第3章刚体的定轴转动 前面两章，我们讨论了质点运动的规律，质点是最简单的最基本的理想模型。可是，很多运动着的实际物体不能忽略其形状、大小而将其视为质点，如车轮的运动、陀螺的旋转、电子的自旋等。不仅如此，实际物体在外力作用下总会或多或少地发生形变，如甩动的面团会拧成麻花状，高速转动的吊扇的叶片会变形等，分析它们的运动非常复杂。但像火车的轮子那类物体，其形变与其线度相比非常小，对运动的影响可以忽略，我们可以建立一种新的理想模型——刚体来研究其运动变化规律。所谓刚体就是在运动和受力过程中形状、大小不发生变化的理想化的物体。 我们对质点运动的研究，分为质点运动学和动力学两部分进行讨论，对刚体转动的研究，我们也将分为运动学和动力学两部分。本章主要研究刚体最基本的运动——刚体的定轴转动，先对刚体定轴转动进行描述，然后研究刚体定轴转动的动力学基本规律。内容包括描述刚体定轴转动的角位移、角速度、角加速度、转动惯量、力矩、角动量以及转动动能等物理量，刚体定轴转动的转动定律、角动量守恒定律、动能定理、机械能守恒定律以及它们的应用。 莱昂哈德·欧拉(Leonhard Euler，1707—1783) ，瑞士数学家、物理学家，科学史上最多产的杰出科学家。一生共写下886本书籍和论文，涵盖数学、物理学、航海学等多个领域。欧拉第一个将分析方法引入力学，是刚体力学和流体力学的奠基者，弹性系统稳定性理论的创始人。欧拉在著作《刚体运动理论》中，得到了刚体运动学和刚体动力学最基本的结果。在其著作《航海学》中，给出了流体运动的欧拉描述法，提出了理想流体模型，建立了流体运动的基本方程。欧拉为力学和物理学的变分原理研究奠定了数学基础，这种变分原理至今仍在科研中采用。 3．1刚体定轴转动的描述 刚体的运动形式是多种多样的，最基本的运动是刚体的平动和转动。 如果刚体在运动过程中，刚体上任意两点的连线始终保持平行，则这种运动称为平动。电梯的升降（图31）、汽车的行驶运动、刨床刀具的运动等都是平动的例子。刚体平动时，刚体内所有质点都具有相同的运动状态，任何一点的运动都可代表整个刚体的平动，可以直接用前两章讲述的有关质点的运动规律来描述。 如果刚体在运动过程中，刚体上各质点都绕同一直线作圆周运动，则这种运动称为转动，这条直线称为转轴。若刚体转动过程中转轴固定不动，称为定轴转动，否则为非定轴转动。例如，摩天轮的转动（图32）、钟表指针的转动、砂轮、电机转子的转动等都是定轴转动。 复杂的刚体运动如运动中的车轮、发射到空中的炮弹等，都可以看作是平动和转动的合成。 图31电梯的升降是平动 图32摩天轮的转动是定轴转动 下面我们对刚体的定轴转动进行描述。 在研究刚体运动规律时，我们可以将刚体看作是由许多体积非常微小的质量元(简称质元)组成的质点系，且各质元之间的相对位置保持不变。 刚体作定轴转动时，各质元作半径不同的圆周运动，它们的位移、速度、加速度各不相同，但在相同的时间内，各个质元的角位移相同，在某一时刻，它们的角速度相同、角加速度也相同，根据这一特点，可采用角量来描述刚体的定轴转动。 图33刚体定轴转动 在刚体上任取一点P，如图33所示，过P点作垂直于转轴的平面，该平面称为转动平面。刚体的定轴转动可以等效成转动平面上质点P的圆周运动，质点作圆周运动的角量描述完全适用于刚体的定轴转动。 以转动平面与转轴的交点O(称为转心)为原点，在转动平面内建立坐标系Ox，则P点的位矢r与Ox轴的夹角θ(t)即为刚体的角位置。 刚体作定轴转动的角速度为 ω=dθdt(31) 角速度是矢量，其方向由右手螺旋法则来确定。刚体作定轴转动的方向只有顺时针或逆时针两种可能，角速度也只可能有沿转轴向上或向下两个方向，因此角速度不必写成矢量形式，在具体问题中采用正负号表示其方向。 刚体定轴转动的角加速度为 α=dωdt(32) 角加速度也是矢量，方向也沿着转轴。如果刚体作加速转动，角加速度的方向与角速度的方向相同； 作减速转动时其方向与角速度的方向相反。 有时也需要知道刚体上某点的线量。距离转轴为r的质点的线速度、切向加速度和法向加速度分别为 v=rω，an=rω2，at=rα 刚体定轴转动的一种最简单情况是匀变速转动。刚体匀变速转动时，角加速度等于恒量。刚体匀变速转动的公式与1．2节中的质点匀变速圆周运动公式相同。 3．2刚体定轴转动的转动定律转动惯量 前两章关于质点运动的研究，我们分为质点运动学和动力学两部分讨论。与质点运动的研究类似，在完成对刚体定轴转动的描述后，本节我们将讨论刚体运动状态改变的原因，介绍刚体定轴转动的动力学基本方程——转动定律。 3．2．1刚体定轴转动的转动定律 牛顿指出力是物体运动状态改变的原因。力有三要素： 大小、方向和作用点。在研究力对质点运动的影响时，我们只要考虑其大小和方向，物体所受的所有外力都可以平移到一个点上视为共点力。但是，研究刚体的转动时，力的三要素都至关重要。生活经验告诉我们，要想使静止的门转动起来，必须注意力的方向和作用点。门把(力作用点)装得越远，转动起来越不费力； 而力的方向与门转轴平行或力作用线过转轴时门根本转不动。 现在讨论力对刚体定轴转动的影响。研究刚体动力学规律时，将刚体看作质点系，首先对各个质点应用质点力学定律，再将全部质点所遵从的力学规律加以综合，就可以得到整个刚体所遵从的力学规律。 图34转动定律 如图34所示，刚体在力的作用下绕轴Oz作定轴转动。设第i个质元的质量为Δmi，与转轴的距离为ri，同时受到外力Fi和刚体内其他质元对它施加的内力合力fi的作用(这里我们只考虑力Fi，fi在转动平面内情形。若力不在转动平面内，则可将其分解成在转动平面与垂直转动平面两个分力，前者对刚体转动产生影响，后者由于平行于转轴不影响刚体转动)。 用Fit和fit分别表示力Fi和fi沿Δmi运动轨道切向的分量，则对质元Δmi应用牛顿第二定律，其切向方向的表达式为 Fit+fit=Δmiait=Δmiriα(33) 式中，α为刚体的角加速度(也是其中各质元共同的角加速度)。 将上式两边同乘以ri，得 riFit+rifit=(Δmir2i)α(34) 由力矩定义式(227)可知，上式中的riFit=riFisinθi，rifit=rifisinθ′i，分别为外力Fi和内力fi产生的力矩。 对刚体中所有质元求和，得 ∑iriFit+∑irifit=∑i(Δmir2i)α(35) 图35一对相互作用的内力的 力矩和为零 上式中，∑iriFit是所有外力对刚体转轴产生的力矩之和，称为合外力矩，用M表示； ∑irifit是所有内力对刚体转轴的力矩之和，由于内力总是成对出现的，它们大小相等，方向相反，且在一条直线上，具有相同的力臂d，如图35所示，因此每一对内力矩相互抵消，即∑irifit=0； ∑i(Δmir2i)是刚体内各质元的质量与它们各自到转轴的距离的平方的乘积之总和，称为刚体对定轴的转动惯量，用J表示。这样上式简写为 M=Jα(36) 上式表明，刚体的角加速度与它所受的合外力矩成正比，与刚体的转动惯量成反比。这一结论叫做刚体定轴转动的转动定律。转动定律定量描述了刚体运动状态改变的原因，它是刚体作定轴转动时所遵守的基本定律，转动的其他规律都是由这条定律推导出来的。 3．2．2转动惯量 图36杆与小球系统 转动定律与牛顿第二定律不仅在形式上非常相似，而且对应的物理量的意义也非常相近。合外力矩M相当于合外力F，角加速度α相当于加速度a，转动惯量J相当于惯性质量m。我们知道，m是物体惯性大小的量度，同理，J是刚体转动惯性大小的量度。J越大，刚体的惯性越大，施加同样的外力矩M，产生的角加速度α就越小。例如，施加制动力矩使高速转动的飞轮停下来，飞轮转动惯量越大，它的转动惯性越大，停下来就越困难。 转动惯量的定义式为 J=∑iΔmir2i(37) 对于离散的质点系统，可以直接利用上式计算该系统的转动惯量。例如，图36所示的是一个轻质材料制成的长为a的杆，两端分别固定着质量为m和2m的小球，它们的体积很小可以当成质点看待。整个系统可以绕过杆中心O点且垂直于杆的轴转动，则该系统的转动惯量为 J=m·a22+2m·a22=34ma2 如果刚体的质量是连续分布的，求和应以积分代之。设刚体中任意一个质元的质量为dm，到转轴的垂直距离为r，则该质元对转轴的转动惯量为r2dm，整个刚体对转轴的转动惯量为所有质元的转动惯量之和，即 J=∫Ωr2dm(38) 公式中Ω泛指刚体质量分布的区域。 在国际单位制中，转动惯量的单位是kg·m2。 由上面两式可知，对于绕定轴转动的刚体，转动惯量J为一恒量，其大小不仅与刚体的总质量有关，而且和质量相对于轴的分布有关。 式(38)用于求解具有规则几何形状的刚体的转动惯量比较方便。但是，实际物体的形状大都不规则，它们的转动惯量往往采用实验的方法来测量。例如，对物体施加一定的外力矩，测量其转动的角加速度，再利用转动定律推算出转动惯量。 例3．1求质量为m、长为l的匀质细棒的转动惯量： (1)对于通过棒的中点且与棒垂直的轴； (2)对于通过棒的一端且与棒垂直的轴。 图37例3.1图 解： (1) 沿着棒长方向建立坐标轴x，选棒的中心为坐标原点O，如图37(a)所示。在棒上取长度为dx的质元，以λ表示单位长度的质量(线密度)，则此质元质量为 dm=λdx=mldx 棒对通过其中点且与棒垂直的轴的转动惯量为 J1=∫Lx2dm=∫l2－l2x2mldx=13mlx3l2－l2=112ml2 (2) 将坐标原点O移到棒的一端，如图37(b)所示。同样可求出，棒对通过其一端且与棒垂直的轴的转动惯量为 J2=∫Lx2dm=∫l0x2mldx=13mlx3l0=13ml2 表31给出了几种常见匀质刚体的转动惯量。 表31几种常见匀质刚体的转动惯量 刚体和轴 刚体示意图 转动惯量 细棒绕中心轴 J=112ml2续表 刚体和轴 刚体示意图 转动惯量 细棒绕一端轴 J=13ml2 薄圆环(筒)绕中心轴 J=mR2 圆盘(柱)绕中心轴 J=12mR2 球体绕直径 J=25mR2 3．2．3转动定律的应用 转动定律的应用与牛顿运动定律的应用类似，解题思路如下： （1） 确定研究对象(确定刚体及其转轴位置)； （2） 受力分析，隔离物体画出受力图(注意力的方向和作用点，正确计算力矩)； （3） 选取坐标(注意转动和平动的坐标取向要一致)； （4） 列方程求解(平动物体列牛顿定律方程，转动刚体列转动定律方程，再列出角量与线量关系等约束条件方程)。 例3．2汽车盘式制动器及其工作原理如图38所示。盘式制动器由制动盘、制动钳、液压装置等构成，制动盘为一合金圆盘，固定在车轮上随车轮转动，制动钳内部两侧各装有一个刹车片。刹车时，液压活塞推动制动钳刹车片压向制动盘边缘，产生摩擦力矩制动。现对刹车盘空载(未装在车轮上)时的制动情况进行简单分析，若制动盘质量m=15kg，半径R=0．18m，从转速n=3．0×103r·min－1开始制动，均匀减速经时间t=3．0s停止转动，求制动钳每个刹车片对制动盘的正压力FN。设制动盘的转动惯量为J=12mR2，刹车片与制动盘之间的摩擦系数μ=0．40，刹车片大小可忽略。 图38汽车盘式制动器 解： 本题为转动定律应用的典型题，属于已知运动求力的题型。 以制动盘为研究对象，视为定轴转动的刚体——绕中心轴转动的圆盘。 依题意，制动盘制动时的初角速度ω0=2πn=2π×3．0×103rad·s－160=314rad·s－1，末角速度ω=0，制动时间t=3．0s，代入刚体匀变速转动公式，可求得角加速度 α=ω－ω0t=（0－314）rad·s－13．0s=－105rad·s－2 负值表示α与ω0方向相反，与减速转动相对应。 受力分析可知，当制动钳刹车片压紧制动盘边缘时，两个刹车片都与制动盘产生摩擦，制动盘所受的合外力矩为两摩擦力矩之和。以ω0方向为坐标正向，则摩擦力矩应沿反向，为负值。设每片刹车片与制动盘的摩擦力数值用Ff表示，则Ff=μFN，合外力矩为 M=－2FfR=－2μFNR 根据刚体定轴转动定律M=Jα，可得 －2μFNR=Jα 将J=12mR2代入，可得 FN=－mRα4μ 代入数据，可得 FN=－15×0．18×－1054×0．40N=177N 本题仅对刹车盘空载(未装在车轮上)情况进行简单分析，实际计算要复杂得多。 图39细棒下摆运动 例3．3如图39所示，一质量为m，长为l的均匀细棒，可绕其一端的光滑水平轴O在竖直平面内转动。今使细棒从水平位置静止释放，求细棒下摆至θ角位置时的角加速度和角速度。 解： 讨论下摆运动时，不能把细棒看作质点，而应作为刚体转动来处理，需要用转动定律求解，本题属于已知力求运动的题型。 细棒受到的力为重力和O轴对棒的作用力(该作用力对转轴O的力矩为零，可不画)，棒所受外力矩就是重力对转轴O的力矩。 以下摆(顺时针)方向为坐标正向，重力的作用点在重心C上，由力矩定义式可得，细棒下摆至θ角位置时的外力矩为 M=MG=mg·l2cosθ 由刚体定轴转动定律M=Jα，可得 mg·l2cosθ=Jα 将J=13ml2代入，可得角加速度为 α=3g2lcosθ 由角加速度与角速度的关系得 α=dωdt=dωdθ·dθdt=ωdωdθ 则 ωdω=3g2lcosθdθ 已知细棒在水平位置(θ=0)时的初角速度为零，设细棒下摆至θ角位置时的角速度为ω，对上式积分得 ∫ω0ωdω=∫θ03g2lcosθdθ 得 ω=3gsinθl 例3．4测轮子的转动惯量。如图310所示，用一根轻绳缠绕在半径为R，质量为M的轮子上若干圈后，一端挂一质量为m的物体，设物体从静止下落距离h用了时间t，求轮子的转动惯量J。 解： 选择轮子M与物体m为研究对象。转动的轮子视为刚体，下落的物体视为质点，分别受力分析，建立坐标系如图310所示。 图310测轮子的转动惯量 对质点m，列牛顿定律方程 mg－T=ma 对刚体M，列转动定律方程 T′R=Jα 由牛顿第三定律，有 T′=T 由角量与线量关系有 a=Rα 物体m从静止下落时满足 h=12at2 联立求解得 J=mR2(gt2－2h)2h 计算表明，只要测出轮子的半径R，物体的质量m，下落距离h及所用的时间t，即可算出轮子的转动惯量。这是一种简便易行的测量刚体转动惯量的实验方法。 3．3刚体的角动量角动量守恒定律 3．3．1刚体对定轴转动的角动量 刚体的运动状态除了可以用角速度来描述外，考虑到刚体的转动惯性，我们还可以引入角动量来描述。下面我们来定义刚体的角动量。 如图311所示，刚体以角速度ω绕一定轴转动。设刚体中第i个质元的质量为Δmi，距转轴为ri，则该质元对转轴的角动量应为 Li=Δmiviri=(Δmir2i)ω(39) 图311刚体质元对转轴角动量 由于刚体对转轴的角动量L等于刚体内所有质元的角动量之和，而所有质元的角动量都是对同一个定轴的，且方向相同，因此 L=∑i［(Δmir2i)ω］=∑iΔmir2iω 由于∑iΔmir2i就是刚体对给定轴的转动惯量J，因此刚体绕定轴转动的角动量可表示为 L=Jω(310) 上式表明，定轴转动刚体的角动量等于刚体转动惯量和角速度的乘积，它也是矢量，方向与角速度的方向一致。 3．3．2刚体对定轴的角动量守恒定律 在第2章质点动力学中，我们讨论了牛顿运动定律的两种表达形式。其中，F=ma描述质点运动的加速度a与所受合外力F间的瞬时关系； 而F=dpdt则讨论了质点动量随时间的变化率dp/dt与其所受的合外力F的关系。刚体定轴转动的转动定律也有类似的两种表述。式(36)M=Jα是转动定律的第一种表述，它描述刚体转动的角加速度α与所受合外力矩M间的瞬时关系。下面我们来推导转动定律的第二种表述，讨论刚体角动量随时间的变化率dL/dt与其所受的合外力矩M的关系。 将角加速度的定义式α=dωdt代入式M=Jα中，得 M=Jα=Jdωdt=d(Jω)dt 其中Jω就是刚体定轴转动的角动量L，因此，刚体定轴转动的转动定律的另外一种表达式为 M=dLdt(311) 此式表明，刚体绕定轴转动时，作用于刚体的合外力矩等于刚体角动量随时间的变化率。这就是刚体的角动量定理。 在上式中，如果M=0，则 L=Jω=恒量(312) 即如果作定轴转动的刚体所受的合外力矩为零，则刚体对定轴的角动量保持不变。这一结论称为刚体对定轴的角动量守恒定律。 应该指出的是，角动量守恒定律不但适用于刚体，也适用于绕定轴转动的非刚体系统。 应用角动量守恒定律分析解决问题时，应该注意以下几点： (1) 对于定轴转动的单个刚体，转动惯量J是个定值。当刚体所受的合外力矩M=0时，其角动量L守恒，意味着角速度ω矢量的大小和方向将保持不变，刚体绕定轴依惯性作匀角速度转动。 图312陀螺仪 在现代导航技术中有重要应用的陀螺仪就是根据这一原理制成的，如图312所示，陀螺仪的转子是一个边缘厚重的轴对称物体，转子与内外两个平衡环三者的转轴两两垂直，并相交于回转仪的重心，使转子不受重力矩作用。如果忽略轴承的摩擦力和空气阻力的力矩，当转子高速旋转时，无论支架如何翻转，转子都将保持其转轴方向不变。利用这种定轴性，陀螺仪被安装在船舶、飞机、火箭、宇宙飞船上用作导航定向。如今，陀螺仪还被安装在手机上实现手机导航。除此之外，陀螺仪还可以和手机上的摄像头配合使用，实现拍照防抖功能； 作为飞行游戏，射击游戏等各类手机游戏的传感器，陀螺仪能完整监测游戏者手的位移，从而实现各种游戏操作效果。 图313芭蕾舞演员的旋转 (2) 对于定轴转动的单个非刚体，由于非刚体的各部分相对于转轴的距离会发生变化，其转动惯量J为变量。在满足角动量L守恒条件(M=0)下，J变大时，ω就变小； J变小时，ω就变大。例如，一个芭蕾舞演员在作旋转动作时，如果先将手臂伸开，绕通过足尖的竖直轴以一定的角速度旋转，如图313(a)所示，然后再将手臂收拢，我们会看到她的旋转加快了，如图313(b)所示。原因是她在旋转时，由于重力作用点在人体的重心，与转轴重合，对转轴的力矩为零，而人的手臂用力产生的力矩是内力矩，所以满足角动量守恒的条件，即转动惯量与角速度的乘积是一个不变量。在将手臂收拢的过程中，由于转动惯量减小，因此角速度增大。类似的例子还有很多，如体操运动员或跳水运动员在空中的翻转等，都是角动量守恒的实例。