第3章微波频段螺旋结构手性超材料特性及优化设计






3.0引言
螺旋结构是自然界典型的手性结构，具有显著的手征特性和广泛的应用。本章重点研究基于二维金属螺旋结构阵列的复合电磁手性材料超材料设计机理与结构优化方法； 探讨电磁波极化转换的基本理论和复合手性介质与电磁波的相互作用与传播特性； 简单介绍相应极化转换功能器件的设计。具体各节内容安排如下： 首先，基于偶极子理论阐述电磁波照射螺旋结构后的极化转换基本理论及二维金属螺旋结构阵列单元的优化设计方法； 其次，通过理论和实验研究使用具有最佳形状的平滑螺旋结构体实现电磁波对圆柱形物体的无反射绕射现象，并探讨电磁能量损耗与金属元件总数及空间优化排列分布方法； 接着，3.4节~3.6节分别探讨分析不同入射角情况下单层和多层螺旋结构阵列电磁波传播特性及各向异性问题，推导其波方程的解析解，建立超材料在微波微波频段的波数随频率变化的关系，它类似于胆甾型液晶在光波波段波数与频率的关系； 最后，介绍Ω形螺旋多层结构复合材料的微波电动力学、手征性及其传播特性。本章内容可以作为基于螺旋结构超材料的极化转换器的理论和设计基础［12］。
3.1基于螺旋结构的电磁波极化极化机理
在超材料出现以前，大多数文献研究螺旋结构主要是带馈电的圆柱形有源螺旋天线，以及如何研制具有轴向辐射椭圆极化电磁波的类螺旋结构天线［3］。文献［4］采用了一种由相同导电单元组成的含有介电层的栅格结构进行极化变换，这是一种与本书的研究对象最接近的人造结构装置。其中，介电层是基板，在其一侧上有相同曲折线形状的导电单元构成栅格结构，这些曲折线彼此平行，相对于电磁波的线性极化平面成45°。此外，选择栅格的结构参数以保证电磁波电场矢量两个相互垂直分量具有所需的相位变化，通过天线极化器后电磁波可以实现极化转换。因只有通过极化器后才能得到圆极化波，因此，该极化器不能应用于基于反射面的天线系统中。对于特定方向入射的电磁波，这类极化器都会将任意方向的线极化波转换为圆极化波。圆极化波是由每个螺旋单元中相互关联的电矩和磁矩作用形成的，而电矩和磁矩对反射波作用的绝对值是相等的。
相关研究证明由金属螺旋结构组成的二维阵列可用于微波的电磁极化，特别是获得圆极化电磁波。与大多数已知文献不同，本节研究和计算的是由两匝金属螺旋组成的二维阵列，其阵列的螺旋元件是无源的。本节还将探讨由于电偶极矩和磁偶极矩(下文简称电矩和磁矩)分量的作用在垂直于轴的方向上形成圆极化波的机理，并研究微波电磁辐射与金属螺旋结构阵列的相互作用和金属螺旋结构最佳参数设计。
3.1.1螺旋单元产生的电矩和磁矩的计算
电磁波在螺旋结构单元上的散射特性取决于螺旋形状几何尺寸与波长的比值。当螺旋单元的线性几何尺寸远小于入射波长时，可以采用辐射理论的偶极子近似方法［5］。在这种情况下，可以从螺旋单元的电矩和磁矩入手，研究主要由外部磁场感应和相互作用在每个螺旋单元中同时出现的电矩和磁矩及由此产生的手性特征。




首先，可以根据电磁理论计算出螺旋线结构的电矩和磁矩的所有分量，其发射波的极化率取决于它们的比率。设l为沿螺线方向的坐标，L为螺线的长度，s(l)为沿螺旋线方向的导体电子位移，则螺旋线结构的电矩矢量可以表示为
p=∫PdV=∫QNes(l)dV=－eNeSw∫L2-L2s(l)dl(3.1.1)
式中，Q=-e是电子电荷，dV=Swdl是螺旋形单元的体积，Sw是导线的横截面积，Ne是电子的体积密度。
考虑一个由半径为r、长度为L组成的螺旋线。螺旋线的高度为H=hNc，螺旋线相对于垂直于螺旋线轴平面的上升角为α，螺旋线的轴与Ox轴重合，Nc为螺旋线的匝数，单元结构如图3.1.1所示。


图3.1.1螺旋形状示意图

(a) 单匝螺旋线； (b) 多匝螺旋线



对于螺旋体其扭矩q与螺距h之间有以下比例关系： 
h=2π|q|(3.1.2)
q的符号取决于螺旋线的旋转方向。对于q>0，如图3.1.1所示螺旋线形成右螺旋形状。当螺旋线长度约为入射波波长一半时，将考虑主谐振。在这种情况下，电流强度随远离螺旋线中心而单调减小，至螺旋线边缘时变为零。
文献［6］给出了从螺旋线中心到边缘电流强度线性下降的模型。但是，更精确的模型是从螺旋线中心到边缘的谐波电流减小模型。这种模型对应驻波的稳态振荡，在螺旋线的边缘处电流等于零，其最高强度对应螺旋线长度约为波长一半时的谐振情况。以下将讨论谐波电流随坐标x变化的关系。这很重要，因为可以用傅里叶关系分析该螺旋线中电流分布随x减小的关系。
分析结果表明，螺旋线电矩和磁矩的у分量消失了，这与螺旋线的匝数无关，是电流分布相对于螺旋线中心对称的一种属性。随着匝数的增加，相比于x分量，螺旋线电矩和磁矩z分量的绝对值减小。因此，沿螺旋轴线的偶极矩分量起主要作用。
考虑到导电电子位移与时间的单调关系为
s(x,t)=s(x)exp(－iωt)(3.1.3)
式中，ω是螺旋电流的角频率。此时，导电电子位移s和电流I之间满足以下关系： 
s=－ieNcωSwI(3.1.4)
由式(3.1.1)和式(3.1.4)，可以得到众所周知的螺旋线电偶极矩x分量的表达式［78］： 
px=iω∫x2x1I(x)dx(3.1.5)
由式(3.1.1)和式(3.1.5)，并考虑螺旋单元的几何参数，可以按照下式计算磁矩的x分量： 
mx=12r2q∫x2x1I(x)dx(3.1.6)
从式(3.1.5)和式(3.1.6)，可以得出电矩投影与磁矩在螺旋轴上分量之间的关系： 
px=2iωr2qmx(3.1.7)
这是一般关系，不依赖于螺旋线的电流分布［9］，这是因为在垂直于螺旋轴方向上辐射圆极化波时螺旋矩的x分量起主要作用。
我们可以根据式（3.1.7）分析以下三种常用螺旋线中电流分布情况下的电磁矩关系，即直流电情况、从螺旋线中心到边缘电流线性下降的情况和电流相对坐标谐振的情况，但实际上式（3.1.7）具有普遍意义，适用于分析更广泛的电流分布下的电磁矩关系。在人造螺旋结构超材料中，每个螺旋中的电流不仅会在入射波作用下变化，还在该结构中其他螺旋线的影响下变化。但是，对于电流的任何变化，电矩和磁矩的mx和px分量都以相同的方式变化，并且关系式(3.1.7)仍然有效。因此，以下给出的螺旋单元几何参数甚至在超材料中螺旋线单元比例显著增加的情况下仍然能得到圆极化波。
3.1.2螺旋体螺旋体圆极化波被动辐射机理与参数的计算
在偶极子近似中，发射波的电场强度的形式为［5,10］
E(R,t)=μ04πr［p¨,n］n+1c［n,m¨］(3.1.8)
式中，R为从螺旋中心到观察点的矢量，μ0为磁导率，r为从螺旋线中心到观测点的距离，n为单位矢量，c是真空中的光速，向量上的点表示对时间的两阶微分运算：  
p¨=2pt2(3.1.9)

m¨=2mt2(3.1.10)
考虑螺旋线在y轴方向上的辐射波。在这种情况下，激发螺旋体的入射波沿z轴的负向传播，如图3.1.2所示，图中电流的方向用箭头表示，电流强度与箭头的长度成正比，φ是极化角。


图3.1.2两匝螺旋体的电流分布及螺旋方向与入射波和反射波方向的关系示意图


在下述的实验中，螺旋体位于泡沫透波材料板上。因此，当入射角等于45°时，螺旋体阵列的反射波仅由每个螺旋体在y轴方向上的辐射波形成。所有的辐射波具有相同的相位和极化，从而它们相互叠加。因此，从阵列反射的波与每个螺旋体在y轴方向上的辐射波有相同的极化。
实验的这种几何形状简化了辐射波的研究，在单螺旋体情况下，其辐射强度显著低于入射波的强度。
设c0为接收天线的单位矢量，该单位矢量位于xOz平面，且与入射波的电场矢量即x轴成θ角(图3.1.3)。



图3.1.3接收天线方向与坐标轴的关系示意图


在这种情况下，天线接收信号的强度为
I=〈(Ec0)2〉t(3.1.11)
式中，尖括号表示对时间求平均值的运算。为了方便进一步的计算，用以下形式表示螺旋体电矩和磁矩的非零分量： 
px=px0s0,pz=pz0s0(3.1.12)

mx=imx0s0,mz=imz0s0(3.1.13)
使用式(3.1.8)~式(3.1.10)、式(3.1.12)和式(3.1.13)，得到天线接收信号的强度为
I=μ20ω432π2R2|s0|2p2x0+1c2m2z0cos2θ+p2z0+1c2m2x0sin2θ+
px0pz0－1c2mx0mz0sin2θ(3.1.14)
对于螺旋体辐射的圆极化波，应满足如下关系： 
|pz||px|,1c|mz||px|
同时考虑式(3.1.14)后，得到辐射圆极化波的条件为
|px|=1c|mx|(3.1.15)
当满足式(3.1.15)时，信号强度I与角度θ无关(I为常数)，螺旋体的手征特性最为明显，因为入射波的电场在螺旋体中不仅激发了电矩，也激发了磁矩。
为了确定螺旋体可能产生圆极化波的参数，采用式(3.1.15)来计算具有任意电流分布螺旋体电矩和磁矩的谐振条件，满足
λ2=L(3.1.16)
式中，λ是入射波的波长。
考虑到图3.1.1螺旋体的几何参数关系，有
Lcosα=2πrNc(3.1.17)
可以得到三角函数方程确定的螺旋体的仰角α： 
4Nctanα=cosα(3.1.18)
或者
sin2α+4Ncsinα－1=0(3.1.19)
对于角度α的正值，式(3.1.19)的根为
α=arcsin(－2Nc+4N2c+1)(3.1.20)
表3.1.1列出了可辐射圆极化波时，螺旋体匝数对应的仰角值。


表3.1.1可辐射圆极化波时，螺旋体匝数对应的仰角值




Nc
1
2
3
4
5
6
7
8

α/(°)
13.65
7.10
4.75
3.60
2.90
2.40
2.00
1.80

从表中可以看出，螺旋体匝数在奇数和偶数时，都可以辐射圆极化波。分析结果表明，螺旋体获取圆极化辐射波的最佳仰角随着匝数的增加而迅速减小，螺旋体辐射波强度随匝数增加而下降，因此，最佳匝数为Nc=1或Nc=2。
对于单匝螺旋体，必须消除电矩和磁矩垂直于螺旋体轴线的磁矩分量pz和mz的影响。因此，为了获得圆极化波，单匝螺旋体的末端面应当迎着入射波入射方向。在双匝螺旋体中，电流分布更加对称，并且相对于螺旋体末端面任何方向入射的电磁波都会辐射圆极化波。
根据研究结果，可以确定螺旋体的参数值，当频率ν=3GHz的线极化波照射该螺旋体时可以发射圆极化波。组成该螺旋体的导线长度必须符合谐振条件，即L=5cm。从表3.1.1中得到螺旋体的仰角值： α=7.1°，在Nc=2时，螺旋体的半径由公式(3.1.17)计算得到： r=3.95×10-3m，由h=LsinαNc可以计算螺旋体螺距，得到h=3.1×10-3m。
为了验证理论计算，按照上述的参数制作了一个作为极化转换器的两匝螺旋体实验样品，如图3.1.4所示。在3.1.3节中将着重讨论二维两匝螺旋体阵列对电磁反射波的研究结果。



图3.1.4安装在泡沫板上的二维两匝螺旋体阵列


3.1.3二维手性结构反射的实验研究
为了研究二维手性结构阵列电磁反射波的极化特性，本书使用了一种基于线性极化场的接收天线分析方法，具体螺旋结构制作方法如2.6节中介绍的，实验在戈梅利国立大学微波暗室中进行。通过仿真实验研究了在2.6~3.9GHz的二维螺旋体阵列反射波的椭圆率相对入射波频率的变化关系。反射波的椭圆率K直接由偏振图计算得到，即信号电平最小值与最大值的比率，信号电平由接收指示器得到。该研究结果如图3.1.5和图3.1.6所示。图3.1.5为两匝螺旋体超表面的反射电磁波偏振图，线极化入射波的谐振频率为2.85GHz。图3.1.6为规则排列的双匝螺旋体阵列超表面反射波椭圆率随频率的变化曲线。




图3.1.5两匝螺旋体超表面的反射电磁波偏振图

螺旋体参数： L=5cm; r=3.95×10-3m; Nc=2; α=7.1°; h=3.1×10-3m





图3.1.6规则排列的双匝螺旋体阵列超表面反射波椭圆率随频率的变化曲线


从图3.1.6的曲线中可以看出，在频率为2.8~2.9GHz时样品椭圆率达到最大值。根据理论计算，该实验样品在入射频率为3GHz时反射圆极化波。相比计算频率，实验观察到的频移可以由超材料螺旋体元件对电磁波的延缓来解释。这种波速的下降可能是由于电磁波在螺旋体中产生了显著的电矩和磁矩。
线极化入射波可以看成“右”和“左”两个圆极化波的叠加。具有最佳参数的右螺旋体在谐振频率时只辐射左圆极化波，并且它不与极化方向相反的波相互作用。因此，这种右螺旋体在谐振频率时可以看成右圆极化波的“正交振荡器”。换句话说，最佳参数螺旋体相对于左或右圆极化波是透明的，这取决于螺旋体的旋转方向。
以上阐述了基于螺旋结构复合介质的电磁波极化转换器的理论基础和实验验证，研究结果表明，当同时激活电场和磁场时，即入射波的极化面的方向是任意的，螺旋结构表现出最佳的特性。这是螺旋结构与其他超材料结构(如线形和环形谐振器)相比的优点［1115］。使用基于螺旋元件的二维阵列，可以旋转电磁波的极化面而不改变其椭圆率，但螺旋结构必须具有适当仰角才能做到这一点［1617］。螺旋结构复合介质的应用包括了将线极化波转换为圆极化波，这一结论已经过实验验证［1819］。
3.2手性螺旋体结构参数的最优设计
3.1节研究了在线极化波入射波照射下螺旋体反射圆极化波的情况，以及通过二维两匝螺旋体阵列的实验验证了这种极化转换。然而，随后的研究结果表明，使用单匝螺旋体时，极化转换波的强度将显著增强。因此，本节将单匝螺旋体作为产生圆极化波的首选方案，并且预先计算好单匝螺旋体的最佳形状。实验研究使用由完全相同的单匝螺旋体组成的二维阵列，由螺旋体反射的电磁波具有相同的极化且相位一致，这使得它们互相叠加，结果是一个强度相当大的圆极化波被阵列反射。在此基础上将重点介绍单个螺旋体结构最优参数设计与计算，并证明这种螺旋体具有同等重要的介电性、磁性和手征特性，据此可以进一步广泛应用最佳形状螺旋体。




图3.2.1螺旋体与坐标轴的关系


当螺旋体长度等于入射波波长的一半时，为主谐振情况。在这种情况下，电流随着远离螺旋体中心而单调减小，至其边缘时变为零。当圆极化波沿垂直于螺旋轴方向入射时，起主要作用的是沿着Ox轴的电矩和磁矩的分量px和mx，如图3.2.1所示。
下面以圆极化仅由px和mx分量的作用而产生为条件来计算和确定螺旋体参数。在这种情况下，沿Oy和Oz轴线的力矩分量只能扭曲圆极化波，应尽量减少它们的影响。由于螺旋体中的电流相对于其中心成对称分布，所以pz和mz分量消失。由于螺旋体中存在偶数匝数，py和my分量的值可以显著降低。
同时，实验表明，要增加极化转换波的强度，需减少螺旋体的匝数。如果要满足主谐振条件，螺旋体的仰角（即由螺旋的切平面与垂直于螺旋轴的平面形成的角度）将增加。
为了定性分析螺旋体仰角α对反射波强度的影响，考虑入射波电场在螺旋体中引起的有效电矩: 
p=qeflef(3.2.1)
式中，qef是由导体电子位移在半匝螺旋体中引起的一个有效电荷，lef是在螺旋体中引起偶极矩的有效臂。
随着作用场的谐波随时间的变化，根据e－iωt和角频率ω的理论，有
qef=iωIef(3.2.2)
式中，i是虚数单位，Ief是螺旋体中的有效电流。根据欧姆定律，有
Ief~Es(3.2.3)
式中，符号“~”表示等价关系。
Es=Esinα(3.2.4)
E为螺旋体任意点的电场分量，α为螺旋体仰角，入射波的电场矢量沿螺旋轴振荡。同时,
lef~Lsinα(3.2.5)
式中，L是螺旋体螺线的总长度。运用偶极子辐射理论，可得到螺旋体发射的波的强度对螺旋体仰角α的定性依赖关系： 
I~sin4α(3.2.6)
因此，最优选择的是具有最大仰角的螺旋体，即单匝螺旋体。此时，圆极化波辐射条件为式(3.1.15)。
在这种情况下，垂直于螺旋轴的电矩分量py、pz和磁矩分量my、mz对极化波不应有贡献。这种条件也可以在螺旋匝数为奇数的情况下实现。为此，需要将螺旋体的边缘定向于入射波的方向(螺旋体围绕Ox轴线旋转)，如图3.2.1所示。尽管阵列单元是具有圆柱形的螺旋体，根据透视规则，更接近观察者的螺旋体末端显得更大。
这种配置下，由于电流沿螺旋线的对称分布，pz=0,mz=0。py和my分量不会为零，但这些电偶极矩和磁矩分量在Oy轴方向上不会产生辐射，因此不会扭曲圆极化波。
3.1节阐述了基于一般关系式(3.1.7)螺旋体最佳参数的计算。式(3.1.7)适用于沿螺旋体的任何电流分布，并且电流可以是由入射波或其他螺旋体的磁场激发引起的。因此，不仅可揭示单个螺旋体的最佳性能，也可以描述当螺旋体密度很大时超材料中的电磁偶极矩关系。
在主谐振条件下，螺旋体最佳仰角可以由式(3.2.7)计算： 
α=arcsin(－2Nc+4N2c+1)(3.2.7)
式中，Nc是螺旋体的匝数。
为了对所得结果进行实验验证，求出了螺旋体在线极化入射波频率ν=3GHz时，可以反射出圆极化波对应的单匝螺旋体的参数，如2.6节所述，将铜线在模板上缠制成单匝线圈阵列。具体单匝螺旋体实验样品的参数为: Nc=1,α=13.6°,