第2版前言

   本书自2020年出版以来，我们和兄弟院校将其作为教材已经使用了5年，根据教学实践中的体会、积累的经验和兄弟院校反馈的意见，我们将本书的部分内容进行了调整和修改.涉及的内容主要有以下几个方面： 

   （1） 将书中的语言表达进行了进一步润色，并注意整体的统一.

   （2） 在个别章节补充或调整了一些内容.例如，在4.3节和7.3节，分别补充了一元函数和二元函数的临界点的概念； 在44节，删除了曲线凹凸性的另一个定义： 两点间的弦与曲线弧的位置关系的定义； 在82节，补充了二重积分化为二次积分的另一种形式，而这种形式在外文参考文献上是很常见的.

   （3） 对一些章节的习题进行了修改、替换、删除或顺序上的调整.例如，习题2.7、复习题2修改了知识点重复率较高的个别问题； 习题7.3、习题9.2替换了一些题目，以使习题考查的知识点更全面； 习题53、习题82删除了一些冗余的题目； 根据问题的难易程度，习题63、习题82将B组中的一些题目移到了A组.

   （4） 对于本次修订，调整的最大之处是补充了较丰富的英语表达.主要分为三个类别： 一是补充了几乎所有定义和定理的英语表达； 二是每一节都添加了比较典型的英语例题； 三是在每一节的习题中都增加了C组英语习题.

在对教材补充英语内容的过程中，参阅了多种英文原版《微积分》和《数学分析》教材.对于大部分定义和定理，由于中文和英文教材的表述具有较大差异，所以适配好相应的英文也是一个不小的挑战，为了英语表达的准确性，常常需要在英文原版教材的文本中去寻找一些表达.对于每一节补充的英语例题，在选择的时候，一般需要考虑与本节知识点的衔接情况、是否与其他例题重复、是否新颖等，对于习题，也同样需要考虑类似的问题，无论是例题还是习题，在满足以上条件时，一般会优先考虑应用题，以提高学生运用所学知识分析问题、解决问题的能力. 

教材中融入一些必要的英语，对于学生学习和发展来说，其作用远不限于下面列出的几个方面.

   第一，从记号、术语和概念的理解方面，具有明确的帮助作用.例如，极限记号“limx→x0f(x)=L”中，“lim”是极限“limit”的前3个字母； 积分的记号“∫”是拉长的字母“s”，表示求和“sum”，而定积分是“和式的极限”； 导数是“derivative”，原函数是“antiderivative”，而求导与找原函数是两个方向互逆的运算. 

   第二，可以同步获得数学和英语知识，提高数学理解能力和英语表达能力.提供汉英双语定义、定理以及英文的例题、习题，学生既提升了对数学知识的理解，同时也获得了英语表达.

   第三，有助于学生进一步深造.无论是在国内还是在国外，可以帮助学生提高阅读英文文献的能力，吸收他人之长处，参与国际交流，提升国际视野，提高人才培养水平. 

   关于本次修订，对于本书英语内容的补充，由何素艳编写，其他作者提出了一些建议.对于本书内容的梳理和检查，何素艳、万丽英、曹宏举查看了全部的章节，王洪岩和吴岩查看了6个章节，刁宏悦查看了4个章节.对于C组习题的解答，万丽英负责第5、6章，曹宏举负责第9章以及第2章的2.7节和2.8节，王洪岩负责第1章及第2章的2.1节~2.6节，吴岩负责第4、7章，刁宏悦负责第3、8章.

   在本次修订中，也对配套出版的《微积分同步辅导及习题全解》进行了同步更新与调整.

   教材建设是一项长期的工程，由于编者水平有限，缺点和疏漏在所难免，恳请广大读者不吝指正，编者将感激万分，并会对教材进行不断的改进与完善，使其越来越受读者欢迎.

   最后，感谢清华大学出版社，感谢刘颖编审提出的宝贵建议以及耐心、周到的帮助.

编者

2026年2月

第1版前言

   微积分是高等院校理工类、经管类各专业学生的重要数学基础课程之一.学习此课程，不仅能获得微积分相关的知识，更重要的是可以领会微积分的思想和方法，使学生的理性思维能力、逻辑推理能力以及用数学方法分析问题和解决问题的能力都得到一定的提高.

   时代的发展，学生的变化，给微积分教学提出了诸多问题，在多年的教学工作中，很多问题一直萦绕在我们脑海，例如： 如何让学生在学习微积分时感觉容易些？如何让学生体会到微积分的用途？如何让学生在学习中学会思考，提高能力？等等.在对这些问题的思考中，在对教学工作的不断总结中，这本凝聚集体智慧的教材终于付梓.

   在多年的一线教学工作中，我们了解到： 对于哪些概念，学生难于理解； 对于哪些方法，学生不易掌握； 对于哪些内容，如何处理教学效果会更好.我们将从教学中获得的经验和体会渗透到本书的内容中，将学生容易出现的错误融进了习题里.

   考虑到一些高等院校微积分课时偏少、学生的基础情况及学生的个性化发展需求等因素，本书在编写时做了一定的改革，和传统的微积分教材相比，本书有如下几个特点： 

   （1） 在书中每章的开始，以问句的形式体现了这章的主要内容，以既有助于读者在学习中把握重点，统领全章，还起到了一种书与读者之间的沟通作用.

   例如，在“第3章导数与微分”的开始，以特别的格式列出了第3章主要讨论的如下内容： 导数是如何定义的？导数的几何意义是什么？函数求导有哪些法则？什么是高阶导数？微分是如何定义的？

   （2） 由浅入深、由易推难，层层铺垫，注重概念和定理的直观描述，同时，也体现了必要的推理.

   例如，我国的传统教材中，对于数列极限和函数极限，一般都是先给出极限的严格定义（即ε-N定义和ε-δ定义等），之后再给出极限的性质和运算法则.对于初学大学微积分的很多学生来说，ε-N定义和ε-δ定义理解起来往往有一定的难度，从而可能会影响一些学生对后续内容的学习，有的同学甚至还可能会失去学好微积分的信心.

为此，我们对极限内容的顺序进行了调整，先通过简单例子给出极限的直观描述性定义，再给出极限的运算法则，之后专门列出一节，给出数列极限和函数极限的严格定义，在严格定义的基础上，对极限的一些性质及运算法则给出证明.此时学生对极限已经有了一定的认识和基础，对极限的严格定义的理解就会容易得多.

   再例如，对于微分以及全微分的概念，按照传统的定义方式，有些学生可能不能很好地领会微分的含义.本书进行了改变，借助简单的引例以及线性近似的思想给出微分和全微分的定义，之后再对用微分（或全微分）近似增量（或全增量）的误差进行估计，通过对一些具体问题的求解，重点强调微积分中的局部“以直代曲”的思想，或者非线性函数的局部线性化思想.

   （3） 在例题和习题的选择上，以说明概念和方法为主要目的，尽量减少计算量，降低抽象性.

   在教学中发现，如果一个问题计算起来特别烦琐，学生往往会被计算所困扰，而忽略了问题的含义，例如定积分∫bafxdx的计算，若fx在区间a,ba<b上非负，∫bafxdx在几何上表示曲边梯形的面积，计算结果也应该非负，可有的学生计算出负值时，却还不能发现自己计算错了.为了保证学生不偏离学习目标，把握重点，本书能用简单函数说明的问题，尽量不用或者少用复杂的函数.此外，为了增加直观、降低抽象性，一些例题和习题也给出了图形.

   （4） 考虑到学生中两极分化的现象以及学生的不同需求，一些内容、例题和习题的配置体现出了弹性，分出了层次，这样有利于学生的个性化培养.

   学生的构成是多元的，在设计和编写本书的过程中，考虑最大限度地满足不同层次学生的需求，使得弱者进步、优者更优.因此对于内容、例题和习题的设计，大部分是相对简单的，但也增加了一些稍具挑战性的内容.例如，利用极限定义证明一些性质和运算法则； 讲微分和全微分时，阐明微积分中的局部线性化思想； 函数的幂级数展开的相关定理的得出及其证明等.另外，每一节一般会有一两个难度大一些的例题； 每节的习题都分为A、B两组，B组题目一般从深度、广度及应用上都有一定程度的提高，满足想进一步提升自己或者有考研计划的学生的需求.

   （5） 针对一些内容，给出了一些应用问题，这些问题涉及经济学、物理学、医药学等诸多领域，问题选择难易适度，解答详细.

   通过对应用题的求解，可以培养学生用所学数学知识分析问题和解决问题的能力，也可以提高学生学习微积分的兴趣.但鉴于学生专业知识的局限性，应用题的选择也相应地受到限制.本书在一些章节加入了一些应用问题，例如，银行复利计算问题，利用函数极限估计某城市的人口变化趋势问题，速度、加速度或位移问题，作为函数极值应用的利润最大问题、成本最低问题以及用料最少问题，利用无穷级数的和估计药物残留问题等.

   （6） 每一节后面都设置了思考题，以便于学生对一些重要概念及方法的理解.

   根据内容情况，每节一般设置一到三个思考题.通过对问题的思考，学生既可以加深对一些概念和方法的理解，也有助于养成全面、严密的思维习惯.

   （7） 每一节的课后习题不仅是对本节内容的理解与巩固，很多习题也为后续内容埋下伏笔，起到承前启后的作用.

   例如，习题1.1和习题1.2中，函数fx的差商fx+h-fxh的计算，以及习题2.3和复习题2中，差商的极限的计算，都是在为3.1节利用导数定义求导数做准备； 习题3.2中，一些复合函数的求导结果，正好是5.2节不定积分的换元积分法的一些例题的被积函数； 习题3.4中，在对函数fx线性近似的基础上，设置了二次近似、三次近似以及n次近似的问题，为9.4节的泰勒多项式埋下伏笔.

   本书第1~3章由何素艳编写，第5，6，8章由万丽英编写，第4，7，9章由曹宏举编写.

   本书的出版得到大连外国语大学校级规划教材项目（2019）、辽宁省教育科学规划项目（JG18DB108）、辽宁省教育厅科学研究项目（2019JYT06）、辽宁省普通高等教育本科教学改革研究项目（2018544）、教育部人文社会科学研究项目（15YJCZH005）等的资助.本书的出版也得到大连外国语大学软件学院的关心与支持.感谢清华大学出版社，感谢清华大学出版社刘颖编审的耐心、具体、周到的帮助及建议.

   本书在设计和编写过程中，参考了许多国内外的高等数学或微积分教材，借鉴了这些教材所体现的先进理念和编写思想，吸收了它们的优点，引用了一些教材的部分内容、图形、例题或习题，在此向这些教材的编著者及出版单位表示深深的谢意.在本书后附的参考文献中，虽然列出了所参考的教材，但也难免漏掉一些，还请相关作者及出版单位海涵.

   对于本书的编写，尽管作者力求完美，但由于水平所限，书中难免会出现一些疏漏，希望读者提出宝贵意见和建议.

编者

2020年6月