目   录

01 集合是什么  1

1.1 集合的定义   1

1.2 集合的容斥原理  4

02 函数  8

2.1 什么是函数   8

2.2 周期函数   9

2.3 反函数  11

2.4 函数变换与图像   12

03 均值不等式  14

04 指数增长的威力  21

4.1 大米粒的故事   21

4.2 宇宙有多大  22

4.3 指数增长与衰减   23

05 引入对数   27

5.1 对数的定义  27

5.2 对数函数的图像   30

5.3 对数与指数  33

5.4 古老的计算尺   34

06 对数与指数魔法  36

6.1 横空出世的神秘常数 e   36

6.2 手撕对数  40

6.3 超大的幂的计算   45

6.4 计算大数的开方   48

07 幂函数与指数函数  52

08 生活中的指数与对数   56

8.1 定义声音的强度   56

8.2 单利与复利  57

8.3 金融行业的 72 法则   59

09 数列   62

9.1 什么是数列  62

9.2 等差数列  63

9.3 等比数列  69

10 数列变换的魔术  73

10.1 观察规律   73

10.2 待定系数   74

10.3 寻找不动点  75

10.4 寻找特殊数列  76

10.5 新题目的诞生  77

10.6 累加求和破解玄机  78

10.7 识破伪装   78

11 数列求和的技巧  80

11.1 裂项求和   80

11.2 计算平方和的公式  84

11.3 计算立方和的公式  85

12 斐波那契数列  87

13 生活中的数列  92

13.1 贷款的秘密  92

13.2 价格的分布规律  96

14 分数维数   99

15 弧度  104

16 三角函数的广阔世界  106

16.1 定义三角函数   106

16.2 任意角的三角函数  114

16.3 反三角函数   118

17 三角函数的公式   119

17.1 和角和差角公式   119

17.2 倍角公式  122

17.3 和差化积  126

17.4 积化和差  128

18 三角函数的应用   129

18.1 测量高度  129

18.2 正弦定理  130

18.3 余弦定理  133

18.4 构造三角形   134

18.5 中线的长度   135

19 三角函数的图像   138

19.1 基本的图像   138

19.2 图像的变换   143

19.3 三角函数的叠加   147

20 平面向量  150

20.1 向量的基本性质   150

20.2 向量的加法   151

20.3 向量的减法   152

20.4 向量的数量乘法   152

20.5 向量的点积   153

21 走进复数的世界   158

22 复数的几何功能   161

22.1 平移  161

22.2 旋转  162

23 圆锥曲线  166

23.1 圆  166

23.2 椭圆  168

23.3 双曲线  174

23.4 抛物线  178

23.5 圆锥曲线的统一   180

24 三维空间中的位置关系  182

24.1 直线与平面   182

24.2 平面与平面   183

25 各种各样的立体   185

26 体积与表面积   191

26.1 祖暅定理  191

26.2 各种立体的体积与表面积  192

26.3 万能的体积公式   198

27 三维空间坐标系与向量  199

27.1 三维空间坐标系   199

27.2 三维空间向量   200

27.3 确定平面的方向   200

27.4 确定两个平面之间的夹角  202

28 组合计数的基本原理  204

28.1 组合计数的加法原理  204

28.2 组合计数的乘法原理  205

28.3 组合计数中的容斥原理  207

28.4 排列  207

28.5 组合  209

29 隐藏在组合数中的秘密  211

29.1 杨辉三角形   211

29.2 组合恒等式   213

29.3 寻找斐波那契数列  216

29.4 组合数的奇偶性   217

30 经典的组合计数问题和方法   221

30.1 拍照  221

30.2 拆分集合  223

30.3 带重复的排列   225

30.4 走格子  226

30.5 递增数和递减数   230

30.6 两两配对  231

30.7 分苹果  232

30.8 多边形染色问题   234

31 二项展开  237

31.1 二项展开的原理   237

31.2 巨大的幂的后几位  239

31.3 复数与组合的碰撞  241

31.4 数列求和  243

32 概率  246

32.1 关键词  246

32.2 怎么定义概率   249

32.3 古典概型  250

32.4 几何概型  251

32.5 应用加法原理求概率  252

32.6 应用乘法原理求概率  252

32.7 条件概率  255

33 经典的概率问题与方法  257

33.1 生日  257

33.2 信封错放问题   259

34 扑克牌游戏   263

34.1 大小王  263

34.2 斗地主  264

35 几何与概率的碰撞  270

35.1 青蛙跳  270

35.2 三角形  276

36 随机变量  278

36.1 什么是随机变量   278

36.2 概率分布表   279

37 期望与风险   281

37.1 期望  281

37.2 风险  283

38 二项分布  286

后记   294