专题三提升建模能力










解决物理综合问题，一般是利用已经掌握的物理知识与原理，通过分析、判断、简化、抽象等手段，把它转化为我们熟悉的物理问题，这就是我们熟知的物理建模过程。把实际问题转化为我们熟悉的模型，再利用对应的思维方法和数学工具进行推导演算，问题即可迎刃而解。北京高考对考生的物理建模能力要求较高，通过下面建模题目的练习，希望同学们能够掌握高中物理中常见的几类模型，并能够在解决问题中灵活运用。

一、 应用物理基本规律建立模型

1. （2014北京高考）
导体切割磁感线的运动可以从宏观和微观两个角度来认识。如图所示，固定于水平面的U形导线框处于竖直向下的匀强磁场中，




金属直导线MN在与其垂直的水平恒力F作用下，在导线框上以速度υ做匀速运动，速度υ与恒力F方向相同； 导线MN始终与导线框形成闭合回路。已知导线MN电阻为R，其长度L恰好等于平行轨道间距，磁场的磁感应强度为B。忽略摩擦阻力和导线框的电阻。

（1） 通过公式推导验证： 在Δt时间内，F对导线MN所做的功W等于电路获得的电能W电，也等于导线MN中产生的焦耳热Q； 

（2） 若导线MN的质量m=8.0 g，长度L=0.10 m，感应电流I=1.0 A，假设一个原子贡献1个自由电子，计算导线MN中电子沿导线长度方向定向移动的平均速率ve（下表中列出一些你可能会用到的数据）； 


阿伏伽德罗常量NA6.0×1023mol-1
元电荷e1.6×10-19C
导线MN的摩尔质量μ6.0×10-2 kg/mol

（3） 经典物理学认为，金属的电阻源于定向运动的自由电子和金属离子（即金属原子失去电子后的剩余部分）的碰撞。展开你想象的翅膀，给出一个合理的自由电子的运动模型； 在此基础上，求出导线MN中金属离子对一个自由电子沿导线长度方向的平均作用力f的表达式。



2. （2015西城二模）
如图所示，在磁感应强度为B的水平匀强磁场中，有一竖直放置的光滑的平行金属导轨，导轨平面与磁场垂直，导轨间距为L，顶端接有阻值为R的电阻。将一根金属棒从导轨上的M处以速度v0竖直向上抛出，棒到达N处后返回，回到出发点M时棒的速度为抛出时的一半。已知棒的长度为L，质量为m，电阻为r。




金属棒始终在磁场中运动，处于水平且与导轨接触良好，忽略导轨的电阻。重力加速度为g。

（1） 金属棒从M点被抛出至落回M点的整个过程中，求： 

a. 电阻R消耗的电能； 

b. 金属棒运动的时间。

（2） 经典物理学认为，金属的电阻源于定向运动的自由电子与金属离子的碰撞。已知元电荷为e。求当金属棒向下运动达到稳定状态时，棒中金属离子对一个自由电子沿棒方向的平均作用力大小。




3. （2020朝阳一模）
由相互作用的物体所组成的系统中，能量和动量可以相互转化或传递，但其总量往往可以保持不变。

（1） 质量为m1的正点电荷A和质量为m2的负点电荷B，仅在彼此间电场力的作用下由静止开始运动，已知两者相遇前某时刻A的速度大小为v1。

a. 求此时B的速度大小v2； 

b. 求此过程中A、B系统电势能的减少量ΔEp。

（2） 在地球表面附近，质量为m的物体自高为h处自由下落，根据重力势能的减少量等于动能的增加量有mgh=12mv23，可得出物体落地时的速度大小v3=2gh。然而，表达式中的mgh是下落过程中地球和物体所组成系统的重力势能减少量，这样处理即认为系统减少的势能单独转化为物体的动能。请通过计算说明这样处理的合理性。

4. （2019西城一模）
守恒定律是自然界中某种物理量的值恒定不变的规律，它为我们解决许多实际问题提供了依据。在物理学中这样的守恒定律有很多，例如： 电荷守恒定律、质量守恒定律、能量守恒定律等。

（1） 根据电荷守恒定律可知： 一段导体中通有恒定电流时，在相等时间内通过导体不同
截面的电荷量都是相同的。

a. 已知带电粒子电荷量均为q，粒子定向移动所形成的电流强度为I。求在时间t内通过某一截面的粒子数N； 

b. 直线加速器是一种通过高压电场使带电粒子加速的装置。带电粒子从粒子源处持续发出，假定带电粒子的初速度为零，加速过程中做匀加速直线运动。如图1所示，在距粒子源l1、l2两处分别取一小段长度相等的粒子流Δl。已知l1∶l2=1∶4，这两小段粒子流中所含的粒子数分别为n1和n2，求∶n1∶n2。

（2） 在实际生活中经常看到这种现象： 适当调整开关，可以看到从水龙头中流出的水柱越来越细，如图2所示，垂直于水柱的横截面可视为圆。在水柱上取两个横截面A、B，经过A、B的水流速度大小分别为v1、v2； A、B直径分别为d1、d2，且d1∶d2=2∶1。求： 水流的速度大小之比v1∶v2 。

（3） 如图3所示，一盛有水的大容器，其侧面有一个水平的短细管，水能够从细管中喷出； 容器中水面的面积S1远远大于细管内的横截面积S2； 重力加速度为g。假设水不可压缩，而且没有黏滞性。

a. 推理说明： 容器中液面下降的速度比细管中的水流速度小很多，可以忽略不计； 

b. 在上述基础上，求： 当液面距离细管的高度为h时，细管中的水流速度v。




图1




图2




图3




5. （2020海淀一模）
在物理学中，研究微观物理问题可以借鉴宏观的物理模型，可使问题变得更加形象生动。弹簧的弹力和弹性势能变化与分子间的作用力以及分子势能变化情况有相似之处，因此在学习分子力和分子势能的过程中，我们可以将两者类比，以便于理解。



图1

（1） 质量相等的两个小球用劲度系数为k，原长为l0的轻弹簧相连，并置于光滑水平面上。现给其中一个小球沿着弹簧轴线方向的初速度，整个系统将运动起来，已知在此后的运动过程中弹簧的弹性势能大小Ep与弹簧的长度l的关系如图1所示。

① 请说明曲线斜率的含义； 

② 已知弹簧最小长度为l1，求弹簧的最大长度l2为多大？

（2） 研究分子势能是研究物体内能的重要内容。已知某物体中两个分子之间的势能Ep与两者之间距离r的关系曲线如图2所示。



图2


① 由图2可知，两分子间距离为r0时，分子势能最小，请说出r=r0时两分子间相互作用力的大小，并定性说明曲线斜率绝对值的大小及正负的物理意义； 

② 假设两个质量相同的分子只在分子力作用下绕两者连线的中点做匀速圆周运动，当两者相距为r1时，分子的加速度最大，此时两者之间的分子势能为Ep1，系统的动能与分子势能之和为E。请在如图2所示的Epr曲线图像中的r轴上标出r1坐标的大致位置，并求出此时两分子之间的分子作用力大小。







6. （2018朝阳一模）
在玻尔的原子结构理论中，氢原子由高能态向低能态跃迁时能发出一系列不同频率的光，波长可以用巴耳末里德伯公式1λ=R1k2－1n2来计算，式中λ为波长，R为里德伯常量，n、k分别表示氢原子跃迁前和跃迁后所处状态的量子数，对于每一个k，有n=k+1、k+2、k+3、…。其中，赖曼系谱线是电子由n>1的轨道跃迁到k=1的轨道时向外辐射光子形成的，巴耳末系谱线是电子由n>2的轨道跃迁到k=2的轨道时向外辐射光子形成的。





（1） 如图所示的装置中，K为一金属板，A为金属电极，都密封在真空的玻璃管中，S为石英片封盖的窗口，单色光可通过石英片射到金属板K上。实验中： 当滑动变阻器的滑片位于最左端，用某种频率的单色光照射K时，电流计G指针发生偏转； 向右滑动滑片，当A比K的电势低到某一值Uc（遏止电压）时，电流计G指针恰好指向零。

现用氢原子发出的光照射某种金属进行光电效应实验。若用赖曼系中波长最长的光照射时，截止电压的大小为U1； 若用巴耳末系中n=4的光照射金属时，截止电压的大小为U2。

金属表面层内存在一种力，阻碍电子的逃逸。电子要从金属中挣脱出来，必须克服这种阻碍做功。使电子脱离某种金属所做功的最小值，叫做这种金属的逸出功。

已知电子电荷量的大小为e，真空中的光速为c，里德伯常量为R。试求： 

a. 赖曼系中波长最长的光对应的频率ν1； 

b. 普朗克常量h和该金属的逸出功W0。

（2） 光子除了有能量，还有动量，动量的表达式为p=hλ（h为普朗克常量）。

a. 请你推导光子动量的表达式p=hλ； 

b. 处于n=2激发态的某氢原子以速度v0运动，当它向k=1的基态跃迁时，沿与v0相反的方向辐射一个光子。辐射光子前后，可认为氢原子的质量为M不变。求辐射光子后氢原子的速度v（用h、R、M和v0表示）。


7. （2017朝阳一模）
动量守恒定律是一个独立的实验定律，它适用于目前为止物理学研究的一切领域。运用动量守恒定律解决二维问题时，可以在相互垂直的x、y两个方向上分别研究。

（1） 如图1所示，质量分别为m1、m2的球1和球2构成一系统，不考虑系统的外力作用。球1以速度v1（方向沿x轴正向）与静止的球2碰撞，若速度v1不在两球球心的连线上，碰撞之后两球的速度v′1、v′2都会偏离v1的方向，偏角分别为θ、φ，且v1、m1、m2、θ、φ均已知。

a. 请写出计算v′1、v′2的大小时主要依据的关系式； 

b. 请分析说明球1对球2的平均作用力F的方向。




图1




图2




（2） 如图2所示，美国物理学家康普顿及其团队将X射线入射到石墨上，发现被石墨散射的X射线中除了有与入射波长相同的成分外，还有与入射波长不同的成分。我国物理学家吴有训在此项研究中也做出了突出贡献，因此物理学界也把这一效应称为“康普顿吴效应”。由于这一现象很难用经典电磁理论解释，所以康普顿提出光子不仅有能量，也具有动量，光子的动量p与其对应的波长λ之间的关系为p=hλ（h为普朗克常量）。进一步研究表明X射线的散射实质是单个光子与单个电子发生碰撞的结果。由于电子的速度远小于光的速度，可认为电子在碰撞前是静止的。现探测到散射X射线的波长不同于入射X射线的波长，请你构建一个合理的相互作用模型，解决以下问题： 

a. 请定性分析散射后X射线的波长λ′与入射X射线的波长λ的大小关系； 

b. 若已知入射X射线的波长为λ，散射后X射线的波长为λ′。设散射X射线相对入射方向的偏转角为θ。求θ=π2时电子获得的动量。

二、 行星模型与双星模型

8. （2020朝阳二模）
我国将于2020年首次探测火星。火星与地球的环境非常相近，很有可能成为人类的第二个家园。

已知火星的质量为m，火星的半径为R，太阳质量为M，且Mm，万有引力常量为G。太阳、火星均可视为质量分布均匀的球体。不考虑火星自转。

（1） 设想在火星表面以初速度v0竖直上抛一小球，求小球从抛出至落回抛出点所经历的时间t。 

（2） 为简化问题，研究太阳与火星系统时可忽略其他星体的作用，只考虑两者之间的引力
作用。

a. 通常我们认为太阳静止不动，火星绕太阳做匀速圆周运动。已知火星绕太阳运动的轨道半径为r，请据此模型求火星的运行周期T1；

b. 事实上太阳因火星的吸引不可能静止，但二者并没有因为引力相互靠近，而是保持间距r不变。请由此构建一个太阳与火星系统的运动模型，据此模型求火星的运行周期T2与T1的比值T2T1； 并说明通常认为太阳静止不动的合理性。


9. （2017海淀一模）

（1） 科学家发现，除了类似太阳系的恒星-行星系统，还存在许多双星系统，通过对它们的研究，使我们对宇宙有了较深刻的认识。双星系统是由两个星体构成，其中每个星体的线度（直径）都远小于两星体间的距离，一般双星系统距离其他星体很远，可以当做孤立系统处理。已知某双星系统中每个星体的质量都是M0，两者相距L，它们正围绕两者连线的中点做匀速圆周运动，引力常量为G。 求： 

① 该双星系统中星体的加速度大小a； 

② 该双星系统的运动周期T。

（2） 微观世界与宏观世界往往存在奇妙的相似性。对于氢原子模型，因为原子核的质量远大于电子质量，可以忽略原子核的运动，形成类似天文学中的恒星行星系统，记为模型Ⅰ。另一种模型认为氢原子的核外电子并非绕核旋转，而是类似天文学中的双星系统，核外电子和原子核依靠库仑力作用使它们同时绕彼此连线上某一点做匀速圆周运动，记为模型Ⅱ。已知核外电子的质量为m，氢原子核的质量为M，二者相距为r，静电力常量为k，电子和氢原子核的电荷量大小均为e。

① 模型Ⅰ、Ⅱ中系统的总动能分别用EkⅠ、 EkⅡ表示，请推理分析，比较EkⅠ、 EkⅡ的大小关系； 

② 模型Ⅰ、Ⅱ中核外电子做匀速圆周运动的周期分别用TⅠ、TⅡ表示，通常情况下氢原子的研究采用模型Ⅰ的方案，请从周期的角度分析这样简化处理的合理性。


三、 碰撞模型

10. （2015西城一模）
我们一般认为，飞船在远离星球的宇宙深处航行时，其他星体对飞船的万有引力作用很微弱，可忽略不计。此时飞船将不受外力作用而做匀速直线运动。



图1


设想有一质量为M的宇宙飞船，正以速度v0在宇宙中飞行。飞船可视为横截面积为S的圆柱体，如图1所示。某时刻飞船监测到前面有一片尘埃云。

（1） 已知在开始进入尘埃云的一段很短的时间Δt内，飞船的速度减小了Δv，求这段时间内飞船受到的阻力大小。


（2） 已知尘埃云分布均匀，密度为ρ。

a. 假设尘埃碰到飞船时，立即吸附在飞船表面。若不采取任何措施，飞船将不断减速。通过监测得到飞船速度的倒数“1/v”与飞行距离“x”的关系如图2所示。求飞船的速度由v0减小1%的过程中发生的位移及所用的时间； 



图2



b. 假设尘埃与飞船发生的是弹性碰撞，且不考虑尘埃间的相互作用。为了保证飞船能以速度v0匀速穿过尘埃云，在刚进入尘埃云时，飞船立即开启内置的离子加速器。已知该离子加速器是利用电场加速带电粒子，形成向外发射的高速（远远大于飞船速度）粒子流，从而对飞行器产生推力的。若发射的是一价阳离子，每个阳离子的质量为m，加速电压为U，元电荷为e。在加速过程中飞行器质量的变化可忽略。求单位时间内射出的阳离子数。