目　录 

CONTENTS

第 1章方程求解与最优化技术  1 

1.1方程与方程求解  1 

1.2最优化问题的起源与发展  2 

1.3本书框架  4本章习题  5

第 2章代数方程的求解 6 

2.1多项式方程的求解 6 

2.1.1一次方程与二次方程  7 

2.1.2三次方程的解析解  8 

2.1.3四次方程的解析解  9 

2.1.4高次代数方程与 Abel–Ruffini定理 11 

2.2非线性方程的图解法  11 

2.2.1光滑隐函数曲线的绘制  11 

2.2.2一元方程的图解法  12 

2.2.3二元方程的图解法  14 

2.2.4方程的孤立解 16 

2.3代数方程的数值求解  16 

2.3.1 Newton–Raphson迭代方法  16 

2.3.2 MATLAB的直接求解函数 21 

2.3.3求解精度的设置 23 

2.3.4方程的复域求解 24 

2.4联立方程组的精确求解  25 

2.4.1低阶多项式方程的解析求解 26 

2.4.2多项式型方程的准解析解  28 

2.4.3高次多项式矩阵方程的准解析解  30 

2.4.4非线性代数方程的准解析解 32 

iv薛定宇教授大讲堂（卷 IV）：MATLAB最优化计算 

2.5多解矩阵方程的求解  33 

2.5.1方程求解思路与一般求解函数 33 

2.5.2伪多项式方程的求解  37 

2.5.3高精度求解函数 38 

2.6欠定方程的求解  40本章习题  41第 3章无约束最优化  44 

3.1无约束最优化问题简介  44 

3.1.1无约束最优化问题的数学模型 45 

3.1.2无约束最优化问题的解析解求解  45 

3.1.3无约束最优化问题的图解法 45 

3.1.4局部最优解与全局最优解  46 

3.1.5数值求解算法的 MATLAB实现 48 

3.2无约束最优化问题的 MATLAB直接求解  50 

3.2.1直接求解方法 50 

3.2.2最优化控制选项 52 

3.2.3附加参数的传递 56 

3.2.4最优搜索的中间过程  57 

3.2.5最优化问题的结构体描述  58 

3.2.6梯度信息与求解精度  59 

3.2.7离散点最优化问题的求解  62 

3.2.8最优化问题的并行求解  63 

3.3全局最优解的尝试 64 

3.4带有决策变量边界的最优化问题 67 

3.4.1单变量最优化问题  67 

3.4.2多变量最优化问题  68 

3.4.3边界问题全局最优解的尝试 70 

3.5最优化问题应用举例  70 

3.5.1线性回归问题的求解  70 

3.5.2曲线的最小二乘拟合  71 

3.5.3边值微分方程的打靶求解  75 

3.5.4方程求解问题转换为最优化问题  77本章习题  78 第 4章线性规划与二次型规划  82 

4.1线性规划问题简介 83 

4.1.1线性规划问题的数学模型  83 

4.1.2二元线性规划的图解法  84 

4.1.3单纯形法简介 85 

4.2线性规划问题的直接求解  88 

4.2.1线性规划问题的求解函数  88 

4.2.2多决策变量向量的线性规划问题  93 

4.2.3双下标的线性规划问题  94 

4.2.4线性规划的应用举例运输问题  95 

4.3基于问题的线性规划描述与求解 98 

4.3.1线性规划的 MPS文件描述 98 

4.3.2基于问题的线性规划描述  100 

4.3.3线性规划问题的转换  104 

4.4二次型规划问题的求解  106 

4.4.1二次型规划的数学模型  106 

4.4.2二次型规划的直接求解  106 

4.4.3基于问题的二次型规划描述 107 

4.4.4双下标二次型规划  111 

4.5线性矩阵不等式问题  112 

4.5.1线性矩阵不等式的一般描述 112 

4.5.2 Lyapunov不等式  113 

4.5.3线性矩阵不等式问题分类  114 

4.5.4线性矩阵不等式问题的 MATLAB求解  115 

4.5.5基于 YALMIP工具箱的最优化求解方法  117 

4.5.6非凸最优化问题求解的尝试 119 

4.5.7带有二次型约束条件问题的求解  120本章习题  121

第 5章非线性规划  126 

5.1非线性规划简介  127 

5.1.1一般非线性规划问题的数学模型  127 

5.1.2可行解区域与图解法  127 

5.1.3数值求解方法举例  129 

vi薛定宇教授大讲堂（卷 IV）：MATLAB最优化计算 

5.2非线性规划问题的直接求解  131 

5.2.1 MATLAB的直接求解函数 131 

5.2.2搜索过程提前结束的处理  136 

5.2.3梯度信息的利用 137 

5.2.4多决策变量问题的求解  138 

5.2.5复杂非线性规划问题  140 

5.3非线性规划的全局最优解探讨  141 

5.3.1全局最优解的尝试  142 

5.3.2非凸二次型规划问题的全局寻优  143 

5.3.3凹费用运输问题的全局寻优 146 

5.3.4全局最优化求解程序的测试 147 

5.3.5分段目标函数的处理  148 

5.4双层规划问题  150 

5.4.1双层线性规划问题的求解  151 

5.4.2双层二次型规划问题  151 

5.4.3基于 YALMIP工具箱的双层规划问题直接求解 152 

5.5非线性规划应用举例  154 

5.5.1圆内最大面积的多边形  154 

5.5.2半无限规划问题 157 

5.5.3混合池最优化问题  160 

5.5.4热交换网络的优化计算  162 

5.5.5基于最优化技术的非线性方程求解  165本章习题  166

第 6章混合整数规划  171 

6.1整数规划简介  171 

6.1.1整数规划与混合整数规划  171 

6.1.2整数规划问题的计算复杂度 172 

6.2穷举方法  173 

6.2.1整数规划的穷举方法  173 

6.2.2离散规划问题 176 

6.2.3 0.1规划的穷举方法  176 

6.2.4混合整数规划的尝试  178 

6.3混合整数规划问题的求解  181 

6.3.1混合整数线性规划  181 

6.3.2整数规划问题的 LMI求解方法  183 

6.3.3混合整数非线性规划  184 

6.3.4一类离散规划问题的求解  186 

6.3.5一般离散规划问题的求解  187 

6.4 0.1混合整数规划的求解  189 

6.4.1 0.1线性规划问题的求解 189 

6.4.2 0.1非线性规划问题的求解  192 

6.5混合整数规划应用 194 

6.5.1最优用料问题 194 

6.5.2指派问题  195 

6.5.3旅行商问题  196 

6.5.4背包问题  200 

6.5.5数独的填写  201本章习题  204第 7章多目标规划  208 

7.1多目标规划简介  208 

7.1.1多目标规划的背景介绍  208 

7.1.2多目标规划的数学模型  209 

7.1.3多目标规划问题的图解举例 209 

7.2多目标规划转换成单目标规划问题  212 

7.2.1无约束多目标函数的最小二乘求解  212 

7.2.2线性加权变换及求解  213 

7.2.3线性规划问题的最佳妥协解 215 

7.2.4线性规划问题的最小二乘解 216 

7.3 Pareto最优解  217 

7.3.1多目标规划解的不唯一性  217 

7.3.2解的占优性与 Pareto前沿  218 

7.3.3 Pareto前沿的计算  219 

7.4极小极大问题求解 220本章习题  226第 8章动态规划与最优路径  228 

8.1动态规划简介  228 

8.1.1动态规划的基本概念与数学模型  228 

8.1.2线性规划问题的动态规划求解演示  229 

viii薛定宇教授大讲堂（卷 IV）：MATLAB最优化计算 

8.2有向图的路径寻优 230 

8.2.1有向图应用举例 230 

8.2.2有向图最短路径问题的手工求解  231 

8.2.3逆序递推问题的动态规划表示 232 

8.2.4图的矩阵表示方法  233 

8.2.5有向图搜索及图示  234 

8.2.6 Dijkstra最短路径算法及实现  237 

8.3无向图的路径最优搜索  239 

8.3.1无向图的矩阵描述  239 

8.3.2绝对坐标节点的最优路径规划算法与应用 240本章习题  242

第 9章智能优化方法  244 

9.1智能优化方法简介 244 

9.1.1遗传算法简介 245 

9.1.2粒子群优化算法 246 

9.2 MATLAB全局优化工具箱  246 

9.3最优化问题求解举例与对比研究 248 

9.3.1无约束最优化问题  248 

9.3.2有约束最优化问题  251 

9.3.3混合整数规划问题求解  257 

9.3.4基于遗传算法的离散规划问题 259本章习题  261参考文献 262 MATLAB函数名索引  265

术语索引 269