目　　录

第7章　多项式环…………………………………………………………………………………1

　7．1　一元多项式环……………………………………………………………………………1

　　　7．1．1　内容精华…………………………………………………………………………1

　　　7．1．2　典型例题…………………………………………………………………………7

　　　习题7．1 …………………………………………………………………………………11

　7．2　整除关系，带余除法 …………………………………………………………………12

　　　7．2．1　内容精华………………………………………………………………………12

　　　7．2．2　典型例题………………………………………………………………………18

　　　习题7．2 …………………………………………………………………………………21

　7．3　最大公因式 ……………………………………………………………………………22

　　　7．3．1　内容精华………………………………………………………………………22

　　　7．3．2　典型例题………………………………………………………………………29

　　　习题7．3  ………………………………………………………………………………34

　7．4　不可约多项式，唯一因式分解定理 …………………………………………………35

　　　7．4．1　内容精华………………………………………………………………………35

　　　7．4．2　典型例题………………………………………………………………………39

　　　习题7．4 …………………………………………………………………………………40

　7．5　重因式 …………………………………………………………………………………40

　　　7．5．1　内容精华………………………………………………………………………40

　　　7．5．2　典型例题………………………………………………………………………42

　　　习题7．5 …………………………………………………………………………………45

　7．6　多项式的根，复数域上的不可约多项式 ……………………………………………46

　　　7．6．1　内容精华………………………………………………………………………46

　　　7．6．2　典型例题………………………………………………………………………53

　　　习题7．6 …………………………………………………………………………………60

　7．7　实数域上的不可约多项式?实系数多项式的实根 ……………………………………61

　　　7．7．1　内容精华………………………………………………………………………61

　　　7．7．2　典型例题………………………………………………………………………65

　　　习题7．7 …………………………………………………………………………………71

　7．8　有理数域上的不可约多项式 …………………………………………………………72

　　　7．8．1　内容精华………………………………………………………………………72

　　　7．8．2　典型例题………………………………………………………………………77

　　　习题7．8 …………………………………………………………………………………85

　7．9　多元多项式环 …………………………………………………………………………86

　　　7．9．1　内容精华………………………………………………………………………86

　　　7．9．2　典型例题………………………………………………………………………94

　　　习题7．9 …………………………………………………………………………………97

　7．10　对称多项式……………………………………………………………………………98

　　　7．10．1　内容精华 ……………………………………………………………………98

　　　7．10．2　典型例题……………………………………………………………………104

　　　习题7．10 ………………………………………………………………………………110

*7．11　结式 …………………………………………………………………………………111

　　　7．11．1　内容精华……………………………………………………………………111

　　　7．11．2　典型例题……………………………………………………………………119

　　　习题7．11 ………………………………………………………………………………122

　7．12　域与域上的一元多项式环 …………………………………………………………123

　　　7．12．1　内容精华……………………………………………………………………123

　　　7．12．2　典型例题……………………………………………………………………131

　　　习题7．12 ………………………………………………………………………………138

　补充题七………………………………………………………………………………………139

　应用小天地：序列密码?m序列………………………………………………………………142

第8章　线性空间………………………………………………………………………………150

　8．1　域F上线性空间的基与维数…………………………………………………………151

　　　8．1．1　内容精华 ……………………………………………………………………151

　　　8．1．2　典型例题 ……………………………………………………………………161

　　　习题8．1…………………………………………………………………………………176

　8．2　子空间及其交与和，子空间的直和…………………………………………………179

　　　8．2．1　内容精华 ……………………………………………………………………179

　　　8．2．2　典型例题 ……………………………………………………………………187

　　　习题8．2…………………………………………………………………………………200

　8．3　域F上线性空间的同构………………………………………………………………202

　　　8．3．1　内容精华 ……………………………………………………………………202

　　　8．3．2　典型例题 ……………………………………………………………………206

　　　习题8．3…………………………………………………………………………………213

　8．4　商空间…………………………………………………………………………………214

　　　8．4．1　内容精华 ……………………………………………………………………214

　　　8．4．2　典型例题 ……………………………………………………………………218

　　　习题8．4…………………………………………………………………………………221

　补充题八………………………………………………………………………………………222

　应用小天地：线性码…………………………………………………………………………222

第9章　线性映射………………………………………………………………………………226

　9．1　线性映射及其运算……………………………………………………………………226

　　　9．1．1　内容精华 ……………………………………………………………………226

　　　9．1．2　典型例题 ……………………………………………………………………233

　　　习题9．1 ………………………………………………………………………………237

　9．2　线性映射的核与象……………………………………………………………………238

　　　9．2．1　内容精华 ……………………………………………………………………238

　　　9．2．2　典型例题 ……………………………………………………………………242

　　　习题9．2 ………………………………………………………………………………248

　9．3　线性映射和线性变换的矩阵表示……………………………………………………248

　　　9．3．1　内容精华 ……………………………………………………………………248

　　　9．3．2　典型例题 ……………………………………………………………………253

　　　习题9．3 ………………………………………………………………………………266

　9．4　线性变换的特征值和特征向量，线性变换可对角化的条件………………………268

　　　9．4．1　内容精华 ……………………………………………………………………268

　　　9．4．2　典型例题 ……………………………………………………………………271

　　　习题9．4 ………………………………………………………………………………281

　9．5　线性变换的不变子空间，Hamilton-Cayley定理……………………………………283

　　　9．5．1　内容精华 ……………………………………………………………………283

　　　9．5．2　典型例题 ……………………………………………………………………289

　　　习题9．5…………………………………………………………………………………302

　9．6　线性变换和矩阵的最小多项式………………………………………………………303

　　　9．6．1　内容精华 ……………………………………………………………………303

　　　9．6．2　典型例题 ……………………………………………………………………312

　　　习题9．6…………………………………………………………………………………326

　9．7　幂零变换的Jordan标准形……………………………………………………………327

　　　9．7．1　内容精华 ……………………………………………………………………327

　　　9．7．2　典型例题 ……………………………………………………………………331

　　　习题9．7 ………………………………………………………………………………339

　9．8　线性变换的Jordan标准形……………………………………………………………340

　　　9．8．1　内容精华……………………………………………………………………340

　　　9．8．2　典型例题……………………………………………………………………348

　　　习题9．8 ………………………………………………………………………………367

*9．9　线性变换的有理标准形………………………………………………………………368

　　　9．9．1　内容精华……………………………………………………………………368

　　　9．9．2　典型例题……………………………………………………………………380

　　　习题9．9 ………………………………………………………………………………396

　9．10　线性函数与对偶空间………………………………………………………………397

　　　9．10．1　内容精华 …………………………………………………………………397

　　　9．10．2　典型例题……………………………………………………………………400

　　　习题9．10………………………………………………………………………………411

　补充题九………………………………………………………………………………………412

　应用小天地：可交换的线性变换……………………………………………………………414

第10章　具有度量的线性空间………………………………………………………………418

　10．1　双线性函数…………………………………………………………………………418

　　　10．1．1　内容精华……………………………………………………………………418

　　　10．1．2　典型例题……………………………………………………………………433

　　　习题10．1 ………………………………………………………………………………448

　10．2　欧几里得空间 ………………………………………………………………………450

　　　10．2．1　内容精华……………………………………………………………………450

　　　10．2．2　典型例题……………………………………………………………………457

　　　习题10．2 ………………………………………………………………………………464

　10．3　正交补，正交投影 …………………………………………………………………465

　　　10．3．1　内容精华……………………………………………………………………465

　　　10．3．2　典型例题……………………………………………………………………469

　　　习题10．3 ………………………………………………………………………………475

　10．4　正交变换与对称变换 ………………………………………………………………476

　　　10．4．1　内容精华……………………………………………………………………477

　　　10．4．2　典型例题……………………………………………………………………481

　　　习题10．4 ………………………………………………………………………………498

　10．5　酉空间，酉变换，Hermite变换，正规变换………………………………………499

　　　10．5．1　内容精华……………………………………………………………………500

　　　10．5．2　典型例题……………………………………………………………………511

　　　习题10．5 ………………………………………………………………………………538

*10．6　正交空间与辛空间……………………………………………………………………540

　　　10．6．1　内容精华……………………………………………………………………540

　　　10．6．2　典型例题……………………………………………………………………552

　　　习题10．6 ………………………………………………………………………………557

*10．7　正交群，酉群，辛群 ………………………………………………………………558

　　　10．7．1　内容精华……………………………………………………………………558

　　　10．7．2　典型例题……………………………………………………………………563

　　　习题10．7 ………………………………………………………………………………571

　补充题十………………………………………………………………………………………572

*应用小天地：酉空间在量子力学中的应用 ………………………………………………573

第11章　多重线性代数 ………………………………………………………………………581

　11．1　多重线性映射 ………………………………………………………………………581

　　　11．1．1　内容精华……………………………………………………………………581

　　　11．1．2　典型例题……………………………………………………………………585

　11．2　线性空间的张量积 …………………………………………………………………587

　　　11．2．1　内容精华……………………………………………………………………587

　　　11．2．2　典型例题……………………………………………………………………598

　11．3　张量代数 ……………………………………………………………………………605

　　　11．3．1　内容精华……………………………………………………………………605

　　　11．3．2　典型例题……………………………………………………………………609

　11．4　外代数 ………………………………………………………………………………611

　　　11．4．1　内容精华……………………………………………………………………611

　　　11．4．2　典型例题……………………………………………………………………617

*应用小天地：张量积在量子隐形传态中的应用 …………………………………………624

习题答案与提示…………………………………………………………………………………629

　　　第7章　多项式环………………………………………………………………………629

　　　第8章　线性空间………………………………………………………………………636

　　　第9章　线性映射………………………………………………………………………642

　　　第10章　具有度量的线性空间 ………………………………………………………657

参考文献…………………………………………………………………………………………671