三、 橡皮膜上的几何学





    在“一、哥尼斯堡问题的来龙去脉”中，读者已经看到了一种只研究图形各部分位置的相对次序，而不考虑它们尺寸大小的新几何学。戈特弗里德·威廉·莱布尼茨(Gottfried Wilhelm Leibniz，1646—1716)和欧拉为这种“位置几何学”的发展奠定了基础。如今，这一新的几何学已经发展成一门重要的数学分支——拓扑学。


戈特弗里德·威廉·莱布尼茨

拓扑学研究的课题是极为有趣的。诸如左手戴的手套能否在空间掉转位置后变成右手戴的手套？一条车胎能否从里面朝外面把它翻转过来？是否存在只有一个面的纸张？一只有耳的茶杯与救生圈或花瓶比较，与哪一种更相似些？诸如此类，都属于拓扑学研究的范畴。许多难以置信的事情，在拓扑学中

图3.1
似乎都有可能！图3.1是一幅超现实的图画，画的是一个人在地上走，并抬头仰望天空。不过，这里已经用拓扑学变换的方法，把宇宙翻转了过来。图中的地球、太阳和星星，都被挤到了人体内一个狭窄的环形通道里，四周则是人体内部器官。该图选自美国著名物理学家乔治·伽莫夫(George Gamov,1904—1968)教授的科普著作《从一到无穷大》(One,Two,Three,...Infinity)一书。

    在拓扑学中，人们感兴趣的只是图形的位置，而不是它的大小。有人把拓扑学说成是橡皮膜上的几何学，这种说法是很恰当的。因为，橡皮膜上的图形随着橡皮膜的拉动，其长度、曲直、面积等都将发生变化。此时谈论“有多长？”“有多大？”之类的问题，是毫无意义的！如图3.2所示。


图3.2


不过，在橡皮膜上的几何学里也有一些图形的性质保持不变。例如，点变化后仍然是点，线变化后依旧为线，相交的图形绝不因橡皮膜的拉伸和弯曲而变得不相交！拓扑学正是研究诸如此类的，使图形在橡皮膜上保持不变性质的几何学。
    一条头尾相连且自身不相交的封闭曲线，把橡皮膜分成两个部分。如果我们把其中有限的部分称为闭曲线的“内部”，那么另一部分便是闭曲线的“外部”。从闭曲线的内部走到闭曲线的外部，不可能不通过该闭曲线。因此，无论你怎样拉扯橡皮膜，只要不切割、不撕裂、不折叠、不穿孔，那么闭曲线的内部和外部总是保持不变的！
    “内部”和“外部”，是拓扑学中很重要的一组概念。下面这个有趣的故事，将增加你对这两个概念的理解。
    传说古波斯穆罕默德的继承人哈里发，有一位才貌双全的女儿。姑娘的智慧和美貌，使许多聪明英俊的小伙子为之倾倒，致使求婚者的车马络绎不绝。哈里发决定从中挑选一位才智超群的青年为婿，于是便出了一道题目，


图3.3


并声明，谁能解出这道题，便将女儿嫁给谁！

    哈里发的题目是这样的： 请用线把图3.3中写有相同数字的小圆圈连接起来，但所连的线不许相交。


这个问题的解答，看起来似乎不费吹灰之力，但实际上求婚者们全都乘兴而来，败兴而去！据说后来哈里发终于发现自己所提的问题是不可能实现的，因而改换了题目。也有人说，哈里发固执己见，美丽的公主因此终生未嫁！事情究竟如何，现在自然无从查证。不过，哈里发的失算，却是可以用拓扑学的知识加以证明的，其所需的概念，只有“内部”与“外部”两个。


图3.4

事实上，如图3.4所示，我们很容易用线把①和①、②和②连起来。聪明的读者可能已经发现，我们得到了一条简单的闭曲线，这条闭曲线把整个平面分为内部（阴影部分）和外部(空白部分)两个区域。其中一个③在内部区域，而另一个③却在外部区域。要想从闭曲线内部的③画一条弧线，与外部的③相连，而与已画的闭曲线不相交，这是不可能的！这正是哈里发失误之所在。
其他类似的问题是，有三座房子、一个鸽棚、一口井和一个草堆，要从每座房子各引3条路到鸽棚、井和草堆，使得这样的9条路没有一条和另一条相交叉，如图3.5所示。我想读者完全可以运用内部和外部的概念，证明这样做是不可能的！


图3.5


判定一个图形的内部和外部，并不总能一目了然。有时一些图形像迷宫一样弯弯曲曲，令人眼花缭乱。这时应该怎样判定图形的内部和外部呢？19世纪中叶，法国数学家C.若尔当（C.Jordan,1838—1921）提出了一个精妙绝伦的办法，


图3.6


即在图形外找一点，与需要判定的区域内的某个点连成线段，如果该线段与封闭曲线相交的次数为奇数，则所判定区域为“内部”，否则为“外部”(图3.6)。其间的奥妙，聪明的读者不难领会出来。

    在橡皮膜上的几何学中，有一个极为重要的公式，这个公式以欧拉的名字命名，是欧拉于1750年证得的。欧拉公式的表述是，对于一个平面脉络，脉络的顶点数V、弧线数E和区域数F，三者之间有如下关系： 
V+F-E＝2
读者不妨用一些简单的图形去验证欧拉公式，以加深对它的理解。例如，图3.7所示的脉络，容易算出V=8,F=8,E=14，而V+F-E=8+8-14=2。
    欧拉公式的证明，与“二、迷宫之‘谜’”中的“奇点成双”定理的证明相似，如图3.8所示。事实上，对于一个脉络，当拆掉某条区域周界的弧线之后，所得的新脉络的顶点数V′、区域数F′和弧线数E′，与原脉络的顶点数V、区域数F和弧线数E之间有如下关系： 


图3.7




图3.8



V′=V
F′=F-1
E′=E-1
    从而有


图3.9


V′+F′-E′＝V＋F-E
    仿照上述办法，可以一直拆到最后，拆成一个如同图3.9所示的、不含内部区域的树状网络，而对于这种树状网络，其顶点数V（n）、区域数F（n）和弧线数E（n）之间，以下的关系式是很明显的： 

V（n）＋F（n）-E（n）＝2
    注意到
V+F-E=V′+F′-E′＝…＝V（n）＋F（n）-E（n）＝2
    从而也就证得了欧拉公式
V＋F-E＝2




四、 笛卡儿的非凡思考





    大约在欧拉发现网络公式的120年之前，1630年，法国数学家勒内·笛卡儿（Rene Descartes,1596—1650）以其非凡的思考，写下了一则关于多面体理论的短篇手稿。1650年，笛卡儿在斯德哥尔摩病逝之后，这份手稿遂为其友克勒鲁斯里厄所珍藏。1675年，


勒内·笛卡儿


莱布尼茨有幸在巴黎看过这份手稿，并用拉丁文抄录了其中的一些重要部分。此后，笛卡儿的这份手稿辗转失传，人们只好找出莱布尼茨的抄录本，再译回法文正式出版。

    笛卡儿实际上是用完全不同的方法推出了欧拉发现的公式

V+F-E=2
    为了弄清这位解析几何创始人不同凡响的思路，我们还得从立体角的概念讲起。


图4.1

所谓立体角是指在一点所作的3个或3个以上不同平面的平面角所围成的空间部分。立体角的大小，是由立体角在以角顶为球心的单位球面上截下的球面多角形的面积来度量的。图4.1的立体角大小，即以球面三角形ABC的面积来度量。容易证明，图中这块面积σ1等于
σ1=α+β+γ-π
    事实上，如图4.2所示，在单位球O上，大圆弧AB、BC、AC所在的大圆，把半球面分为1、2、3、4共4个部分。图中的A、A′和B、B′显然是两组径对点。通过简单计算可知，以上4个部分的面积σ1、σ2、σ3和σ4，满足
σ1+σ3=β2π·4π=2β
σ1+σ4=α2π·4π=2α
σ1+σ2=γ2π·4π=2γ
σ1+σ2+σ3+σ4=2π


图4.2


由此得
σ1=α+β+γ-π
与平面几何中求一个角的补角类似，一个立体角的补立体角可以这样得到： 如图4.3所示，在已知立体角OABC内部取一点O′，由O′向各个面引垂线O′A′、O′B′、O′C′,


图4.3

则立体角O′A′B′C′即为立体角OABC的补立体角。

可以证明补立体角的3个面角a′，b′，c′(即∠C′O′B′，∠A′O′C′，∠B′O′A′)分别与α、β、γ(度量值)互补。从而，原立体角OABC的大小可以表示为
σ1=α+β+γ-π=（π-a′）+（π-b′）+（π-c′）-π

=2π-（a′+b′+c′）
    同理，补立体角O′A′B′C′的大小可以表示为
σ′1＝2π-（a+b+c)
    上式中的a、b、c为原立体角OABC的各个面角(即∠COB，∠AOC，∠BOA)。
    读者想必早已知道，一个平面凸多边形的外角和等于2π，即所有内角的补角和等于2π。那么，对

图4.4
于空间的凸多面体，所有顶点立体角的补立体角之和，是否也有类似的关系呢？为此，我们从多面体内部的一点O向多面体的各个面引垂线。从