三、 “无限”的诞生 “无限”的思想，最早萌生于何时何地，如今已难确切查证。然而古希腊学者对于质数无限性的认识，至少已有2300年的历史。一个简单而完美的论证，载于欧几里得（Euclid，公元前330？—前275？）的名著《几何原本》第九卷。 为了让读者一览这位人类智慧巨匠的独特思想，我们引证一段精妙的原文。文中全部用几何的方式表述了一个纯粹数的问题！其中“测量”一词，即算术中的“除尽”。 质数比任何给定的一批质数都多。 假设A，B，C是指定的质数； 我说除了A，B，C之外还有其他的质数。事实上，取A，B，C所能测量的最小数，设它为DE； 把单位DF加到DE上。于是EF或者是质数或者不是。首先，假设EF是质数，那么我们已得到了质数A，B，C，EF，它比质数A，B，C要多。其次假设EF不是质数， 从而它必能被某个质数所测量。假设它能被质数G 测量，我说G和数A，B，C都不相同。因为，如果 可能的话，假定G和A，B，C中的某个数相同。 那么由于A，B，C能测量DE，所以G也能测量 DE，但G还能测量EF。所以，G作为一个数，它 就能测量余数，也就是单位DF； 而这是荒谬的！ 所以，G与A，B，C当中的任何一个数都不相同。 并且，按照假设，G是质数。所以我们就找到了质 数A，B，C，G，它比给定的一批质数A，B，C 更多。 可能读者中有人会提出疑问，欧几里得的证明只提3个质数，这具有一般性吗？回答是肯定的！对多个质数的情形推理完全一样。改为数的表述，即若2，3，5，7，11，…，P为所有不大于P的质数，则 2×3×5×7×11×…×P+1=N 数N要么是质数，要么所有的质因子都大于P。 然而，欧几里得并不是提出“无限”概念的第一个人。在他之前约200年，另一位古希腊学者芝诺（ Zeno of Elea，公元前490？—前430？）曾提出一个著名的“追龟”诡辩题。从中我们可以看到，当时人类对“无限”的认识及理解上的局限。 大家知道，乌龟素以动作迟缓著称，阿基里斯则是古希腊传说中的英雄，善跑的神，芝诺断言： 阿基里斯与龟赛跑，将永远追不上乌龟！ 芝诺的理由是，假定阿基里斯现在A处，乌龟现在T处。为了赶上乌龟，阿基里斯必须先跑到乌龟的出发点T，当他到达T点时，龟已前进到T1点； 当他到达T1点时，乌龟又已前进到T2点，如此等等。当阿基里斯到达乌龟此前到达过的地 方，乌龟已又向前爬动了一段距离。因此，阿基里斯是永远追不上乌龟的！如图3.1所示。 图3.1 芝诺的论断显然与常理相悖。由于当时人类只有粗糙的“无限”观念，数学家们曾经错误地认为，无限多个很小的量，其和必为无限大。芝诺正是巧妙地钻了这个空子，把有限长的线段分成无限多个很小线段的和； 把有限的时间可以完成的运动，分成无限多段很短的时间来完成。芝诺的“追龟”问题，无疑是向当时错误的“无限”观念提出了挑战。数学家们感到数学面临着潜在的危机！ 后来人们终于弄清楚，要克服上述危机，需要一场观念上的革命。即无限多个很小的量的和，未必是无限大！无限地累加，也可能得出有限的结果！ 让我们再看一看追龟问题。设阿基里斯的速度是乌龟速度的10倍，龟在前面100米。当阿基里斯跑了100米时，龟已前进了10米； 当阿基里斯再追10米时，龟又前进了1米； 阿基里斯再追1米，龟又前进 110米； ……于是，阿基里斯追上乌龟所跑的路程S（单位： 米）： S=100+10+1+ 110+ 1100+… 上式右端是无限多个很小量的和，然而它却是有限的！为了让读者理解这一点，我们先从等比数列的知识讲起。 一个数列，从第二项起，每项与前一项的比是个定值（公比），我们就称这个数列为等比数列。例如，在本丛书《否 图3.2 定中的肯定》一册所讲到 的，国际象棋发明人印度宰 相西萨·班向国王请求赏赐 的著名问题，依格子顺序所 需的麦粒数，便是一个等比 数列(图3.2)： 1，2，22，23，24，…，263 又如，中国古代“浮萍七子”的趣味问题。浮萍夜产七子（连同母萍），则一叶浮萍，逐日应得浮萍数，也是一个等比数列： 1，7，72，73，74，… 现在假定有一等比数列，第一项为a，公比为q： a，aq，aq2，…，aqn-1 怎样去求它们的前n项和Sn呢？一个颇为巧妙的办法是，把Sn乘以q，然后错位相减，即 Sn=a+aq+aq2+…+aqn-1 q·Sn=aq+aq2+aq3＋…＋aqn Sn（1-q）=a-aqn Sn=a（1-qn）1-q 这样，我们得出了一个很有用的公式。运用这个公式可算出西萨·班要求国王赏赐的麦粒总数为 S64=1×（1-264）1-2=264-1 =18446744073709551615 ≈1.845×1019 这些麦粒数，几乎等于全世界2000年内的小麦产量！ 当等比数列的公比q的绝对值小于1时，数列的项无穷递缩，越来越趋近于0。此时，虽然项数有无限之多，但它们的和却是个有限的数。事实上，当0<|q|<1时： S=a＋aq＋aq2+…+aqn-1+… =limn→∞ Sn= limn→∞ a（1-qn）1-q =a1-q 上式中的符号“limn→∞”表示一种无限中的有限。即“当n趋于无穷时某式的极限”。 lim是英语limit（极限）一词的缩写。 应用上述公式可以算得追龟问题中阿基里斯的追及路程 S=100+10+1+110+1102+… =1001-110= 10009（米） 与古希腊相比，我们的祖先对 “无限”的概念可要明确得多。几乎与 芝诺处于同一时代的墨子（公元前468？ —前376？）就曾提出过“莫不容尺， 无穷也”的见解。也就是说，有这样 一种量，用任意长的线段去量它，它 都能容纳得下。这是明显的“无限”的思想。稍后于墨子的《庄子》一书，更提到“至大无外，至小无内”。前半句讲的是无限 大，后半句讲的是无限小。该书《天下篇》中还有一句名言： 图3.3 “一尺之棰，日取其半，万世不竭！”意思是，把长一尺的木棒，每天取下前一天所剩下的一半，如此下去，永远也不会取完。这相当于命题(图3.3)： 若Sn=12+122+123+…+ 12n 则limn→∞Sn=1 由此可见，早在公元前4世纪，我们的祖先就已具有相当明确的“无限”的概念！ 四、 关于分牛传说的析疑 在数学上，有时一些貌似复杂的问题，如从另一角度考虑，却显得十分简单。 对于今天的初中生来说，阿基里斯追龟问题毫无困难。他们 之中谁也不会像芝诺那样去 分段求和，而是如图4.1所示，假 定阿基里斯的追及路程为S， 并由速度关系得出 S=10（S-100） S=10009（米） 图4.1 有趣的“蜜蜂通信员”是又一道这种类型的“难题”。甲乙两人相向而行。一只蜜蜂充当他们的通信员，不停地往返飞行于两者之间。已知甲和乙的速度分别为每分钟50米和每分钟70米，蜜蜂的飞行速度为每分钟100米。开始时甲乙两人相距1200米。问相遇时蜜蜂共飞行了多少路程？ 从表面上看，这一问题相当复杂，因为蜜蜂飞行的路线是由无数段小路程连接而成。不过，倘若读者有足够的兴趣和耐心的话，是能够算出蜜蜂每段小路程飞行时间的！下面便是算得的结果，它只提供给感兴趣的读者作对照，一般人可以只看答案！ t1=12017，t2=13×12017， t3=120172，t4=13×120172， t5=120173，t6=13×120173， …… 这样，我们得到两组无穷逆缩等比数列： t1，t3，t5，… t2，t4，t6，… 由此可以算得蜜蜂飞行的距离（单位： 米） S=100×（t1+t2+t3+t4+…） =100×［（t1+t3+t5+…）+（t2+t4+t6+…）］ =100× 120171-117+ 13×12017 1-117 =100×10=1000 答案为1000，即蜜蜂飞行了整整1000米！ 读者大可不必为这一答案而感到惊讶。其实，结论是一眼便能看出来的！事实上，易知甲乙两人相遇时间需要10分钟，这期间蜜蜂以每分钟100米的速度不停地飞行，因而总共飞行了100米/分钟×10分钟=1000米。 下面是一则扑朔迷离的传说，其奥妙和趣味都远非前面的问题所能相比。 传说古代印度有一位老人，临终前留下遗嘱，要把19头牛分给3个儿子。老大分总数的12； 老二分总数的14； 老三分总数的15。按印度教的教规，牛被视为神灵，不能宰杀，只能整头分。先人的遗嘱更需无条件遵从。老人死后，三兄弟为分牛一事而绞尽脑汁，计无所出，最后决定诉诸官府。 官员本是酒囊饭袋，遇到此等难事，自是一筹莫展，便以“清官难断家务事”为由，一推了之！ 话说邻村住着一位智叟。一天，他路过三兄弟家门，见三人愁眉不展、唉声叹气。询问之下，方知如此这般。但见老人沉思