0.2，则P(B|A)=. 10. 每次试验成功的概率为p(00,P(B)>0,且A与B互不相容，则一定成立. A. A与B对立 B. 与互不相容 C. A与B独立 D. A与B不独立 9. 设0