目录
第 1章绪论 ........................................................................................................1
1.1计算方法 ..................................................................................................1
1.2误差与有关概念 ........................................................................................1
1.2.1误差来源 .......................................................................................1
1.2.2误差的基本概念 .............................................................................3
1.2.3数值运算的误差估计.......................................................................7
1.3数值计算中应注意的几个问题 ....................................................................9 习题一 ...........................................................................................................14
第 2章非线性方程的数值解法............................................................................15
2.1引言.......................................................................................................15
2.2逐步搜索法.............................................................................................16
2.3二分法 ...................................................................................................16
2.3.1基本思想 .....................................................................................16
2.3.2误差估计 .....................................................................................17
2.4不动点迭代法 .........................................................................................19
2.4.1引例 ............................................................................................19
2.4.2基本思想 .....................................................................................19
2.4.3迭代法的收敛性及收敛速度...........................................................22
2.4.4迭代法的加速收敛 ........................................................................26
2.5牛顿（Newton）法 .................................................................................29
2.5.1牛顿法的构造...............................................................................29
2.5.2牛顿法的几何意义 ........................................................................30
2.5.3牛顿法的局部收敛性.....................................................................30
2.6割线法 ...................................................................................................32 习题二 ...........................................................................................................34
第 3章线性方程组的数值解法............................................................................35
3.1引言.......................................................................................................35
3.2解线性方程组的直接法 ............................................................................36
3.2.1高斯消去法 ..................................................................................36
3.2.2高斯主元消去法 ...........................................................................43
3.2.3矩阵分解法 ..................................................................................52
计算方法 (Python版)
3.3向量和矩阵的范数...................................................................................63
3.3.1向量范数 .....................................................................................63
3.3.2矩阵范数 .....................................................................................67
3.4方程组的性态分析和矩阵条件数...............................................................70
3.5解线性方程组的迭代法 ............................................................................73
3.5.1基本思想 .....................................................................................73
3.5.2雅克比迭代法...............................................................................75
3.5.3高斯-塞德尔迭代法.......................................................................77
3.5.4逐次超松弛迭代法 ........................................................................79
3.5.5迭代法的收敛性 ...........................................................................81 习题三 ...........................................................................................................89
第 4章插值与拟合 ............................................................................................91
4.1引言.......................................................................................................91
4.2代数插值 ................................................................................................91
4.2.1拉格朗日插值...............................................................................93
4.2.2牛顿插值 ................................................................................... 100
4.2.3差分与等距节点插值公式 ............................................................ 108
4.2.4分段线性插值............................................................................. 114
4.3三次样条插值 ....................................................................................... 118
4.4曲线拟合的最小二乘法 .......................................................................... 126
4.4.1问题的提出 ................................................................................ 126
4.4.2最小二乘原理............................................................................. 127
4.4.3线性拟合 ................................................................................... 130
4.4.4多项式拟合 ................................................................................ 134 习题四 ......................................................................................................... 137
第 5章数值积分与数值微分 ............................................................................. 140
5.1引言..................................................................................................... 140
5.1.1数值积分的基本思想................................................................... 140
5.1.2求积公式的代数精度................................................................... 143
5.2插值型求积公式 .................................................................................... 148
5.3牛顿-柯特斯（Newton-Cotes）求积公式 ................................................. 151
5.3.1柯特斯系数 ................................................................................ 152
5.3.2牛顿-柯特斯公式的代数精度 ....................................................... 157
5.3.3牛顿-柯特斯公式的截断误差 ....................................................... 158
5.3.4牛顿-柯特斯公式的稳定性........................................................... 161
目录
5.4复化求积公式 ....................................................................................... 162
5.4.1复化求积公式的推导................................................................... 162
5.4.2复化求积公式的截断误差 ............................................................ 165
5.4.3变步长复化求积方法................................................................... 168
5.5龙贝格积分法 ....................................................................................... 171
5.6高斯求积公式 ....................................................................................... 175
5.6.1高斯积分问题的提出................................................................... 175
5.6.2高斯求积公式概述 ...................................................................... 175
5.7数值微分 .............................................................................................. 178
5.7.1差商与数值微分 ......................................................................... 178
5.7.2插值型求导公式 ......................................................................... 180 习题五 ......................................................................................................... 182
第 6章常微分方程初值问题的数值解法 ............................................................ 184
6.1引言..................................................................................................... 184
6.2欧拉法及其改进方法 ............................................................................. 185
6.2.1欧拉法....................................................................................... 185
6.2.2后退欧拉法 ................................................................................ 191
6.2.3梯形法....................................................................................... 193
6.2.4欧拉预测校正法 ......................................................................... 194
6.3龙格-库塔法 ......................................................................................... 197
6.3.1基本思想 ................................................................................... 197
6.3.2几种常用的 R-K公式 ................................................................. 198
6.4阿当姆斯法........................................................................................... 201
6.4.1基本思想 ................................................................................... 201
6.4.2阿当姆斯显式公式 ...................................................................... 202
6.4.3阿当姆斯隐式公式 ...................................................................... 203
6.4.4阿当姆斯预测校正系统 ............................................................... 204 习题六 ......................................................................................................... 205
附录 A典型算法的 Python代码 ..................................................................... 207
附录 B参考数学基础知识................................................................................. 246
参考文献 ............................................................................................................ 250
