第3章微课 第3章电路的分析方法 本章介绍网孔电流法、节点电位法、叠加定理、置换定理、诺顿定理及最大功率传输定理，重点介绍支路电流法和戴维南定理。 (1) 深刻理解支路电流法、网孔电流法、叠加定理、戴维南定理和诺顿定理，熟练运用它们求解电路中的参数。 (2) 理解节点电位法、置换定理和最大功率传输定理，会运用它们求解电路中的参数。 3.1支路电流法 在由多个电压源、电流源及电阻组成的结构复杂的电路中，用电阻串联、并联和混联的等效变换化简或者电源的等效变换，不一定就可以计算复杂电路，但可以运用电路的基本定律引申出多种其他的分析方法来分析计算。 1. 支路电流法的定义 计算复杂电路的各种方法中，支路电流法是最基本的方法。在分析时，它是以支路电流作为求解对象，应用基尔霍夫定律分别对节点和回路列写所需要的方程组，然后解方程组求得各支路电流，最后运用欧姆定律得到各条支路上的电压。 设电路有b条支路，那么将有b个未知电流可选为变量。因而必须列出b个独立方程，然后解出未知的支路电流。 在图3.1所示电路中，支路数b=3，节点数n=2，以支路电流I1、I2、I3为变量，共要列出3个独立方程。 图3.1支路电流法 2. 支路电流法的节点电流方程 指定各支路电流的参考方向，如图3.1所示。 根据KCL，可列出两个节点电流方程如下。 节点a： -I1-I2+I3=0(3.1) 节点b： I1+I2-I3=0(3.2) 观察以上两个方程，可以看出只有一个是独立的。一般，具有n个节点的电路，只能列出n-1个独立的方程。这是因为，每条支路总是接在两个节点之间，当一个支路电流在一个节点方程中取正时，在另一个节点方程中一定取负，把 n-1个节点方程相加，所有出现两次的支路电流必然都被消去，而只留下了剩余的那个节点相连的各支路电流项，即得到了该节点的电流方程。 对应于独立方程的节点称为独立节点，具有n个节点的电路只有n-1个独立节点，剩余的那个节点称为非独立节点。非独立节点是任意选定的。 3. 支路电流法的回路电压方程 选择回路。应用KVL列出其余b-(n-1)个方程，每次列出的KVL方程必须是独立的，与这些方程对应的回路称为独立回路。一般，在选择回路时，只要这个回路中，具有至少一条在其他已选的回路中未曾出现过的新支路，这个回路就一定是独立的。在平面电路中，一个网孔就是一个回路，网孔数就是独立回路数。因此，一般可以选取所有的网孔列出一组独立的KVL方程。这种以网孔为独立回路列写回路方程的方法，又称为网孔法。注意： 网孔是独立回路，但回路不一定是网孔。 图3.1所示电路中有两个网孔。对左侧的网孔，按顺时针方向绕行，列写KVL方程： R1I1-R2I2-US1+US2=0(3.3) 同理，对右侧的网孔，按顺时针方向绕行，列写KVL方程： R2I2+R3I3-US2=0(3.4) 可以证明，对于m个网孔的平面电路，必含有m个独立的回路，且m=b-(n-1)网孔是最容易选择的独立回路。 总之，对于具有b条支路、n个节点、m个网孔的电路，应用KCL可以列出n-1个独立节点的电流方程，应用KVL可以列出m个网孔电压方程，而独立方程总数为(n-1)+m，恰好等于支路数b，所以方程组有唯一解。如图3.1所示，若R1=5Ω，R2=5Ω，R3=15Ω，US1=25V，US2=10V，则可以列出下列方程组： -I1-I2+I3=0 5I1+10-5I2-25=0 5I2+15I3-10=0 解方程可以求得I1、I2、I3。 4. 支路电流法的一般步骤 支路电流法的一般步骤如下。 (1) 选定支路电流的参考方向，在电路图中标明，b条支路共有b个未知变量。 (2) 根据KCL列出节点方程，n个节点可列n-1个独立方程。 (3) 选定网孔绕行方向，在电路图中标明，根据KVL列出网孔方程，网孔数就等于独立回路数，可列m个独立电压方程。 (4) 联立求解上述b个独立方程，求得各支路电流。 另外，在用支路电流法分析含有理想电流源的电路时，对含有电流源的回路，应将电流源的端电压列入回路电流方程。此时，电路增加一个变量，应该补充一个相应的辅助方程，该方程可由电流源所在支路的电流为已知来引出。 此外，由于理想电流源所在支路的电流为已知，在选择回路时也可以避开理想电流源支路。 【例3.1】求出图3.2所示电路的各支路电流。 解： 各支路电流的参考方向已标在图3.2中，以节点b为参考节点，节点a的KCL方程为 I1+I2+I3=0 以l1、l2两个网孔为选定的独立回路，其KVL方程为 -2I1+8I3=-14 3I2-8I3=2 以上三式联立求解，可得 I1=3（A），I2=-2（A），I3=-1（A） 【例3.2】求出图3.3所示电路的各支路电流。 图3.2例3.1电路图 图3.3例3.2电路图 解： 根据支路电流法列出方程 I1+I2-I3=0 I1+20I3=110 2I2+20I3=90 由上式解出 I1=10（A），I2=-5（A），I3=5（A） 支路电流法列的方程较直观，是一种常用的求解电路的方法。但由于需列出等于支路数b的KCL和KVL方程，对复杂电路而言存在方程数目多的缺点，因此，设法减少方程数目就成为其他网络方程法的出发点。 思考与练习 图3.4思考与练习3.1.3电路图 3.1.1支路电流法的解题步骤是什么？ 3.1.2图3.1电路中，已知US1=25V，R1=R2=5Ω，US2=10V，I3=15Ω，求各支路电流。 3.1.3如图3.4所示电路中，用支路电流法求支路电流及电压值。 3.2网孔电流法 用支路电流法求解各支路电流，建立方程组比较容易，如果待求支路数目较多，并且未用计算机辅助计算，解方程组就比较烦琐。如果能够找到一组既可以表示出各支路电流的关系，又少于待求支路电流数的替代变量，则通过求出替代变量，再求出各支路电流，就可以降低数学运算的难度。 3.2.1网孔电流法及其分析步骤 1. 网孔电流法的定义 网孔电流法是以假想的网孔电流为未知量，应用KCL列出网孔方程，联立方程求得各网孔电流，再根据网孔电流与支路电流的关系式，求得各支路电流。 2. 两个网孔的网孔电流方程的规律 为了求得各支路电流，先选择一组独立回路，这里选择的是两个网孔。假想每个网孔中，都有一个网孔电流沿着网孔的边界流动， 图3.5网孔电流法 如I11、I12，需要指出的是，I11、I12是假想的电流，电路中实际存在的电流还是支路电流I1、I2、I3。从图3.5中可以看出两个网孔电流与三个支路电流之间存在以下关系式： I1=I11 I2=I11-I12 I3=-I12 (3.5) 在图3.5所示电路中，选取网孔绕行方向与网孔电流参考方向一致，根据KVL可列网孔方程： I1R1-US1+I2R2=0 -I2R2+US3-I3R3=0 (3.6) 将式(3.5)代入式(3.6)，整理得 (R1+R2)I11-R2I12=US1 -R2I11+(R2+R3)I12=-US3 (3.7) 式(3.7)可以概括为如下形式： R11I11+R12I12=US11 R21I11+R22I12=US22 (3.8) 式(3.8)是具有两个网孔电路的网孔电流方程的一般形式，其有如下规律。 (1) R11、R22分别称为网孔1、网孔2的自电阻之和，其值等于各网孔中所有支路的电阻之和，它们总取正值，R11=R1+R2，R22=R2+R3。 (2) R12、R21称为网孔1、2之间的互电阻，R12=-R2，R21=-R2，可以看出，R12=R21，其绝对值等于这两个网孔的公共支路的电阻。当两个网孔电流流过公共支路的参考方向相同时，互电阻取正号； 否则取负号。 (3) US11、US22分别称为网孔1、网孔2中所有电压源的代数和，US11=US1、US22=-US3。当电压源电压的参考方向与网孔电流方向一致时取负号，否则取正号。 3. m个网孔的网孔电流方程的步骤 式(3.8)可推广到具有m个网孔电路的网孔电流方程的一般形式： R11I11+R12I12+…+R1mI1m=US11 R21I11+R22I12+…+R2mI1m=US22  Rm1I11+Rm2I12+…+RmmI1m=USmm (3.9) 根据以上分析，可归纳网孔电流法的一般步骤如下。 (1) 选定网孔电流的参考方向，标明在电路图上，并以此方向作为网孔的绕行方向。m个网孔就有m个网孔电流。 (2) 按上述规则列出网孔电流方程。 (3) 联立并求解方程组，求得网孔电流。 (4) 根据网孔电流与支路电流的关系式，求得各支路电流或其他需求的电量。 【例3.3】用网孔法求解图3.6所示电路中的各支路电流。 图3.6例3.3电路图 解： 网孔方程为 (2+1+2)Im1-2Im2-1Im3=3-9 -2Im1+(2+6+3)Im2-6Im3=9-6 -1Im1-6Im2+(3+6+1)Im3=12.5-3 整理得 5Im1-2Im2-1Im3=-6 -2Im1+11Im2-6Im3=3 -Im1-6Im2+10Im3=9.5 联立求解得 Im1=-0.5（A） Im2=1（A） Im3=1.5（A） 各支路电流为 I1=Im1=-0.5（A） I2=Im2=1（A） I3=Im3=1.5（A） I4=-Im1+Im3=2（A） I5=Im1-Im2=-1.5（A） I6=-Im2+Im3=0.5（A） 3.2.2含理想电流源电路的网孔分析 理想电流源不能变换为电压源，而网孔方程的每一项均为电压，以下就以例3.4来说明含理想电流源电路的网孔分析。 【例3.4】用网孔法求解图3.7所示电路中的各支路电流。 图3.7例3.4电路图 解： 网孔序号及网孔电流参考方向如图3.7所示，题中有两个理想电流源，其中6A的理想电流源只流过一个网孔电流，则可知Im1=6A。这样就不必再列网孔1的KVL方程，为了列网孔2和网孔3的KVL方程，设2A电流源的电压为Ux，如图3.7所示，所得方程为 Im1=6A -1Im1+3Im2=Ux -2Im1+5Im3=-Ux 多了未知量Ux，必须再增加一个方程，由2A理想电流源支路得到补充方程： Im2-Im3=2 以上四式联立解得 Im2=3.5（A），Im3=1.5（A） 各支路电流均用网孔电流求得，即 I1=6（A） I2=3.5（A） I3=1.5（A） I4=Im1-Im2=2.5（A） I5=Im1-Im3=4.5（A） I6=Im2-Im3=2（A） 由本例可看出，当理想电流源所在支路只流过一个网孔电流时，该网孔电流被理想电流源限定。当理想电流源所在支路流过两个网孔电流时，可用增设理想电流源电压为未知数的方法解决。 3.2.3含受控源电路的网孔分析 在列写出含受控源电路的网孔方程时，可先将受控源作为独立电源处理，然后将受控源的控制量用网孔电流表示，再将受控源的作用反映在方程右端的项移到方程左边，得到含受控源电路的网孔方程。 【例3.5】用网孔法求解图3.8所示电路中的各支路电流，已知μ=1，α=1。 图3.8例3.5电路图 解： 标出网孔电流及序号如图3.8所示。 网孔1、网孔2的KVL方程分别为 6Im1-2Im2-2Im3=16 -2Im1+6Im2-2Im3=-μU1 对网孔3满足： Im3=αI3 补充两个受控源的控制量与网孔电流关系方程： U1=2Im1 I3=Im1-Im2 将μ=1，α=1代入，联立求解得 Im1=4（A）Im2=1（A）Im3=3（A） 思考与练习 3.2.1网孔电流方程中的自电阻、互电阻、网孔电压源的代数和的含义各指什么？它们的正、负号如何确定？ 3.2.2用网孔电流法求各支路的电流的一般步骤是什么？ 3.3节点电位法 3.3.1节点电位法概述 1. 节点电位法的定义 以节点电位为求解对象的电路分析方法称为节点电位法。在任意复杂电路中总会有n个节点，取其中一个节点作为参考点，其他各节点与参考节点之间的电压就称为该节点电位。所以，在有n个节点的电路中，一定有n-1个节点电位。 节点电位法是以节点电位为未知量，将各支路电流用节点电位表示，应用KCL列出独立节点的电流方程，联立求解方程求得各节点电位，再根据节点电位与各支路电流关系式，求得各支路电流。 2. 两个独立节点的节点电位方程的规律 图3.9所示电路有三个节点，选择0点为参考节点，则其余两个为独立节点，设独立节点的电位为Va、Vb。各支路电流在图示参考方向下与节点电位存在以下关系式： 图3.9节点电位法图例 I1=VaR1=G1Va I2=Va-Vb-US2R2=G2(Va-Vb-US2) I3=Va-VbR3=G3(Va-Vb) I4=VbR4=G4Vb I5=Vb-US5R5=G5(Vb-US5) (3.10) 对节点a、节点b分别列写KCL方程： -IS1+I1+I2+I3=0 -I2-I3+I4+I5=0 将式(3.10)代入以上两式，可得 -IS1+G1Va+G2(Va-Vb-US2)+G3(Va-Vb)=0 -G2(Va-Vb-US2)-G3(Va-Vb)+G4Vb+G5(Vb-US5)=0 整理得： (G1+G2+G3)Va-(G2+G3)Vb=IS1+G2US2 -(G2+G3)Va+(G2+G3+G4+G5)Vb=-G2US2+G5US5 (3.11) 式(3.11)可以概括为如下形式： GaaVa+GabVb=ISaa GbaVa+GbbVb=ISbb (3.12) 式(3.12)是具有两个独立节点的节点电位方程的一般形式，其有如下规律。 (1) Gaa、Gbb分别称为节点a、b的自导，Gaa=G1+G2+G3，Gbb=G2+G3+G4+G5，其数值等于各独立节点所连接的各支路的电导之和，它们总取正值。 (2) Gab、Gba称为节点a、b的互导，Gab=Gba=-(G2+G3)，其数值等于两点间的各电导之和，它们总取负值。 (3) ISaa、ISbb分别称为流入节点a、b的等效电流源的代数和，若是电压源与电阻串联的支路，则看成 已变换了的电流源与电阻相并联的支路。当电流源的电流方向指向相应节点时取正号； 反之，则取负号。 3. n个独立节点的节点电位方程的步骤 式(3.12)可推广到具有n个节点的电路，应该有n-1个独立节点，可写出节点电位方程的一般形式为 G11V1+G12V2+…+G1(n-1)Vn-1=IS11 G21V1+G22V2+…+G2(n-1)Vn-1=IS22  G(n-1)1V1+G(n-2)2V2+…+G(n-1)(n-1)Vn-1=IS(n-1)(n-1) (3.13) 根据以上分析，可归纳节点电位法的一般步骤如下。 (1) 选定参考节点0，用“⊥”符号表示，并以独立节点的节点电位作为电路变量。 (2) 按上述规则列出方程。 (3) 联立并求解方程组，求得各节点电位。 (4) 根据节点电位与支路电流的关系式，求得各支路电流或其他需求的电量。 【例3.6】用节点法求解图3.10所示电路中各支路电流。 图3.10例3.6电路图 解： 各支路电流参考方向如图3.10所示，以节点c为参考点。 对节点a有14+16+16Va-16Vb=524-3=10 对节点b有16+16Vb-16Va=7+3=10 联立求解得 Va=30（V）Vb=45（V） I1=14×(52-30)=5.5（A） I2=306=5（A） I3=456=7.5（A） I4=16×(30-45)=2.5（A） 3.3.2节点电位法对只含电压源支路与含受控源支路的处理 如果在电路中有只含电压源支路时，该支路电压为已知，由于该支路电流无法用支路电压表示，即节点电流方程无法列出，因此 图3.11含独立电压源支路和 受控源支路的电路 增加该支路电流为未知量，同时补充该支路电压与节点电位之间的关系。如图3.11所示，电路以c为参考点，节点电位为Va、Vb、Vd，增加I为未知量，需补充方程： Vd-Vb=US 也可选择与该独立源相连的一个节点，例如d为参考点，这样Vb=-US，可减少一个与b节点相关的节点方程，这种方法对于只含一条独立电压源支路的电路显得尤为方便。 如果电路中含有受控源，在将受控源作为独立源对待的同时，要将控制量用节点电压表示。图3.12中受控电流源电流为 U=Va-Vb 【例3.7】在图3.12电路中，IS=12A，US=5V，R1=R3=1Ω，R2=R4=0.5Ω，求受控源功率。 图3.12含独立电压源支路和受 控源支路的电路 解： 设d为参考点，则Vb=-US=-5（V），受控源电流3U=3(Va-Vb)=3(Va+5)。 对节点a有 1R1+1R2+1R4Va-1R2Vb-1R4Vc=IS 对节点c有 1R3+1R4Vc-1R3Vb-1R4Va =-3U=-3(Va-Vb) 代入数据得 (1+2+2)Va-2×(-5)-2Vc=12 (1+2)Vc-1×(-5)-2Va=-3(Va+5) 整理得 5Va-2Vc=2 3Vc+Va=-20 解得 Va=-2（V），Vc=-6（V），U=Va-Vb=-2+5=3（V） 受控源功率为 P=(-6)×3×3=-54（W） 受控源的功率为发出功率。 3.3.3弥尔曼定理 弥尔曼定理是用来计算只含两个节点的节点电位法。若电路只有一个独立节点，如图3.13所示，对这个独立节点，其节点电位方程写成一般式为 Va=∑ni=1(USiGi+ISi)∑ni=1Gi(3.14) 式中： 分子为流入节点a的等效电流源之和； 分母为节点a所连接各支路的电导之和。 图3.13例3.8电路图 【例3.8】用节点法求解图3.13电路中各支路电流。 解： 根据节点电位法，以0点为参考点，只有一个独立节点a，有 Va=10020-4020+5120+120+110=40（V） 根据各支路电流的参考方向，如图3.13所示，有 I1=100-Va20=100-4020=3(A) I2=Va+4020=40+4020=4(A) I3=Va10=4010=4(A) 对节点a进行电流验证： ∑I=-I1+I2-5+I3=-3+4-5+4=0(A) 符合KCL，结果正确。 思考与练习 3.3.1节点电位方程中，方程两边的各项分别表示什么意义？其正、负号如何确定？ 3.3.2用节点电位法求解图3.14电路的节点电压。 图3.14思考与练习3.3.2电路图 3.4叠加定理和齐次定理 3.4.1叠加定理 1. 叠加定理的定义 叠加定理是反映线性电路基本性质的一个重要定理。其基本内容是： 在线性电路中，如果有两个或两个以上的独立电源(电压源或电流源)共同作用时，则任意支路的电流或电压应等于电路中各个独立电源单独作用时，在该支路上产生的电压或电流的代数和。 所谓各独立电源单独作用，是指电路中仅一个独立电源作用而其他电源都取零值(电压源短路、电流源开路)。下面通过图3.15(a)中R2支路上的电流I为例对叠加定理加以说明。 图3.15(a)是含有两个独立电源的线性电路，根据弥尔曼定理，这个电路两个节点间的电压为