1 专题1数列极限与函数极限 一、主 要 考 点〖*2〗1. 基本概念① 极限的定义: 设{an}为数列，a为定数，若对任意正数ε，总存在正整数N，使得当n>N时，有|an-a|<ε则称a为数列{an}的极限，记作limn→∞an=a. 函数的极限可类似得到. ② 无穷小量的定义: 设函数f在某空心邻域U°(x0)上有定义，若limx→x0f(x)=0，则称f为当x→x0时的无穷小量. ③ 设limx→x0α(x)=0，limx→x0β(x)=0，且limx→x0α(x)β(x)=l(l为常数). 若l=0，则称α(x)为β(x)当x→x0时的高阶无穷小量，记作α(x)=o(β(x))，同时也称β(x)是α(x)的低阶无穷小量； 若l≠0，则称α(x)与β(x)当x→x0时是同阶无穷小量，记作α(x)=O(β(x))； 特别的，当l=1时，则称α(x)与β(x)当x→x0时是等价无穷小量，记作α(x)～β(x). 注意: 一般情况下不需要用极限的定义去证明极限，只要会求极限即可. 但要记住两个知识点: 单调有界数列必有极限；有界数列必有收敛子列. 2. 求极限的方法 方法1利用极限的四则运算法则直接求极限(也可以是观察法). 方法2应用洛必达法则针对的是00和∞∞型. 方法3有界函数乘无穷小量，必为无穷小量. 方法4利用等价无穷小量替换来求极限. 当x→0时，x～sinx～tanx～arcsinx～arctanx～ex-1～ln(1+x)，1-cosx～12x2，(1+x)α-1～αx.〖1〗〖2〗〖1〗〖2〗方法5应用两个重要的极限: limx→0sinxx=1，limx→0(1+x)1x=e，limx→∞1+1xx=e. 方法6利用夹逼定理: 若数列{an}、{bn}、{cn}满足bn≤an≤cn，且limn→∞bn=limn→∞cn=a，则limn→∞an=a. 应用此定理时，如果要求出limn→∞an，则必须对an进行放缩构造出bn和cn. 方法7分子或分母有理化(一般是有根号的情况). 方法8对于分段函数，可用左、右极限判断极限的存在性(极限存在的充要条件是左、右极限存在且相等). 方法9针对0·∞、∞∞、1∞、∞0、00型等未定式，一般转化为00或∞∞型. 方法10分子或分母中有积分上限的函数,一般用洛必达法则计算. 3. 极限的其他题型 (1) 求水平渐近线、垂直渐近线和斜渐近线.在历年的考试中，求水平渐近线和垂直渐近线的题型多一些，求斜渐近线的题型较少. 对函数y=f(x)，若存在limx→-∞f(x)=a或limx→+∞f(x)=a，则称直线y=a为函数y=f(x)的水平渐近线，如图1.1所示；若存在limx→x-0f(x)=∞或limx→x+0f(x)=∞，则称直线x=x0为函数y=f(x)的垂直渐近线，如图1.2所示. 图1.1 图1.2 在通常情况下，很多学生在求这些渐近线时都是死记公式，这很容易把水平渐近线和垂直渐近线的公式记错. 其实这里有个小捷径，如果x→∞时f(x)有极限，则f(x)有水平渐近线；而在求垂直渐近线时，只要看x趋向某个固定值时，是否有f(x)→∞. (2) 已知极限求系数. 二、 应 用 举 例〖*2〗1. 求极限应用举例方法1的举例利用极限的四则运算直接求极限(也可以是观察法).此种类型一般都是直接计算或直接观察得到. 例1.1limx→1x3-12x=12.例1.2limn→∞n2=1. 例1.3limn→∞nn=1.例1.4limn→∞2nn!=0. 例1.5limn→∞ann!=0(a>0). 例1.6limn→∞nkan=0(a>1). 例1.7limn→∞loganan=0(a>1).例1.8limx→∞3x2-2x-12x3-x2+5=0. 例1.9limx→+∞x5ex=0. 方法2的举例应用洛必达法则针对的是00和∞∞型.在极限的计算中，洛必达法则的应用很广泛，在后面几种类型的举例中，很多也都用到了洛必达法则，所以这里只举两个例子. 例1.10limx→0ex-x-1sin2x=limx→0ex-12sinxcosx=limx→0ex-1sin2x=limx→0ex2cos2x=12. 例1.11limx→asin3x-sin3ax-a=limx→a3sin2xcosx1=3sin2acosa. 注意: 求极限中，只有00或∞∞型才能用洛必达法则. 例如，limx→-∞xe-x=limx→-∞xex=limx→-∞1ex=+∞是错误的，因为limx→-∞xex不是00或∞∞型. 事实上，观察计算可得limx→-∞xe-x=-∞. 方法3的举例利用定理: 有界函数乘无穷小量，必为无穷小量. 做此种类型题时，要注意哪个是无穷小量，哪个是有界函数. 例1.12limx→0xsin1x=0. 例1.13limx→03xcos1x=0. 例1.14limx→∞sinxx=0. 例1.15limx→∞x2cosxx3+x-1=0当x→∞时，x2x3+x-1为无穷小量，cosx为有界函数. 例1.16limx→π2(sinx-1)arcsin 13x=0当x→π2时，sinx-1为无穷小量，arcsin 13x为有界函数. 方法4的举例利用等价无穷小量替换来求极限，这种方法简便了计算. 注意: 什么是等价无穷小量？当x→0时，x～sinx～tanx～arcsinx～arctanx～ex-1～ln(1+x)，1-cosx～12x2. 例1.17limx→01-cosx32x2=limx→012x232x2=13,limx→0tan2xsin5x=limx→02x5x=25. 例1.18limx→01-sinxx1-cosx=limx→0x-sinxx(1-cosx)=limx→0x-sinx12x3=limx→01-cosx32x2=limx→012x232x2=13. 例1.19limx→0tanx-sinxsin3x=limx→01cosx-1sin2x=limx→01-cosxcosxsin2x=limx→012x2x2cosx=12. 例1.20limx→01ln(1+x)-1x=limx→0x-ln(1+x)xln(1+x)=limx→0x-ln(1+x)x2 =limx→01-11+x2x=limx→0x1+x2x=12. 注意: 在利用等价无穷小量替换求极限时，只有对所求极限式中相乘或相除的因式才可以替换，而相加或相减的则不能替换，如limx→0tanx-sinxsin3x=limx→0x-xsin3x=0是错误的. 方法5的举例应用两个重要的极限。 例1.21limx→0tanxx=limx→0sinxx·1cosx=1，limx→0(1+2x)1x=limx→0［(1+2x)12x］2=e2. 例1.22limx→∞1-13x5x-4=limx→∞1-13x-3x5x-4-3x=e-53. 例1.23limx→0(1+2x)1x=limx→0［(1+2x)12x］2=e2. 例1.24limx→∞x-2x3x-2=limx→∞1-2x-x2-2x·(3x-2)=e-6. 例1.25limx→∞x-1x+1x2+4=limx→∞1-2x+1-x+12-2x+1·x2+4=e-1. 方法6的举例利用夹逼定理. 应用此定理时，要求出limn→∞an必须对an进行放缩来构造出bn和cn，使得bn≤an≤cn，且limn→∞bn=limn→∞cn. 例1.26limn→∞1n2+1+1n2+2+…+1n2+n. 因为 nn2+n=1n2+n+1n2+n+…+1n2+n ≤1n2+1+1n2+2+…+1n2+n ≤1n2+1+1n2+1+…+1n2+1=nn2+1 又因为 limn→∞nn2+n=1=limn→∞nn2+1,所以limn→∞1n2+1+1n2+2+…+1n2+n=1例1.27limn→∞1n+1+1n+2+…+1n+n. 因为nn+n=1n+n+1n+n+…+1n+n ≤1n+1+1n+2+…+1n+n ≤1n+1+1n+1+…+1n+1=nn+1 又因为limn→∞nn+n=1=limn→∞nn+1,所以limn→∞1n+1+1n+2+…+1n+n=1例1.28limn→∞n6n+7n+8n+9n. 因为n9n≤n6n+7n+8n+9n≤n4·9n,又因为limn→∞n9n=limn→∞n4·9n=9,所以limn→∞n6n+7n+8n+9n=9由此可得结论: limn→∞nan1+an2+…+anm=max{a1,a2,…,am}，其中a1,a2,…,am≥0. 方法7的举例分子或分母有理化(有根号). 例1.29limx→0x2+1-1sin2x2=limx→0x2+1-1x2+1+1(x2+1+1)sin2x2 =limx→0x2(x2+1+1)sin2x2 =limx→0x2(x2+1+1)·2x2 =limx→012(x2+1+1)=14. 例1.30limx→+∞x2+2x-x2-x=limx→+∞3xx2+2x+x2-x =limx→+∞31+2x+1-1x=32. 方法8的举例对于分段函数可利用左、右极限判断极限的存在性(极限存在的充要条件是左、右极限存在且相等). 例1.31设f(x)=a(1+x)1x,x>0 xsin1x-12,x<0，若limx→0f(x)存在，则a=(). A. 32B. -12e-1C. 32e-1D. 12 解因为limx→0f(x)存在，则左极限=右极限，即limx→0-f(x)=limx→0+f(x)，而limx→0-f(x)=limx→0-xsin1x-12=-12，limx→0+f(x)=limx→0+a(1+x)1x=ae，由-12=ae，得a=-12e-1，所以选B. 例1.32在下列函数中，当x→0时，函数f(x)极限存在的是(). A. f(x)=x-2,x<0 0,x=0 x+2,x>0B. f(x)=|x|x,x≠0 4,x=0 C. f(x)=13-x,x<0 0,x=0 x+13,x>0D. f(x)=e1x 解选项A中，limx→0-f(x)=-2≠limx→0+f(x)=2，所以函数f(x)的极限不存在；选项B中，limx→0-f(x)=-1≠limx→0+f(x)=1，所以函数f(x)的极限不存在；选项C中，limx→0-f(x)=13=limx→0+f(x)，所以函数f(x)的极限存在；选项D中，limx→0-f(x)=0≠limx→0+f(x)=+∞，所以函数f(x)的极限不存在. 答案选C. 方法9的举例针对0·∞、∞∞、1∞、∞0、00型等未定式. ① 0·∞型——两个因式中，把其中一个因式以倒数的形式放到分母中. 例1.33limx→0x4e1x4=limx→0e1x41x4=limx→0e1x4·1x4′1x4′=limx→0e1x4=+∞. ② ∞∞型——此种类型一般要通分. 例1.34limx→11x-1-1x3-1=limx→1x2+x+1-1x3-1=limx→1x2+xx3-1=∞. 例1.35limx→π2(secx-tanx)=limx→π21-sinxcosx=limx→π2-cosx-sinx=0. ③ 1∞、∞0、00型——这几种类型基本上要先取对数，即limx→x0f(x)g(x)=limx→x0eg(x)lnf(x). 例1.36limx→+∞3x+23x-12x-1=limx→+∞e(2x-1)ln3x+23x-1，而limx→+∞(2x-1)ln3x+23x-1=limx→+∞(2x-1)×ln1+33x-1=limx→+∞(2x-1)33x-1=2此处用到了当x→+∞时，ln1+33x-1～33x-1.所以limx→+∞3x+23x-12x-1=e2. 例1.37limx→+∞x1x=limx→+∞e1xlnx=elimx→+∞lnxx=elimx→+∞1x=e0=1. 例1.38limx→0(tanx)sinx=limx→0e(sinx)lntanx，而limx→0(sinx)lntanx=limx→0lntanx1sinx=limx→01tanxsec2x-1sin2xcosx=limx→0-sinxcos2x=0，所以limx→0(tanx)sinx=1. 方法10的举例分子或分母中有积分上限的函数. 在一般的高等数学教材中，把Φ(x)=∫xaf(t)dt称为积分上限的函数，而在数学分析教材中，把Φ(x)=∫xaf(t)dt或Φ(x)=∫bxf(t)dt称为变限积分. 在此类极限的计算中，用到了知识点Φ′(x)=∫xaf(t)dt′=f(x)，∫g(x)af(t)dt′=f(g(x))·g′(x). 例1.39limx→0∫sinx0tdt∫tanx0tdt=limx→0sinx·cosxtanx·1cos2x=1. 例1.40limx→0∫0xln(1+t)dtx2=limx→0-∫x0ln(1+t)dtx2=limx→0-ln(1+x)2x=limx→0-x2x=-12 (此处用到了当x→0时，ln(1+x)～x). 例1.41limx→0∫1cosxe-t2dtx2=limx→0-∫cosx1e-t2dtx2=limx→0e-cos2x·sinx2x=limx→0e-cos2x·x2x=12e. 2. 极限的其他题型 (1) 水平渐近线、垂直渐近线和斜渐近线. 例1.42设函数y=1-e-x21+e-x2，求其函数图像的水平渐近线方程. 解因为limx→∞1-e-x21+e-x2=1，所以其函数图像的水平渐近线方程为y=1. 例1.43若直线y=4是曲线y=ax+32x-1的水平渐近线，求a的值. 解由已知得，limx→∞ax+32x-1=4，观察得a=8. 例1.44求曲线f(x)=2xx2+x-6的垂直渐近线. 解由f(x)=2xx2+x-6=2x(x+3)(x-2)观察可知，当x→-3和x→2时，均有f(x)→∞，所以此曲线的垂直渐近线是x=-3和x=2. (2) 已知极限求系数. 例1.45已知limx→3x2+kx-3x-3=4，求k的值. 分析: 这种题型经常会出现，部分学生不知如何做这种题. 注意观察题目，当x→3时，分母是趋向于0的，要使得极限等于4，分子只能也趋向于0，而不能趋向于另外任何一个数，也不能趋向于∞. 解由已知得，limx→3(x2+kx-3)=0，由此解得k=-2. 例1.46已知limx→2x2+ax+bx2-x-2=2，求a和b的值. 分析: 当x→2时，分母x2-x-2是趋向于0的，要使得极限等于2，分子x2+ax+b只能也趋向于0，而不能趋向于另外任何一个数，也不能趋向于∞. 解由已知得，利用洛必达法则，有limx→2x2+ax+bx2-x-2=limx→22x+a2x-1=4+a3=2所以a=2，又因为limx→2(x2+ax+b)=0，所以b=-8. 例1.47若当x→0时，1-ax2-1～2x2，求常数a的值. 解由1-ax2-1～2x2知，limx→01-ax2-12x2=1，所以limx→01-ax2-12x2=limx→0-ax22x2(1-ax2+1)=-a4=1所以a=-4. 三、往年专升本试题汇总 1. limn→∞n3n+5n+7n=(). A. 0B. 3C. 5D. 7 2. 极限limx→0xsin1x+1xsinx=(). A. 0 B. 1C. 2 D. 不存在 3. 极限limx→01xsinx+limx→∞1xsinx=(). A. 0 B. 1C. 2 D. 不存在 4. 数列{sin(3n+1)}是（）. A. 有界的单调增数列B. 数列{sin2}的子列 C. 有收敛子列的数列D. 收敛数列 5. 下列数列{an}中，具有收敛子列的是(). A. an=arctan3n B.an=tan3n C.an=lntannD. an=e100n 6. 当x→0时，下列无穷小量中，与x等价的是(). A. 1-cosx B. 1+x2-1C. ln(1+x)+x2 D. ex2-1 7. 在下列极限中，计算正确的是(). A. limx→∞sin2xx=2B. limx→+∞arctanxx=1 C. limx→2x2-4x-2=∞D. limx→0+xx=1 8. 当x→0时，x2-sinx是关于x的(). A. 高阶无穷小量 B. 同阶但不是等价无穷小量 C. 低阶无穷小量 D. 等价无穷小量 9. 计算limx→01x-1ex-1. 10. 计算limx→0ex-e-x-2xx-sinx. 11. 求limx→+∞cos1xx. 12. 求limx→1∫x1(1-t+lnt)dt(x-1)3 . 答案 1. D. 2. B.3. B.4. C.5. A.6. C.7. D.8. B. (注: 第4、5选择题用到了有界数列必有收敛子列这个知识点.) 9. limx→01x-1ex-1=limx→0ex-1-xx(ex-1)=limx→0ex-1ex-1+xex=limx→0ex2ex+xex=12. 10. limx→0ex-e-x-2xx-sinx=limx→0ex+e-x-21-cosx=limx→0ex-e-xsinx=limx→0ex+e-xcosx=2. 11. limx→+∞cos1xx=elimx→+∞xlncos1x=elimx→+∞lncos1x1x=elimx→+∞1cos1x-sin1x1x′1x′=e0=1. 12. limx→1∫x1(1-t+lnt)dt(x-1)3=limx→11-x+lnx3(x-1)2=limx→1-1+1x6(x-1)=limx→1-x+16x(x-1)=-16. 习题1 1. limx→∞x+ax-ax=4，则a=. 2. 如果f(x)=x2,x≥0 a,x=0在x=0处的极限存在，则a=. 3. f(x)=1-cos3x(x→0)与mxn是等价无穷小量，则m=，n=. 4. 1+x+x-1(x→0)与mxn是等价无穷小量，则m=，n=. 5. 判断f(x)=3-x(x-1)(x-4)(x-2)在点极限不存在. 6. limx→1x2+ax+bx2-3x+2=2，则a=，b=. 7. 设f(x)=11+x，则f［f(x)］的定义域为. 8. 已知limx→1x2+ax+61-x存在，则a=. 9. 若limx→0x2ln(1+x2)sinnx=0且limx→0sinnx1-cosx=0,则正整数n=. 10. limx→0-e1xsin1x2+arcsinxx=. 11. limx→11x-1-2x2-1=. 12. limx→∞x1+xx=. 13. 判断函数f(x)=1+x,0