数学与科学（代序）

数学是人类文化中的瑰宝，是描述科学最美妙的语言。数学算不算科学呢？比较普遍的回答是“数学不是科学”，因为就波普尔对科学的定义中“可证伪”这点而言，数学可以完全依靠几条公理按照逻辑建立起来，应该不属于科学。但也有人说数学是科学，将其称为“逻辑科学”。 不过这就属于如何定义的问题了，无关本质。因此，在本书中我们使用多数人认可的观点，科学不包括数学。

不管数学是不是科学，它与科学的关系是密不可分的。人类的数学知识远远早于其他科学知识。人类在原始时代，已经能在物品交易中做简单的加减法，公元前2000年前后的古巴比伦人，已经会估算圆周率为3．125； 公元480年，中国的祖冲之用几何方法将圆周率计算到小数点后7位。

考察科学发展的历史，数学概念一般总是走在科学模型的前面。没有数学的发展，不可能建立各种科学模型，当然也不可能有科学的诞生和发展。在科学中的理论发展到一定程度的时候，又反过来为数学的发展提供灵感和动力。

后来的纯数学向抽象化和自身的逻辑推理发展，但如果追根溯源，早期的数学仍然是开始于人类对周围现实世界的研究。数学观察研究的是有关客观世界中物体之“数与形”的知识。

数学产生于公元前3000年前后，在埃及、巴比伦、中国等古文明发源之地，都有早期数学知识的记载。而其他的自然科学，比如物理、天文方面的知识探索，应该是从公元前1000年开始，也就是现在学界公认的标志着现代科学诞生的古希腊时代。

为什么人类对科学认识的记载远远落后于对数学知识的记载呢？因为早期的数学在本质上更像是一种“语言”。语言，广义而言，是用于沟通的方式。在人类知识发展的历史中，首先被创造出来的是(地方)语言，然后是地方文字，据说最古老的文字出现于公元前3500年的古埃及，稍后便有了(具有语言特征的)数字。沟通是语言的目的，人们为了沟通，使用语言来对所见所闻进行描绘，其中也包括对事物的数量、结构、变化、形态以及空间关系等概念的描绘，进行这类描绘的语言就是数学。普通自然语言使用的符号被称为文字，处理文字的规则被称为文法。数学也使用符号来对自然规律进行研究，数学符号往往表示具体事物的抽象，数学便是通过这种抽象化和逻辑推理的使用，来描述数量或结构间的规律。然后，再通过“语言、文字、数学”，人类才得以记载流传至今、我们称为“科学”的东西，例如古希腊科学。

如前所述，也可以将数学归类于“广义”的科学。特别是数学与理论物理的关系非同一般。人们常说“数理同源”，四个字概括了数学与物理的关系。这两个科学上最重要的分支，它们的关系又错综复杂，真实而自然，可谓妙不可言。而物理算是最早的经验科学，因此可以说，在某种意义上，数学引领了的科学诞生和早期发展。

在古希腊的时候，所有的科学都没有区别，几乎每个科学家都是全才： 既是数学家，又是物理学家，也是哲学家。大概因为那时候科学的水平还比较低，完全不同于现在这种“隔行如隔山”的局面。那时候的科学家们所思考的都是“大”问题： 宇宙、天地、星星、月亮，生命的起源，万物的秘密……那个年代可能也只有这种大问题可想，因为人类的知识宝库里还只有简略的几条框框，没有这个定律那个定理、这个技术那个工程的。既没有繁杂无比的公式可推导，也不需要用计算机编程来进行十天半个月之久的大量数字计算，因此，数学家们也几乎都是思想家。

在人类文明发展的历史长河中，各种文化中都充满了种种数学趣题难题。有些趣味数学问题成为跨世纪难题或千年难题，至今未解。数学问题的提出和解决促进并伴随着数学及其他科学的突破和进展。

有趣的数学问题，能带给我们莫大的惊喜和无穷的趣味。理解这些数学问题其中的意义，体会它们深藏的数学之美，追随数学家的思维方法，使大众爱上数学，把学习数学当作一门乐趣，是本书的宗旨。这本书不是一本正规教科书，不重在系统地传授知识，而着眼于开阔眼界、启发思考、增长见识、多向思维。

历史的角度和有趣的数学难题，是本书作者向读者介绍数学的两个切入点。作者尽力做到实例丰富、解释通俗、表述流畅、寓意深刻。

第1章叙述古代数学史，从第一位数学家的故事讲起，主要追溯数学发展的源头，解读古希腊数学思想对现代科学诞生及发展的重大意义等，也谈及独立发展的中国古代数学及其衰落。不过，任何事物都有始有终，即使是古希腊数学灿烂辉煌上千年，最后也仍然大江东去，被淹没于历史的长河。所幸其营养丰富，根基牢靠，能够一晃而过阿拉伯再到欧洲生根发芽、浴火重生。由此描述了古希腊的数学精神如何转化为现代数学以及现代科学的辉煌历程。

数学史上曾经有过三次数学危机，它们发生的原因是什么？数学家们是如何解决这几个危机的？在解决危机的过程中又如何诞生了微积分、催生了现代科学？因此，第2章以数学危机为主线来解读数学史。

19世纪开始，数学发生了深刻的变化，几何复兴、分支形成、概念严格化，整体全面繁荣。逻辑主义、直觉主义和形式主义，三大学派激烈论战，深入研究。集合论的建立，数理逻辑、罗素悖论、哥德尔定理的出现更深化了数学基础的研究。

数学史就是“数之史”，伴随着一些基本而有趣的数学常数的发现，第3章挑选、介绍了几个重要的数学常数，它们是否暗藏了大自然的某种内在规律呢？

第4章重点介绍数学物理交叉应用的领域： 变分法及微分方程。拉格朗日在他的《分析力学》中，将变分法用于牛顿力学，完全用分析的方法进行推导，建立起一套完整和谐的力学体系，显示了分析学的巨大威力，也表明数学和物理的成功结合。

变分法中涉及的“求极大极小、最优化”一类问题，与我们的日常生活紧密相关，牵涉到不少历史上著名的数学难题。通过描述几个难题相关的有趣故事，为你介绍其中隐藏着的深刻的数学物理原理。

微分方程是微积分在物理学和工程中最重要的应用，也做了稍加介绍。

相比科学而言，数学更是年轻人的游戏。数学史上不乏早逝的少年天才，读完第5章中几位数学家的故事和成就，令人唏嘘感叹！

近年来，抽象代数、拓扑等成为数学主流，博弈论也蓬勃发展。因此，第6章、第7章从一些饶有趣味的具体数学问题出发，介绍几个领域的基本知识。

数学范围广泛，并与日俱增。有些数学领域美丽而实用，有些领域抽象而神秘。但历史告诉我们： 即使抽象难懂的数学，也总有一天会在科学中发挥作用，闪现光芒，这既是数学的奥秘所在，也是精髓所在！用中国著名数学家华罗庚的名言可以概括数学对科学的作用： 

“宇宙之大，粒子之微，火箭之速，化工之巧，地球之变，生物之谜，日用之繁，无处不用数学。”