第三章模糊综合评判法 第一节模糊综合评判法的思想和原理 在客观世界中，存在着大量的模糊概念和模糊现象。 一个概念和与其对立的概念无法划出一条明确的分界，它们是随着量变逐渐过渡到质变的。例如“年轻”和“年老”就是如此，人们无法划出一条严格的年龄界限来区分“年轻”和“年老”。生活中，类似这样的事例很多，“高与矮”、“胖与瘦”、“美与丑”等，这些没有确切界限的对立概念都是所谓的模糊概念。 凡涉及模糊概念的现象被称为模糊现象。现实生活中的绝大多数现象，存在着中间状态，并非非此即彼，表现出亦此亦彼，存在着许多甚至无穷多的中间状态。模糊性是事物本身状态的不确定性，或者说是指某些事物或者概念的边界不清楚，这种边界不清楚，不是由于人的主观认识达不到客观实际所造成的，而是事物的一种客观属性，是事物的差异之间存在着中间过渡过程的结果。 模糊数学就是试图利用数学工具解决模糊事物方面的问题。1965年，美国加州大学的控制论专家扎德根据科技发展的需要，经过多年的潜心研究，发表了一篇题为《模糊集合》的重要论文，第一次成功地运用精确的数学方法描述了模糊概念，从而宣告了模糊数学的诞生。从此，模糊现象进入了人类科学研究的领域。 模糊数学着重研究“认知不确定”类的问题，其研究对象具有“内涵明确，外延不明确”的特点。模糊数学的产生把数学的应用范围，从精确现象扩大到模糊现象的领域，去处理复杂的系统问题。模糊数学绝不是把已经很精确的数学变得模模糊糊，而是用精确的数学方法来处理过去无法用数学描述的模糊事物。从某种意义上来说，模糊数学是架在形式化思维和复杂系统之间的一座桥梁，通过它可以把多年积累起来的形式化思维，也就是精确数学的一系列成果，应用到复杂系统里去。 模糊数学的出现，给我们研究那些复杂的、难以用精确的数学描述的问题带来了方便而又简单的方法。国际上有人说它是“异军突起”。也正是因为这点，模糊数学才能渗透到各个领域里去，并且显示出强大的生命力。 我们知道，一个事物往往需要用多个指标刻画其本质与特征，并且人们对一个事物的评价又往往不是简单的好与不好，而是采用模糊语言分为不同程度的评语。由于评价等级之间的关系是模糊的，没有绝对明确的界限，因此具有模糊性。显而易见，对于这类模糊评价问题，利用经典的评价方法存在着不合理性。那么用什么办法解决这类问题呢？应用模糊数学的方法进行综合评判将会取得更好的实际效果。 模糊综合评价是借助模糊数学的一些概念，对实际的综合评价问题提供一些评价的方法。具体地说，模糊综合评价就是以模糊数学为基础，应用模糊关系合成的原理，将一些边界不清、不易定量的因素定量化，从多个因素对被评价事物隶属等级状况进行综合性评价的一种方法。 应用模糊集合论方法对决策活动所涉及的人、物、事、方案等进行多因素、多目标的评价和判断，就是模糊综合评判。模糊综合评判作为模糊数学的一种具体应用方法，最早是由我国学者汪培庄提出的。其基本原理是： 首先确定被评判对象的因素（指标）集和评价（等级）集； 再分别确定各个因素的权重及它们的隶属度向量，获得模糊评判矩阵； 最后把模糊评判矩阵与因素的权向量进行模糊运算并进行归一化，得到模糊评价综合结果。可见，评判过程是由着眼因素和评语构成的二要素系统。着眼因素和评语一般都有模糊性，不宜用精确的数学语言描述。 模糊综合评判方法是在模糊环境下，考虑多种因素的影响，为了某种目的对一事物做出综合决策的方法。它的特点在于，评判逐对象进行，对被评价对象有唯一的评价值，不受被评价对象所处对象集合的影响。综合评价的目的是要从对象集中选出优胜对象，所以还需要将所有对象的综合评价结果进行排序。所以，模糊综合评判法也将针对评判对象的全体，根据所给的条件，给每个对象赋予一个非负实数——评判指标，再据此排序择优。 本方法虽然利用了模糊数学理论，但并不高深，也不复杂，容易为人们所掌握和使用。可以说，其优点是： 数学模型简单，容易掌握，对多因素、多层次的复杂问题评判效果比较好，是别的数学分支和模型难以代替的方法。这种模型应用广泛。 第二节模糊综合评判法的模型和步骤 一、 确定评价因素和评价等级 设U={u1，u2，…，um}为刻画被评价对象的m种因素（即评价指标）； V={v1，v2，…，vn}为刻画每一因素所处的状态的n种决断（即评价等级）。 这里，m为评价因素的个数，由具体指标体系决定； n为评语的个数，一般划分为3~5个等级。 二、 构造评判矩阵和确定权重 首先对着眼因素集中的单因素ui(i=1，2，…，m)作单因素评判，从因素ui着眼该事物对抉择等级vj（j=1，2，…，n）的隶属度为rij，这样就得出第i个因素ui的单因素评判集： ri=(ri1，ri2，…，rin) 这样m个着眼因素的评价集就构造出一个总的评价矩阵R。即每一个被评价对象确定了从U到V的模糊关系R，它是一个矩阵： R=（rij)m×n= r11r12…r1n r21r22…r2n  rm1rm2…rmn 其中rij表示从因素ui着眼，该评判对象能被评为vj的隶属度（i=1，2，…，m； j=1，2，…，n）。具体地说，rij表示第i个因素ui在第j个评语vj上的频率分布，一般将其归一化使之满足∑rij=1。这样，R矩阵本身就是没有量纲的，不需作专门处理。 一般来说，主观或定性的指标都具有一定程度的模糊性，可以采用等级比重法。用等级比重确定隶属矩阵的方法，可以满足模糊综合评判的要求。用等级比重法确定隶属度时，为了保证可靠性，一般要注意两个问题： 第一，评价者人数不能太少，因为只有这样，等级比重才趋于隶属度； 第二，评价者必须对被评事物有相当的了解，特别是一些涉及专业方面的评价，更应该如此。对于客观和定量指标，可以选用频率法。频率法是先划分指标值在不同等级的变化区间，然后以指标值的历史资料在各等级变化区间出现的频率作为对各等级模糊子集的隶属度。这种方法操作方便，工作量小，但是比较粗糙，指标值的等级区间划分会影响评价结果。 得到这样的模糊关系矩阵，尚不足以对事物做出评价。评价因素集中的各个因素在“评价目标”中有不同的地位和作用，即各评价因素在综合评价中占有不同的比重。拟引入U上的一个模糊子集A，称权重或权数分配集，A=（a1，a2，…，am），其中ai0，且∑ai=1。它反映对诸因素的一种权衡。 权数乃是表征因素相对重要性大小的量度值。常见的评价问题中的赋权数，一般多凭经验主观臆测，富有浓厚的主观色彩。在某些情况下，主观确定权数尚有客观的一面，一定程度上反映了实际情况，评价的结果有较高的参考价值。但是主观判断权数有时严重地扭曲了客观实际，使评价的结果严重失真而有可能导致决策者的错误判断。在某些情况下，确定权数可以利用数学的方法（如层次分析法），尽管数学方法掺杂有主观性，但因数学方法严格的逻辑性而且可以对确定的“权数”进行“滤波”和“修复”处理，以尽量剔除主观成分，符合客观现实。 这样，在这里就存在两种模糊集，以主观赋权为例，一类是标志因素集U中各元素在人们心目中的重要程度的量，表现为因素集U上的模糊权重向量A=(a1，a2，…，am)； 另一类是U×V上的模糊关系，表现为m×n模糊矩阵R。这两类模糊集都是人们价值观念或者偏好结构的反映。 三、 进行模糊合成和做出决策 R中不同的行反映了某个被评价事物从不同的单因素来看对各等级模糊子集的隶属程度。用模糊权向量A将不同的行进行综合，就可得到该被评事物从总体上来看对各等级模糊子集的隶属程度，即模糊综合评价结果向量。 引入V上的一个模糊子集B，称模糊评价，又称决策集，即B=（b1，b2，…，bn）。 如何由R与A求B呢？一般地令B=A*R（*为算子符号），称之为模糊变换。 这个模型看起来很简单，但实际上较为复杂。给予不同的模糊算子，就有不同的评价模型。 从理论上而言，上述的广义模糊合成运算有无穷多种，但在实际应用中，经常采用的具体模型有几种。关于B的求法，最早的合成运算采用查德算子（主因素突出型）。但当评价因素较多时，由于ai很小，评判结果得到的bj反映不出实际情况，失掉了综合评价的意义。因此，应用查德算子作综合评判，往往得到的结果与实际情况相差很大。为了克服这一缺点，人们常常根据实际情况采用其他类型的“与”、“或”算子，或者将两种类型的算子搭配使用。当然，最简单的是普通矩阵乘法（即加权平均法），这种模型要让每个因素都对综合评价有所贡献，比较客观地反映了评价对象的全貌。这时的算子为普通积，所以，它是一个很容易理解、很容易接受的合成方法。在实际问题中，我们不一定仅限于已知的算子对，应该依据具体的情形，采用合适的算子对，可以大胆试验、大胆创新。只要采用的算子对一方面抓住实际问题的本质，获得满意的效果； 另一方面保证满足0≤bj＜1即可。 如果评判结果∑bj≠1，应将它归一化。 bj表示被评价对象具有评语vj的程度。各个评判指标，具体反映了评判对象在所评判的特征方面的分布状态，使评判者对评判对象有更深入的了解，并能作各种灵活的处理。如果要选择一个决策，则可选择最大的bj所对应的等级vj作为综合评判的结果。 B是对每个被评判对象综合状况分等级的程度描述，它不能直接用于被评判对象间的排序评优，必须要更进一步的分析处理，待分析处理之后才能应用。通常可以采用最大隶属度法则对其处理，得到最终评判结果。此时，我们只利用了bj（j=1，2，…,n）中的最大者，没有充分利用B所带来的信息。为了充分利用B所带来的信息，可把各种等级的评级参数和评判结果B进行综合考虑，使得评判结果更加符合实际。此时，我们可假设相对于各等级vj规定的参数列向量为： C=(c1，c2，…，cn)T 则得出等级参数评判结果为： B*C=p p是一个实数。它反映了由等级模糊子集B和等级参数向量C所带来的综合信息，在许多实际应用中，它是十分有用的综合参数。 四、 实例分析与步骤总结 某服装厂生产某种服装，欲了解顾客对该种服装的欢迎程度。顾客是否喜欢这种服装，与这种服装的花色、样式、价格、耐用度和舒适度等因素有关。现采用模糊综合评判法来确定顾客的欢迎程度。 1. 确定模糊综合评判因素集 影响对服装评判的因素，主要是以上提到的几方面，故因素集为： U={花色，样式，价格，耐用度，舒适度} 2. 建立综合评判的评价集 综合评判的目的是弄清楚顾客对衣服各方面的欢迎程度，因此，评价集应为： V={很欢迎，欢迎，一般，不欢迎} 3. 进行单因素模糊评判，并求得评判矩阵R 单独从上述各个因素出发，对服装进行评判，分别得单因素评判集为： R1=(0.2，0.5，0.3，0.0) R2=(0.1，0.3，0.5，0.1) R3=(0.0，0.1，0.6，0.3) R4=(0.0，0.4，0.5，0.1) R5=(0.5，0.3，0.2，0.0) 由此得评判矩阵为： R= 0.20.50.30.0 0.10.30.50.1 0.00.10.60.3 0.00.40.50.1 0.50.30.20.0 4. 建立评判模型，进行综合评判 对某种服装的评判，由于男、女、老、幼各有所好，观点不尽相同，各消费层次的人观点也不尽相同，对各因素的侧重也不会一样，因此，对不同的人群，权数集是不同的。现假设我们选定某类男顾客。经了解，他们比较侧重于舒适度和耐用度，而不太讲究花色和样式，对各因素的权数可确定如下： A=(0.10，0.10，0.15，0.30，0.35) 于是，评判模型为： B=A*R =(0.10，0.10，0.15，0.30，0.35)*0.20.50.30.0 0.10.30.50.1 0.00.10.60.3 0.00.40.50.1 0.50.30.20.0 =（0.35，0.30，0.30，0.15） 5. 评判指标处理 采用模糊分布法，将上述评判指标归一化得： B′=（0.32，0.27，0.27.0.15） 这一评判结果表明： 这种服装在男顾客中，32%的人“很欢迎”，27%的人“欢迎”，27%的人态度“一般”，14%的人“不欢迎”。 如果评判者是女顾客，由于她们特别看中花色和样式，故各因素的权重为： A=(0.30，0.35，0.10，0.10，0.05) 则综合评判的结果为： B=（0.20，0.30，0.35，0.10） 将上述评判指标归一化得： B′=（0.21，0.315，0.37，0.105） 这表明，这种服装在女顾客中，21%的人“很欢迎”，31.5%的人“欢迎”，37%的人态度“一般”，10.5%的人“不欢迎”。 以上可见，模糊综合评价可以归纳为如下几个步骤。 （1） 给出备择的对象集： X=(x1，x2，…，xt) （2） 找出因素集（或称指标集）： U={u1，u2，…，um}。表明我们对被评判事物从哪些方面来进行评判描述。 （3） 找出评语集（或称等级集）： V={v1，v2，…，vn}。这实际上是对被评判事物变化区间的一个划分。 （4） 确定评判矩阵： R=（rij）m×n 先通过调查统计确定单因素评价向量。调查的人数要足够多且具有代表性。然后由各单因素评价向量得到评价模糊矩阵。rij在实际的应用处理中有许多方法来确定，但不论如何确定rij，都必须本着实事求是的原则，因为它是评判的基础环节。 （5） 确定权数向量： A=（a1，a2，…，am） 这实际上是指人们在评判事物时，依次着重于哪些指标。一种是由具有权威性的专家及具有代表性的人按因素的重要程度来商定； 另一种方法是通过数学方法来确定。现在通常是凭经验给出权重，不可否认，这在一定程度上能反映实际情况，评判结果也比较符合实际。但是凭经验给出权重又往往带有主观性，有时不能客观地反映实际情况，评判结果可能“失真”。因此，这是一个值得关注和研究的问题。 （6） 选择适当的合成算法 常用的是两种算法： 加权平均型和主因素突出型。这两种算法总的来说，结果大同小异。注意这两种算法的特点： 加权平均型算法常用在因素集很多的情形，它可以避免信息丢失； 主因素突出型算法常用在所统计的模糊矩阵中的数据相差很悬殊的情形，它可以防止其中“调皮”的数据的干扰。在实际的应用中，人们应注意，对于适宜模糊综合评判的算子来说，是现实问题的性质决定算子的选择，而不是算子决定现实问题的性质。 （7） 计算评判指标 模糊综合评价的结果是被评事物对各等级模糊子集的隶属度，它一般是一个模糊向量，而不是一个点值，因而它能提供的信息比其他方法更丰富。若对多个事物比较并排序，就需要进一步处理，即计算每个评价对象的综合分值，按大小排序，按序择优。将综合评价结果B转换为综合分值，于是可依其大小进行排序，从而挑选出最优者。 注意： 在复杂系统中，由于要考虑的因素很多，并且各因素之间往往还有层次之分。在这种情况下，如果仍用前面所述的综合评判的初始模型，则难以比较系统中事物之间的优劣次序，得不出有意义的评判结果。我们在实际应用中，如果遇到这种情形时，可把着眼因素集合U按某些属性分成几类，先对每一类（因素较少）做综合评判，然后再对评判结果进行“类”之间的高层次的综合评判。 最后指出，通过编制程序，其中的计算过程由计算机能很快完成。 第三节模糊综合评判法的应用案例 一、 在中小企业融资效率评价中的应用 经济发展的实践已证明，中小企业是社会经济体系中的重要组成部分，它对各国的经济发展、财政税收、劳动就业、技术创新、出口创汇起着极其重要的作用。世界上经济发展较为成功的国家(尤其是我国)无不对中小企业给予高度重视。融资作为中小企业发展中的“瓶颈”问题，已成为我国政府，甚至各国政府的重要研究课题。融资效率及效率的评价指标都是不确定的概念，即具有模糊性，只能应用模糊数学的方法去研究。这里运用模糊系统方法，对中小企业融资效率问题进行了综合评价，希望能对中小企业融资问题的解决有所启示。 1. 融资效率评价的数学模型 （1） 建立因素集 影响融资效率的各种因素构成的集合称为因素集，它是一个普通集合，用U表示： U={u1，u2，u3，…，um} 这里选取五个因素构成企业融资效率模糊评价的因素集，这五个因素为： u1——融资成本； u2——资金利用率； u3——融资机制规范制度； u4——融资主体自由度； u5——清偿能力。 （2） 建立权重集 为了反映各因素的重要程度，对各个因素U应分配给一个相应的权数ai，j=1，2，…，m，通常要求ai满足： ai≥0； ∑ai=1，于是，由各权重ai组成U上的一个模糊集合A，称A为权重集。为了使权重分配合理，根据专家评议法来进行确定，结果如下： A=(0.30，0.25，0.20，0.15，0.10) （3） 建立评价集 评价集是评价者对评价对象可能做出的各种总的评价结果组成的集合。用V表示： V={v1，v2，…，vn} 其中vi代表第i个评价结果，n为总的评价结果数。为了使对融资效率的评价简洁、直观，在此只选取两个评价结果建立评价集： V={高，低}。 （4） 单因素模糊评价 单独从一个因素出发进行评价，以确定评价对象对评价集合V的隶属程度，称为单因素模糊评价。设评价对象按因素集U中的第i个因素ui进行评价，对评价集V中第j个元素vj的隶属度为rij，则按Ui的评价结果可用模糊集合表示： Ri=(ri1，ri2，…，rin) 单因素模糊评价是进行综合评价的关键，通常是通过调查统计法或称模糊统计法进行的。 对所有因素都进行分别评价后，即可得矩阵： R=R1 R2  Rm= r11r12…r1n r21r22…r2n  rm1rm2…rmn Ri称为单因素评价矩阵，总可以看作因素集U和评价集V之间的一种模糊关系，即影响因素与评价对象之间的“合理关系”。 （5） 多因素模糊评价 将单因素评价矩阵分别与权重集进行模糊变换，即得模糊综合评价模型： B=AR。这里，“”表示A与R的一种合成方法，即模糊算子的组合。模糊算子有多种组合，不同的组合构成不同的评价模型。 2. 融资效率的模糊综合评价 这里先对融资成本、资金利润率、融资机制规范度、融资主体自由度和清偿能力这5个因素分别进行分析，以确定在不同融资方式下各因素对融资效率影响程度高低的隶属度，然后再分别对各单因素评价矩阵与权重集进行模糊变换，求出评价结果，从而得出评价结论。 （1） 资金成本 资金成本与融资效率成反比，资金成本高则融资效率低。对资金成本来说，股权融资的资金成本在各种融资方式中是最高的，这一点是被经济社会所普遍接受的。因此，在资金成本上，股权融资的效率是最低的，股权融资在考虑资金成本时，融资效率低的隶属度为1； 反之，股权融资资金成本效率高的隶属度为0，也就是说没有人认为股权融资的资金成本效率高。 因为有税盾效应，债权融资与股权融资相比是低的，但在众多资金来源中，债权融资的资金成本并不是最低的，因为还有不需要成本的资金来源，如财政拨款、捐赠等，以及融资成本比它低的内部融资。因此，我们将债权融资资金成本效率高的隶属度定为0.7； 反之，将债权融资资金成本效率低的隶属度定为0.3。 内部融资是企业将自己的利润转化为积累，用马克思的话来说即“剩余价值的资本化”。这种融资方式表面上不需要付出代价，不会产生成本，但实际上也有成本问题。如机会成本，企业在将利润转化为资本之前，能够作为资本进入市场求得增值。放弃这种增值机会，就是内部融资的机会成本。又如税收成本，我国现阶段开征了固定资产投资方向调节税，如果将利润转化为资本，进行固定资产投资，且涉及这一税种的纳税范围，则存在税收成本。但总的来说，三种融资方式中内部融资的资金成本最低。中小型企业在创办和投入经营阶段，内部融资占主要地位，而在增长发展与成熟阶段也因为资金瓶颈，成为中小企业的主要资金来源。因此，将各融资方式资金成本影响融资效率的隶属度高低确定如下。（见表31） 表31资金成本影响融资效率的隶属度 资金成本影响融资效率的隶属度高低 股权融资01 债权融资0.70.3 内部融资0.80.2 （2） 资金利用率 从资金利用率考虑融资效率，要分两个方面来看。 第一方面是资金的到位率。三种融资方式中内部融资的资金到位率是最高的，只要公司决策者做出了决策，将企业利润留在企业内部，这是没有障碍的。而股权融资与债权融资的资金到位率相当，都会有股本募集不足和债券认购不足或贷款资金不到位的风险。这些都是在国内A股市场、债券市场、金融市场经常出现的现象。 第二方面是资金的投向。股权融资的资金投向在我国来说存在一些问题。许多新上市公司溢价发行股票，募集了大量的资金，却不知道如何使用。特别是中小企业，既存在上市因素的问题，好不容易上市，又因为资金管理及相应措施跟不上，资金没有投资去向，长期存在银行，沉淀严重。而债权融资在这方面要好一点。因为，债权融资包括银行贷款和发行债券。在银行贷款方面，企业往往因为无钱而借钱，有银行把关，借钱的多少依据需要的多少而定，银行提供借款只有少于企业的需要而无多于需要的现象。而发行债券有固定的募集金额，不会产生超额认购，溢价过多的现象。特别是中小企业的债券，资信评级不高，也就不会产生因多募资金无投资去向而沉淀的问题。内部融资的资金投向则与债权融资类似，即利用较为充足。 考虑上述两个方面，资金利用率的高低依次为： 内部融资，债权融资，股权融资。因此，在仅考虑资金利用率时，融资效率高低可能性分配(隶属度)见表32。 表32考虑资金利用率时资金成本影响融资效率的隶属度 资金成本影响融资效率的隶属度高低 股权融资0.30.7 债权融资0.60.4 内部融资0.70.3 （3） 融资机制规范度 融资机制规范度也可说是资金市场的成熟度。机制规范的资金市场融资渠道多、风险小，融资效率也就高。总的来说，我国的资金市场还处于不成熟状态。具体地说，证券市场发展较晚，上市公司较少，上市尚有额度控制，上市公司运作也不甚规范，更不可能满足中小企业的融资需求。无论过去还是现在，中小企业大部分靠银行贷款解决资金问题。因此，股权融资的机制规范度，较以金融系统为主体的债券性融资来说，发展历史短，机制规范度低。而内部融资在建立现代企业制度以前，可以说无规范，建立现代企业制度的企业，由于有公司法和新会计制度的约束有所规范，但是比股权融资和债权融资的规范程度都低。因此，考虑融资机制的规范度，融资效率高低顺序为： 债权融资，股权融资，内部融资。根据此顺序确定各融资方式融资效率高低的隶属度（见表33）。