第3章将详细讨论。
 坐标向量(coordinate vector)由粗体字母c表示。它是由实数组成的数值对象。◆3D计算机图形学基础第◆2章线性变换 坐标系(coordinate system)由带箭头和上角标t的粗体字母f→t表示(粗体f表示竖直方向的集合，上角标t表示水平方向的集合，箭头→表示向量的集合)。它是一组抽象向量，也并非数值对象。实际上有两种坐标系: 一种是表示向量集的基(basis)，一种是表示点集的标架(frame)，本书对所有坐标系使用同样的表示，根据上下文确定其具体的类型。
下面将分别定义这些概念，并介绍相应的计算，其中包含大量数值对象(坐标向量)和非数值对象(向量和坐标系)，以及符号运算。只有在第5章建立了所有必要的约定后，才能省略非数值对象，并在代码中使用运算数值。
2.2向量、坐标向量与基
首先对向量和坐标向量进行区分。在本书中，向量是一个抽象的几何实体，表示两点之间的移动，如“向东一英里”。在确定坐标系之后，坐标向量就是一组用于指定向量的实数。
向量空间(vector space)V是满足某些规则的元素�瘙經的集合。它需要定义加法运算，该运算将两个向量映射到第三个向量。同时还需要定义数乘运算，即一个实数乘以一个向量来获得另一个向量。
一个有效的向量空间还须满足一些其他规则，在此不再详细展开。例如，加法运算须满足结合律和交换律，数乘运算须满足分配律等。另外，标量乘法须满足分配律等［40］。α(�瘙經+w)=α�瘙經+αw虽然有许多具有向量空间结构的对象族，但本书只讨论由真实几何点间的移动组成的向量空间。特别说明，本书不会将向量视为三个数值的集合。
坐标系或基是向量的小型集合，可通过向量运算来产生整个向量集(更正式地说，如果存在标量α1,α2，…，αn，使得∑iαibi=0，则称向量组b1,b2，…，bn是线性相关的，否则就是线性无关的。如果b1,b2，…，bn是线性无关的，且通过加法和数乘生成整个向量空间V，则集合bi就是V的基，n是基或空间的维数)。空间中自由移动的维数是3，其中的每个基也称为一条轴，第一条轴记为x轴，第二条轴记为y轴，第三条轴记为z轴。
◆3D计算机图形学基础第◆2章线性变换可以使用基生成空间中的任意向量，通过唯一的一组坐标ci来表示：�瘙經=∑icibi向量代数表示法将其写为�瘙經=∑icibi=b1b2b3c1c2c3(2.1)上述等式右边由线性代数中矩阵×矩阵的乘法规则解释。等式中的每一项cibi均表示实数与向量的乘积，简写为�瘙經=b→tc其中，�瘙經表示向量，b→t表示一行基向量，c表示(列)坐标向量。
2.3线性变换和3×3矩阵
线性变换从V映射到V，满足以下两个特性(�瘙經+u)=(�瘙經)+(u)(α�瘙經)=α(�瘙經)�瘙經(�瘙經)表示向量�瘙經通过变换为向量(�瘙經)。
线性变换可使用矩阵表示，这是因为线性变换可以根据其对基向量的影响而精确指定，具体推导如下。
变换的线性性质满足以下关系�瘙經(�瘙經)=∑icibi=∑ici(bi)将式(2.1)代入向量的代数表示b1b2b3c1c2c3(b1)(b2)(b3)c1c2c3三个新向量(bi)均属于V，它最终可以由基的某个线性组合表示，即存在一些合适的值Mj,1，使得(b1)=b1b2b3M1,1M2,1M3,1对所有基向量执行此操作，选择一个合适的矩阵M，由9个实数组成，即(b1)(b2)(b3)=b1b2b3M1,1M1,2M1,3M2,1M2,2M2,3M3,1M3,2M3,3(2.2)综上所述，向量的线性变换可表示为: b1b2b3c1c2c3b1b2b3M1,1M1,2M1,3M2,1M2,2M2,3M3,1M3,2M3,3c1c2c3总之，矩阵能够实现向量之间的变换(见图2.2)。b→tcb→tMc如果对每个基进行变换，则会得到一组新的基，该过程表示为 b1b2b3b1b2b3M1,1M1,2M1,3M2,1M2,2M2,3M3,1M3,2M3,3或简写如下(见图2.3)b→tb→tM图2.2向量的线性变换过程: �瘙經=b→tcb→tMc，
矩阵M由所选的线性变换决定
图2.3基的线性变换过程: b→tb→tM


当然，同样可以用矩阵乘以坐标向量表示一个新的坐标。cMc2.3.1单位矩阵和逆矩阵
恒等映射保持所有向量不变，其矩阵是单位矩阵I=100010001矩阵M的逆唯一，表示为M-1，满足MM-1=M-1M=I，它表示向量集上的逆变换。如果某线性变换可将多个向量映射到同一向量，则该变换不可逆，且其关联矩阵同样不可逆。在计算机图形学中，使用3D线性变换对空间中物体进行移动和缩放时，不可逆变换几乎没有意义。因此，除非特别说明，在本书中出现的所有矩阵都是可逆的。
2.3.2矩阵的基础变换
除描述变换()外，矩阵还可表示一对基或一对向量间的等价关系(=)。特别是，根据式(2.2)，可得a→t=b→tM(2.3)a→tM-1=b→t(2.4)该式表示基a→t和基b→t之间的等价关系。
假设在特定的基中，使用特定坐标向量表示一个向量: �瘙經=b→tc。基于式(2.3)，可得�瘙經=b→tc=a→tM-1c 这不是一个变换(使用符号)，而是一个等式(使用符号=)。此处仅用两个基表示同一个向量。坐标向量c表示关于b的�瘙經，与此同时，坐标向量M-1c表示关于a的同一个�瘙經。
2.4其 他 结 构
3D空间中的两个向量可以进行点积(dot product)运算，并返回一个实数�瘙經·w该点积将向量的平方长度(又称为平方范数)定义为�瘙經2∶=�瘙經·�瘙經该点积与两个向量之间的夹角θ∈0..π相关cos(θ)=�瘙經·w�瘙經w如果�瘙經·w=0，则称这两个向量是正交的(orthogonal)。
如果一组基中所有的基向量都是单位长度，并且两两正交，则这组基是标准正交的(orthonormal)(译者注: 又称为规范正交基)。
在一组正交基b→t中，计算两个向量的点积(b→tc)·(b→td)十分容易，计算过程如下。(b→tc)·(b→td)=∑ibici·∑jbjdj=∑i∑jcidj(bi·bj)=∑icidi其中，第二行运用点积的双线性，第三行运用基的正交性。
在一组2D正交基中，如果第二个基向量可以由第一个基向量逆时针旋转(counter clockwise)90°得到，则称这组基满足右手性(right handed)(基向量的顺序在这里非常重要)。
在一组3D正交基中，如果三个(有序的)基向量依据图2.4排列，而不按图2.5排列，则称这组基满足右手性。在一组右手基中，张开右手，手指指向第一个基向量的方向，然后弯曲四指，指向第二个基向量的方向，那么大拇指将指向第三个基向量的方向。
图2.4一个右手标准正交坐标系。 z轴指向纸外，
并同时显示绕x轴旋转的方向
图2.5一个左手标准正交坐标系。
z轴指向纸内

在3D空间中定义两个向量的叉乘(cross product)运算，结果仍为一个向量，表示为�瘙經×w∶=�瘙經wsin(θ)n其中，n是单位向量，垂直于由�瘙經和w构成的平面，�瘙經,w,n构成一组右手基。
在右手正交基b→t中，计算两个向量的叉乘(b→tc)×(b→td)十分容易。它在基b→t下的坐标可以计算为c2d3-c3d2c3d1-c1d3c1d2-c2d12.5旋转
旋转是最常见的线性变换，它保留向量间的点积，实现右手基之间的映射。因此，任意旋转一个右手标准正交基总会产生另一个右手标准正交基。在3D中，每次旋转会固定一个旋转轴(axis of rotation)，并绕该轴旋转某个角度。
首先描述2D的情况，从如下向量入手: �瘙經=b1b2xy假设b→t是一个2D右手标准正交基，�瘙經围绕原点逆时针旋转θ度，旋转后的坐标向量［x′,y′］t可表示为x′=xcosθ-ysinθy′=xsinθ+ycosθ该线性变换可表示为如下矩阵形式b1b2xyb1b2cosθ-sinθsinθcosθxy同样，旋转整个基可得b1b2b1b2cosθ-sinθsinθcosθ对于3D的情况，同样假设在右手标准正交坐标系下，一个向量围绕z轴旋转θ度可表示为b1b2b3xyzb1b2b3c-s0sc0001xyz简单地说，引入符号表示c∶＝cosθ和s∶＝sinθ。这种变换与预期相符，第三个轴上的向量保持不变，在z为常数的固定平面上，该变换与上述2D旋转类似。右手抓住z轴，手掌根抵住平面z＝0，从而可视化旋转方向，手握紧时指尖的轨迹方向即为旋转方向。
围绕x轴的旋转可表示为 b1b2b3xyzb1b2b31000c-s0scxyz同样，右手抓住x轴，手掌根抵住平面x=0，握紧时指尖的轨迹方向即为旋转方向 (见图2.4)。
绕 y 轴旋转可由如下矩阵表示c0s010-s0c从某种意义上讲，按照下列步骤可以实现任意3D旋转。首先，旋转的组合也是另一个旋转。同样，运用x轴、y轴及z轴的旋转即可实现任意的旋转。这三个旋转角称为xyz欧拉角(xyzEuler angles)，并将欧拉角想象成一套三轴陀螺仪(gimbals)，通过三个可移动的轴和三个可设定的角度值实现旋转(见图2.6)。
图2.6通过分别设置三个轴的适当旋转角度，将金盘置于任意方向
更直接的表示方法是选择任意单位向量k作为旋转轴(axis of rotation)，并直接围绕该轴旋转θ度。令单位坐标向量［kx,ky,kz］t为k的坐标，该旋转即为k2xv+ckxkyv-kzskxkzv+kyskykxv+kzsk2yv+ckykzv-kxskzkxv-kyskzkyv+kxsk2zv+c(2.5)此处引入符号v∶=1-c。相反，任意旋转矩阵均可如此表示。
注意，3D旋转过程有点复杂。围绕不同轴的旋转顺序不可交换。另外，将分别绕两个不同的轴旋转进行组合，即可视为围绕另外第三条轴的旋转。
第7章将介绍旋转的四元数表示方法，这有助于实现不同方向间的平滑过渡。
2.6缩放
为建模几何物体，需应用向量和基的缩放变换。可将任意向量缩放α倍表示为b1b2b3xyzb1b2b3α000α000αxyz分别沿三个坐标轴方向进行缩放，可表示为如下更通用的形式b1b2b3xyzb1b2b3α000β000γxyz例如，假设已知建模球体的方法，该运算将有助于建模椭球。
习题
2.1在下列符号表达式中，哪些是有意义的？如果有，它们的运算结果是什么类型？
b→tM，cM，M-1c，b→tNM-1c
2.2假设a→t=b→tM，求向量b→tNc在基a→t下的坐标。
2.3假设0为零向量，对于任意的线性变换，求(0)。
2.4假设变换(�瘙經)表示为�瘙經增加一个非零常数向量k，即(�瘙經)=�瘙經+k。那么，是线性变换吗？····························································
第3章

第3章〓仿 射 变 换3.1点和坐标系1. 点将点和向量理解为两个不同的概念十分重要。点表示几何世界中某个固定的位置，而向量表示几何世界中两点之间的移动。我们使用不同的符号区分点和向量，向量�瘙經用黑斜体标记，而点p～上用波浪号标记。
如果向量表示两点间的移动，向量运算(加法和数乘)则具有显著意义。两个向量的加法运算表示两个移动的连接，将标量乘以一个向量表示移动的增加或减少(以某因子增减)。零向量是一个特殊向量，表示没有移动。
但这些运算对点没有多大意义。两点相加应意味着什么呢？例如，哈佛广场加上肯德尔广场是什么？一个点乘以标量的意义是什么？北极点的7倍是多少？是否存在一个作用不同的其他零点呢？
然而，点的减法运算确有意义。两点相减时，即获得第二点到第一点间的移动，p～-q=�瘙經相反，如果从一点开始，沿某向量移动，即可得另一点q～+�瘙經=p～点的线性变换是有意义的，如一点围绕某定点的旋转。然而，点的平移同样具有意义(对向量而言却没有意义)。为表示平移，需引入仿射变换(affine transform)的概念，并使用4×4矩阵实现该变换，这些矩阵不仅便于计算此处的仿射变换，而且为介绍后文的相机投影运算做了铺垫(参见第10章)。
2. 坐标系
在仿射空间中，首先从原点o～开始，向其增添一些线性组合的向量，从而表示任意点p～。使用坐标ci和向量基表示◆3D计算机图形学基础第◆3章仿射变换p～=o～+∑icibi=b1b2b3o～c1c2c31=f→tc
其中，1o～即为o～。如下表示称为一个仿射坐标系(affine frame)。b1b2b3o～=f→t与基类似，该坐标系由三个向量和一个点组成。
为确定坐标系中一点，可以使用一个4D坐标向量(译者注: 即为齐次坐标，点(x,y,z)的齐次坐标定义为(xh,yh,zh,h)，其中h≠0,xh=hx,yh=hy,zh=hz)，其中第四项为1。为表示仿射坐标系中的向量，可以使用一个第四项为0的坐标向量(即仅为基向量的组合)。这种4D坐标向量(以及4×4矩阵)的几何表示方法有助于我们在第10章中对针孔相机进行建模。
3.2仿射变换和4×4矩阵
与线性变换类似，可以通过在4D坐标向量和坐标系之间放置适当的矩阵来定义点的仿射变换。
将仿射矩阵(affine matrix)表示为如下4×4矩阵abcdefghijkl0001点p～=f→tc的仿射变换如下b1b2b3o～c1c2c31b1b2b3o～abcdefghijkl0001c1c2c31或简写为f→tcf→tAc如下乘法给出了一个第四项为1的4D向量坐标，由此得出上述变换中的右侧表达式即表示一个有效的点x′y′z′1=abcdefghijkl0001xyz1另外，如下乘法给出了一个有效坐标系，由三个向量和一个点组成b′1b′2b′3o～′=b1b2b3o～abcdefghijkl0001其中，0o～即为0。注意，如果矩阵的最后一行不是0,0,0,1，得到的结论也通常无效。
与线性变换类似，对坐标系进行如下仿射变换b1b2b3o～b1b2b3o～abcdefghijkl0001或简写为f→tf→tA3.3点的线性变换
假设使用一个3×3的矩阵表示线性变换，将其插至一个4×4矩阵的左上角，并使用这个较大的矩阵对点(或坐标系)进行变换。b1b2b3o～c1c2c31b1b2b3o～abc0efg0ijk00001c1c2c31这与ci线性变换后的效果相同，如果点p～相对于原点o～移动了一个向量�瘙經，效果则等同于对该向量进行线性变换。因此，如果3×3矩阵为旋转矩阵，该旋转变换将围绕原点进行(见图3.1)。对于点的线性变换，其坐标原点的位置尤为重要，参见第4章。
图3.1点的线性变换，通过变换其距原点的偏移向量实现
简单地说，使用如下4×4矩阵表示线性变换: L=l001其中，L是一个4×4矩阵，l是一个3×3矩阵，右上角的0是3×1的零矩阵，左下角的0是1×3的零矩阵，右下角的1是一个标量。 
3.4点 的 平 移
点的平移变换非常重要，且是非线性的(参见习题2.4)。相对于线性变换，仿射变换的主要作用是描述平移。如果使用如下变换b1b2b3o～c1c2c31b1b2b3o～100tx010ty001tz0001c1c2c31其对坐标的效果为c1c1+txc2c2+tyc3c3+tz将平移变换简写为T=it01其中，T是一个4×4矩阵，i是一个3×3的单位矩阵，t是一个代表平移的3×1矩阵，0是一个1×3的零矩阵，右下角的1是一个标量。
注意，如果c的第四项为0，那么它即为一个向量，而并非一个点，且不受平移影响。
3.5综合
任意仿射矩阵都可以分解成线性变换部分和平移变换部分。abefcdghij00kl01=10010d0h00001l01abefc0g0ij00k001或简写为lt01=it01l001 (3.1)A=TL(3.2)注意，由于矩阵乘法不满足交换律，所以相乘的顺序十分重要。使用不同的平移矩阵T′也可将仿射矩阵分解为A=LT′，但我们不用这种形式。
如果A的线性变换部分L是一个旋转，则写作A=TR (3.3)在这种情况下，将矩阵A称为一个刚体矩阵(rigid body matrix)，它的变换即为刚体变换(rigid body transform，RBT)，这种刚体变换保持向量的点积、基的左右手性、点的距离不变。
3.6法向量
在计算机图形学中，经常根据曲面的法向量确定表面点的遮挡情况，所以对曲面上的点进行关于矩阵A的仿射变换时，需了解其法向量的变换过程。
有人认为可以直接将法向量坐标乘以A，如几何体旋转时，法向量以完全相同的方式旋转。然而，事实上矩阵A并不总适用，例如，在图3.2中沿y轴挤压球体，实际法向量沿y轴拉伸而非收缩。在这里，可以推出适用于所有情况的正确变换。
图3.2(a)球体及其法向量； (b)球体沿y轴收缩，其(未归一化的)法向量沿y轴拉伸； 
(c)重新归一化球体的法向量后，得到压缩形状的正确单位法向量
将光滑曲面上一点的法向量(normal)定义为垂直于该点处切平面的向量，该切平面由向量集合组成，这些向量由(无穷接近地)相邻面上的点作差表示。因此，已知法向量n与表面上两个非常接近的点p～1和p～2，则有n·(p～1-p～2)=0在某个标准正交坐标系下，即表示为nxnynzx1y1z11-x0y0z01=0(3.4)因为第四项将乘以0，其数值对结果没有影响，所以该项用符号代替。
假设使用仿射矩阵A对所有点进行仿射变换，哪种向量可以与任意切向量保持垂直呢？将式(3.4)重新表示为nxnynzA-1Ax1y1z11-x0y0z01=0 假设变换后点的坐标为x′,y′,z′,1=A［x,y,z,1］t，且nx′,ny′,nz′,=nx,ny,nz,1A-1，则有nx′ny′nz′x1′y1′z1′1-x0′y0′z0′1=0可知，［nx′,ny′,nz′］t是几何变换后法向量的坐标(与原坐标成比例关系)。
注意，由于不考虑的取值，因此无须考虑A-1的第四列。同时，A和A-1都是仿射矩阵，其余三列的第四行均为零，一并省略后简写为A=lt01已知nx′ny′nz′=nxnynzl-1将矩阵转置可得nx′ny′nz′=l-tnxnynz其中，l-t是3×3的逆转置(等价于转置的逆)矩阵。注意，如果l是旋转矩阵，那么也一定是标准正交矩阵，因此其逆转置即为本身。在这种情况下，法向量与点的坐标变换一致，但对于其他的线性变换，法向量则表现不同(见图3.2)。另外，A的平移部分对其法向量无影响。

习题
3.1证明对于实数αi，只要满足1=∑iαi，点的运算α1p～1+α2p～2即有几何意义，可参考3.1节介绍的点和向量的运算。