在近三十多年中，作者曾多次讲授“实变函数”课程，先采用复旦大学夏道行教授等编著的《实变函数论与泛函分析》，后又采用北京大学周民强教授编著的《实变函数》作为教材.这两本书各有其特点和侧重面．复旦的书侧重于一般的测度理论和积分理论，这有利于概率统计专业学生对后续知识的学习和研究； 北大的书侧重于分析数学能力的训练，尤其是书中配有一定难度的习题，能引起爱好数学的学生的兴趣并激起他们极大的学习热情，且能增强他们做难题的能力，激励他们对数学进行深入的学习和研究．本书博采两家之长处，力求为数学和概率统计专业的学生提供丰富的精神食粮．

全书共分4章．第1章主要介绍集合论的基本知识、几个重要的集类．着重用势研究实函数．由于势的引入，许多函数(例如凸（凹）函数、单调函数、有界变差函数、绝对连续函数)的性质（如连续性、可导性等）、连续函数的可导点集的结构、连续函数列的极限函数的性质以及导函数连续点集的稠密性等均可被深入研究清楚．在第1章中，还研究了Borel集类、Cantor疏朗三分集和Cantor函数，并证明了重要的Baire定理和闭集上连续函数的延拓定理．这些知识和定理有着广泛的应用，也是培养学生分析能力的基础．

第2章和第3章比较完整地论述了一般测度理论和积分理论，并详细描述了Lebesgue测度与Lebesgue积分理论，以及LebesgueStieltjes测度与LebesgueStieltjes积分理论，使读者学过之后既能有抽象的理论水平，具备高观点，又能掌握大量的具体的实例，不致飘在空中．这两章内容极为丰富．在引进几乎处处收敛、依测度收敛等概念后，证明了重要的Д.Ф.Eгоров定理、H.H.Лузин定理、Lebesgue控制收敛定理、Levi引理、Fatou引理、Vitali覆盖定理和Fubini定理，还讨论了Lebesgue积分和Riemann积分之间的联系和区别．应用绝对连续函数的知识，还给出了NewtonLeibniz公式成立的充要条件．

同时给出了条件弱于数学分析中的分部积分、积分第一（第二）中值公式、换元公式的论证．Hausdorff测度和Hausdorff维数的知识在近代微分几何、分形几何中都有广泛的应用．这部分内容不必在正课中讲授，可作为学生的课外阅读材料，是为了开阔他们的视野．

第4章，在Lp(p≥1)空间上引入模‖·‖p,使其成为Banach空间； 在L2空间上引入内积〈，〉，使其成为Hilbert空间．并研究该空间中函数列的收敛(即p次幂平均收敛)性、完备性和可分性．特别地，还研究了L2中的规范正交系及其封闭性、完全性，为进一步学习泛函分析及其他高层次的数学知识打下了坚实的基础．

阅读本书，可以分三个不同的水平和层次．第一个层次是只要熟读书中内容和例题，已可达到相当高的水平； 第二个层次是将练习题和部分复习题做好，其中有些题具有相当的难度，经此训练，读者可成为高水平的大学生； 第三个层次是为少数优等生设置的，他们除了要做一般的练习题外，还必须努力去完成书中各章后面复习题中所有的难题．这样可以训练读者的独立思考和独立研究能力，也是数学创新思维的源泉．中国科学技术大学数学系771班的李岩岩就是做实变难题的典型代表，他凭自己坚实的实变功底在偏微分方程方向作出了杰出的贡献，发表了高水平论文110余篇，是世界上论文高引率作者之一．他曾在2002年国际数学家大会上作过45分钟报告．

在本书的编写过程中，作者参考和引用了书后所列文献中的一些内容和习题．在此向各书的作者致谢．

实变函数是培养学生研究能力的一门极其重要的基础课．也是数学系最难的一门基础课．为了让更多的学生学好这门课，我们将尽快出版一本实变函数指导书，给出本书中难题的解答．

在编写本书的过程中，得到了中国科学技术大学数学系领导和教师们的热情鼓励和大力支持，作者谨在此对他们表示诚挚的感谢．

还要特别感谢的是清华大学出版社的刘颖博士和陈明博士，他们为本书的出版提供了热情的帮助和建设性的意见．