三、 勒让德教授的失误 在“二、演绎的科学”中我们讲到： 巍峨的几何学宫殿，正是在公理的基础上，利用“点”“线”“圆”“相交”“重合”等基本砖石建造起来的。这一宏伟的几何学建筑，早在公元前3世纪，由人类智慧的能工巧匠，古希腊的欧几里得建造落成。 作为欧几里得几何学(也叫欧氏几何)基石的公理中，有一条著名的第五公设： “若两直线和第三直线相交，且在同一侧所构成的两个同旁内角之和小于两直角，则把这两条直线向该侧延长后一定相交。”这条冗长的公设，在今天的初中课本中，已用下面的等价公理来替代： “过已知直线外的一已知点，能且只能作一直线使它与已知直线平行。”因此，欧几里得的“第五公设”，也被称为“平行公理”。它还等价于更为简短的命题： “三角形内角和等于180°”，这一命题大约不会有哪一个中学生不熟悉。 欧几里得的第五公设，比其他的公 理或公设，显然要繁杂得多。大家知 道，欧几里得是在柏拉图（Platon，公元前427 —前347）关于几何体系建设的基础上， 集前人几何成就之大成，运用了严格 的科学推理，写出了不朽的巨著 《几何原本》。但在《几何原本》一书中，似乎欧几里得本人也是很勉强才引入第五公设的。 在长达13卷的鸿篇巨作中，只有命题29直接用到了它，此后即不见踪影。因而长期以来，第五公设成了人们怀疑的对象。 为了使几何学宫殿的基座显得更加稳固和不可动摇， 在长达两千多年的漫长岁月中，人们为 “推证”第五公设，进行了不懈的努力，然而没有一个人能够取得成功。在无数失败者中，最为精彩和扑朔迷离的，要算法国数学家阿德利昂·勒让德（Adrien Legendre，1752—1833）的“证明”。这一似乎天衣无缝的推证，甚至影响到下一节我们将要讲到的非欧几何的诞生。 下面我们与读者一道游览一下勒让德教授建造的“迷宫”，它对于锻炼我们的思维无疑是有益的。首先，勒让德证明了以下3条定理： 【第一定理】 任何三角形内角和不能大于两直角（即2d）。 证明： 用反证法。 假设△ABC内角和为2d+φ（φ>0），且∠BAC=α 为最小的内角。如图3.1所示，设D为BC的中点，延长AD至B1， 使AD=DB1，于是，由三角形全等知： ∠DB1C＝∠DAB，∠DCB1＝∠DBA 从而，△AB1C的内角和应与△ABC的内角和相等，也为2d+φ。由于△AB1C的最小内角显然不大于 ∠CAB1与∠AB1C之较小者，因而也就不大于∠DAB与∠CAD之较小者。 这表明△AB1C的最小内角应≤α2。 图3.1 以上过程可以重复进行（n-1）次，所得第n个三角形内角和依然为2d+φ，但最小角却 ≤α2n-1。这时，三角形的另两个内角之和应不小于 (2d+φ)- α2n-1=2d+ φ-α2n-1(3.1) 式(3.1)中，当n很大时两个内角之和将大于2d，这是不可能的。从而勒让德第一定理得证。 【第二定理】 如若存在一个三角形内角和为2d，则所有三角形内角和均为2d。 图3.2 证明： 实际上只要证明此时所有直角三角形内角和为2d 就可以了。这是因为对任意的三角 形来说，都可以像图3.2那样，看成 两个直角三角形的拼合（图3.2中B为 最大角，BD⊥AC，D为垂足）。 如果直角三角形内角和都等于2d的话，那么，任一三角形内角和为2d也就确定无疑了！ 现在假定△ABC的内角和为2d，如图3.2所示，由第一定理知： ∠1+∠2+d≤2d ∠3+∠4+d≤2d 从而∠1+∠2+∠3+∠4≤2d，根据假定 ∠1+∠2+∠3+∠4＝2d 所以必有 ∠1+∠2+d=2d ∠3+∠4+d＝2d 图3.3 这就是说，在我们的假定下，至少存在一个直角三角形(Rt△)，其内 角和为2d。就取△BDC 作为这样的Rt△吧！ 下面我们说明，把 Rt△BDC的两直角边 如图3.3分别延长到原来的 m倍和n倍之后（m、n为 正整数），再连EG，所得大Rt△EDG内角和也必然为2d。这是因为图3.3中每个小四边形内角和都是4d（由两个内角和为2d的Rt△组成）。从而推知大四边形DEFG内角和也应为4d，于是它的一半Rt△DEG内角和为2d。 现在转到一般的情形，假令△MDN是给定的一个Rt△(图3.4)，由于m、n可以根据需要选取，所以我们不妨设 图3.4 DE≥DM DG≥DN 连EN，则由Rt△EDG内角和为2d → (△ENG) △EDN 内角和为2d → (△EMN) △MDN 内角和为2d 即证任一Rt△内角和均为2d，综合上述，我们证明了勒让德第二定理。 【第三定理】 如果有一个三角形内角和小于2d，则所有三角形内角和都小于2d。 证明： 这是很明显的，因为，根据第一定理，三角形内 角和绝不大于2d，而根据第二定理，只要存在一个三角形内角和等于2d，那么所有三角形的内角和也就都等于2d，因此，如果居然存在一个三角形内角和小于2d，那么必然所有三角形内角和都小于2d。证毕。 在证明了上述3个定理之后，勒让德教授又作了以下出人意料的推理，从而把人们引入他所建造“迷宫”的中心。勒让德教授说： 图3.5 如果有一个△ABC内角和为2d-δ（δ>0），则如图3.5作△ABC关于轴BC的对称图形△A1BC， 过A1点 作直线B1A1C1，分别 交AB、AC的延长线于 B1、C1点。记△BB1A1 和△CA1C1的内角和 分别为2d-ε和2d-ξ （ε>0，ξ>0）。于是，图3.5中 4个小三角形内角和相加，应等于△AB1C1的内角和加上3个平角。即△AB1C1的内角和 （2d-δ）×2+（2d-ε）+（2d-ξ）-2d×3 ＝2d-2δ-（ε+ξ）<2d-2δ 这就是说： “存在一个内角和为2d-δ（δ>0）的三角形” →“存在一个内角和小于2d-2δ的三角形” →“存在一个内角和小于2d-4δ的三角形”  →“存在一个内角和小于2d-2nδ的三角形” 当n取很大时，2d将小于2nδ。这是不可能的！它表明三角形的内角和只能是2d。 以上便是勒让德教授的全部推证，不用第五公设而证得 了与欧氏几何第五公设等价的命题。 然而，勒让德教授并没有搬掉几何学大厦的这块基石。他那似乎“天衣无缝”的证明，有一个地方非常隐蔽地用到了另一种等价于“第五公设”的说法。不过，当时很少人能够看出错误之所在。这一失误，还是后来由教授本人指出并作了说明。 亲爱的读者，你能找出勒让德教授“证明”中的“破绽”吗？但愿你的智慧，能指点你走出这座“迷宫”！ 四、 几何王国的孪生三姐妹 在“三、勒让德教授的失误”中讲到，人们对“第五公设”作为公设的必要性， 整整打了两千多年的问号。为了寻求真理，多少世纪以来，无数造诣颇深的数学家，为尝试克服平行公理，进行了艰苦的工作，花费了大量的精力和心血。有时，他们也像勒让德教授那样，似乎成功在望，但终因发现了逻辑上的差错而前功尽弃。读者可能已经知道，勒让德教授的失误，在于他论证的最后部分，不可避免地要应用到这样一个命题，即过 图4.1 ∠BAC内部一点A1，引一直线B1A1 C1分别与角两边AB、AC交于B1、C1 点(图4.1)。然而恰恰是这个命题，无法逾越第 五公设而给予证明。勒让德教授甚至 指出： 可以把上述命题替代平行公理， 作为欧几里得几何学大厦的基石。 人类智慧面临着挑战。在无数的失败和挫折面前，难免有人却步，但多数人依旧勇往直前。最富戏剧性的一幕是： 1823年，约翰·高斯(Johann Gauss，1777—1855)的挚友， 匈牙利数学家F.波尔约，由于终生研究“第五公设”毫无所获，最后怀着沉重的心情告诫他那酷爱数学的儿子亚诺什·波尔约（Janos Bolyai，1802—1860），不要重蹈自己的覆辙，“投身于那些吞噬自己智慧、精力和心血的无底洞”。然而此时的小波尔约并没有因父亲的警告而后退。他匠心独运，从前人的无数失败中，领悟到要从逻辑上推证第五公设是不可能的。于是他大胆创新，毅然决然地把“三角形内角和等于180°”，换成“三角形内角和小于180°”，并以此为基石，建立起一套完整和谐、精妙无比的新几何体系。 1831年，小波尔约在他父亲的一本著作后面，以附录的形式，发表了题名为《绝对空间的科学》的富有创见性的新几何学。老波尔约对此似乎心里还不够踏实，便写信请教老朋友高斯，高斯是当时举世公认的数学泰斗。高斯给老波尔约的复信中，称赞小波尔约“有极高的天才”，但他又说“称赞他等于称赞我自己，令郎所采用的方法和所获得的结果，跟我20年前的沉思相符合”。高斯在信的结尾还说： “我自己的著作，虽只有一小部分已经写好，但我本来是终生不想发表的，因为大多数人对所讨论的问题存在偏见。现在有老朋友的儿子能够把它写下来，免得与我一同湮没，那是使我最高兴不过的了。”应该说前面一段话确曾是这位数学大师推心置腹的肺腑之言，因为早在1824年高斯就曾在给他朋友托里努斯的信中这样写过： “三角形三内角之和小于180°，这个假定引导到特殊的，与我们完全不同的几何，我发展它本身，结果完全令人满意。”但是，这时初露锋芒的小波尔约正踌躇满志，高斯的回信引起这位数坛新星的极大误解，他误认为高斯是运用他崇高的威望来夺取自己关于新几何体系的发明权，并为此痛心疾首，发誓放弃一切数学研究，在孤独与苦闷之中，度过了自己的后半生。 差不多与此同时，在俄国的喀山升起了一颗璀璨的新星，他就是俄罗斯的天才数学家尼克拉·罗巴切夫斯基（Николай Лобачевский，1792—1856）。1823年，罗 巴切夫斯基以超人的智慧，在经过长 达8年之久的苦心构思之后，终于写 成了《虚几何学》一稿。在手稿中罗 巴切夫斯基用另一条平行公理： “过已知直线外一点，至少可作 两条直线与已知直线平行。”(图4.2)去替代 欧氏几何的平行公理，建立起一个与 欧几里得几何同样严谨的新几何体系。