第2版前言

引子

几年前播下发愿的种子，在时光的催化下，时至今日竟然长成了一棵树。《英汉数学全书——代数、几何与微积分初步》（后文均为《英汉数学全书》）已经与读者见面五载，今天迎来了第2版修订。

　　《英汉数学全书》的诞生是偶然，也是冥冥中的必然。偶然源自8年前我在北京王府井大街为即将参加国际数学竞赛的女儿寻遍双语数学工具书而不得的一次发愿，必然源自与生俱来的执拗、果决、责任与担当，源自心中多年来一直想要做成点事儿的熊熊火焰。

智能时代，未来已来

无论如何，谁都无法否认也无法阻挡，滚滚向前的历史车轮已经把我们裹挟到了智能时代，以5G、人工智能、机器人技术、基因生物技术等为特征的第四次工业革命（2010—至今）已然到来。

在这场革命中，教育行业作为培养人才后备军的行业，紧跟时代步伐，不断创新和突破的需求更为迫切。作为一个教育领域的参与者，为新新人类铺就一条适合他们成长的“天路”是责任、义务，更是使命。

多年来，我们关注最多的是对国际数学教育依赖程度比较大、有留学计划的学生群体和国际学校教师群体。观察发现，如果学生没有过硬的实力，仅靠粗放式刷题和过度包装营造的优秀“人设”，会随着进入真实而陌生的留学后学习环境而崩塌。靠刷题得来的高分并不代表真正具备了留学所需的各项能力，即便凭借优秀“人设”获得了录取资格，也有很大概率无法很好地适应国外课堂而面临种种挑战。如，听不懂教授的讲述，无法融入课堂小组讨论，不能大方自如地表达自我或学期演讲，不能完成论文写作等问题； 部分学生入学后跟不上国外课程，还需要依靠线上补课的方式完成GPA的要求； 每年因学术成绩不及格而被“退学”或无法如期毕业的学生数目也非常触目惊心。而上述能力不是一蹴而就能获得的，学生需要在系统教学的支撑下，经过长期的学习过程才能实现。

　　站在一个高的维度来看，这一代“新人类”的生活、学习背景是一个越来越融合的世界大舞台，他们需要不断地打破认知藩篱，拓宽认知边界，他们需要具备活力和创新力，这就要求国际数学素质教育基本面不断升级，成为一个更具“穿透力”的学科。一方面助力莘莘学子升入理想梦校并顺利毕业，为他们的职业、事业生涯奠定深远的基础。另一方面，希望他们通过对丰富多元数学理念的系统学习，让他们拥有更聪明、更强劲的大脑、更卓尔不群的思维力，更是为这些新新人类深谋远虑、为计深远。

我们常年与国内外知名数学教育家保持密切联系，不断切磋交流与探索新知。美国著名数学教育家Mr.Daniel Flegler、美国著名数学教育企业AoPS创始人Mr.Richard Rusczyk，以及斯坦福终身教授Mr.Brian Conrad都是我们成长路上的指路人。我们的国际数学素质教育理论——“探究式国际数学素质教育与专业数学英语教育的交叉融合”，即将CLIL教学法（注： 即Content and Language Integrated Learning，是一种科学地把“学科素养”和“语言能力”相结合的教学法）和“探究式”教学法融合应用于国际数学素质教育中的教学理论。“探究式教学法”是一种以解决问题为导向的主动学习方法，旨在激发学生的好奇心和自主学习的兴趣。它鼓励学生提出问题、进行实验和探索新思路，培养批判性思维、创新能力和解决问题的能力。整个教学过程以学生为中心，教师作为引导者，设计开放性问题情境，引导学生通过观察、实验、讨论和推理，深入理解和掌握数学概念及其背后的逻辑。这样，学生不仅能够牢固掌握知识点，还能灵活运用所学知识，解决复杂的数学问题，培养终身学习和自主探索的精神。“探究式”国际数学素质教育与专业数学英语交叉融合是我们目前阶段探索出的系统性解决方案的最优解。我们已经将这一教学理念深深扎根于研发的每一部作品中，希望给大家带来良好的学习体验。

因《英汉数学全书》结缘，我们结识了许多工作在教学一线的国际数学精英教师，段凯耀老师便是其中一员。他是一位名副其实的智能时代教育改革的领跑者和杰出贡献者，他精通各种国际课程体系，2022年被芝加哥大学授予“杰出教育者”称号，也是迄今为止受邀参加AP全球年会的中国大陆地区唯一发言人。多年以来，他积极探索并应用人工智能技术和数据分析教学方法，大幅提升了学生学习效率并优化了学习体验。他带领着他的“学生军”左突右击，斩获国际数学竞赛大奖无数。非常巧合的是，我们的开创性双语国际数学素质教学法——“CLIL”教学法和“探究式”教学法的交叉融合理念与段凯耀老师的某些教学思路不谋而合。段老师说他一直在找一本既可以为学生搭建一座跨越语言和文化障碍的桥梁的好书，让他们在数学素养和英语能力方面双重提升，又能促进他们初、高中阶段国际教育学习习惯养成，从而为未来职业生涯奠定坚实而长远的基础。他一直求而不得，直到某一天偶遇了《英汉数学全书》。《英汉数学全书》覆盖了初、高中六个年级的所有词条，用英汉双语比较专业地阐释了从基础到高级的数学概念以及它们背后的性质、定理和证明，对学生学习IG等国际课程起到多层次的承接作用。经过几届学生的用书实践之后，段凯耀老师把《英汉数学全书》推荐为“学生人手一册的双语数学案头工具书”。 

每一次破茧的努力，只为您攀登的路上多一块垫脚石

这本书既要帮助读者掌握地道的英语数学词汇和标准的惯用表达方式，又要激发他们在数学世界的探索精神、汲取多元的数学理念，大大缩短他们与世界接轨的路径，它更像一本小型双语国际数学基础教育的“辞海”，而非一本仅仅罗列数学词汇的词典。尽管当时从各个环节、从结构到内容细节都力求做到最好，但是后来发现不足的地方依然很多。面世以来，听到很多来自一线数学教师和家长的褒奖与肯定，但更有价值的是那些宝贵的改进意见，激发了我们很多内容优化灵感，促成了此次修订版的实现。读者反馈主要集中在以下几方面： 

 需要修正的错误之处； 

 题量不够多、不够深，希望能有更多经典或拔高试题供学生练习以巩固所学； 

 本书篇幅较大，作为工具书查阅时没有问题，但如果让学生高效独自学完这个“大部头”，不仅挑战很大，而且边界不够清晰。有的家长希望在专业教师陪伴下帮助孩子“啃完”这本内容丰富的好书，希望有专业教师的答疑。

此次修订包括勘误、增加附录内容、推荐书目，以及为了提升读者学习效率和增大试题量而研发的配套双语伴读视频系列。采用“探究式教学”，除了“扫清”书中要点和难点，还加入了更丰富的内容，逐步引领学生发现规律、归纳总结及探究数学性质背后的证明，着重强调对学生数学英语综合水平和创新数学思维的培养，陪伴大家高效学习。

在内容方面，根据不同年级对知识体系精准切割，优化了知识体系的系统性和逻辑性。在紧扣对应年级知识点和考点的基础上，适度扩展知识宽度和深度，有梯度性地精选配套练习真题，弥补了第1版习题量不足和试题难度较浅的缺憾，满足学生从课堂到标准化考试的平滑过渡，再到国际数学竞赛、国际知名数学夏校/夏令营申请的梯度性需求。设计的一些非常规经典难题可以满足有余力的学生巩固所学，培养创新思维，进一步提高数学水平。

在数学英语学习方面，为了帮助学生快速识记并掌握专业数学英语，载明词条，并对拓展词汇、数学符号、单位换算、数学固定短语等进行系统串讲，精心设计的英汉双语伴读教学过程，营造出一个培养学生听、说、读、写全方位立体“浸泡式”语言环境，让有语言障碍的学生快速高效提升数学英语综合应用能力，以扫清升学考试语言障碍，同时缩短留学后适应期。

致敬每位亲爱的读者——感谢与您的不期而遇

非常感谢您选择我们、信赖并支持我们，感谢您对我们诸多不足给予的包容与海涵。这本书的主要服务对象是成千上万努力成长的学子，他们背后是一个个努力托举他们成才的家庭，父母不易，孩子们也非常辛苦，他们不仅面临着沉重的学业压力，还承载着自己或家庭的梦想和未来。这份深深的懂得，是我们深耕国际数学素质教育、不断创新的原动力，期待我们的努力可以为大家交付更多、更优质的作品。让我们一起努力，期待下一版更精彩。

感恩默默付出的每一位幕后英雄

（以下顺序不分主次）承蒙美国数学竞赛先河的开创者、美国数学大联盟的创始人、美国里根总统颁发的“杰出数学教学奖”获得者、11次方国际数学终身首席顾问——Mr.Daniel Flegler先生的信赖，他将凝结毕生心血、覆盖从小学到高中全套共24本国际数学素质教育优秀数学作品独家授权给我们11次方国际数学。他的命题极富特色： 他设计的题干生动有趣，思考题的设计更是可以让学生把学过的基础知识点运用发挥到极致。他是可以将学生融会贯通能力培养到极致的“数学艺术大师”。本书伴读课程的很多精彩试题均选自他的作品。

在此对赵青老师的辛勤付出表示深深的感谢! 赵青老师对国际数学教育事业的敬业和热爱之情令人叹服! 她常年进取, 多次国内外访学, 对国际数学先进教学理念和模式孜孜以求，培养出无数优秀学生，其中不乏世界名校的佼佼者，可谓桃李满天下。为了让《英汉数学全书》更适合中国学生的学情和习惯，《英汉数学全书》研发团队诚挚邀请赵青老师担纲了最为艰巨又乏味的校对工作。她不辞辛苦通读了整本书，结合多年教学经验,提出了近百处修订意见，相信我们的《英汉数学全书》修订版会因为赵青老师的辛苦付出而拥有更精彩的呈现和用户体验。

段凯耀老师作为一名坚守在国际数学教育一线的成绩斐然的名师，被芝加哥大学授予“杰出教育者”称号，也是迄今为止受邀参加AP全球年会的中国大陆唯一发言人。他超前的国际数学教学理念对我们的研发工作影响至深，感谢他成了我们的“义务编外顾问”，为我们打开更宽广的学术视野和科技前瞻。此次修订版附录的补充内容和推荐书目为段老师倾情推荐，希望读者朋友们好好加以利用。

感谢数学名师金莹莹老师多年以来对我们教研团队的教学指导，她作为《英汉数学全书》内容结构的奠基人，一直非常谦逊和低调，她说“在这里一句话带过我就行了”。那么这一句话应该是： 她是中国千万个默默奉献的优秀教育工作者的缩影和代表，他们是一群平凡而伟大的“灵魂雕刻师”。衷心感谢您，尊敬的金老师！

吴晓云于北京

2025年2月

第1版前言

时光飞逝！4年前为了帮女儿找到一本参加美国数学竞赛需要的英汉双语数学工具书，跑遍了京城书店而不得的沮丧情形依然历历在目。后来我们决定不再等待，自己着手组建团队开始编写《英汉数学全书——代数、几何与微积分初步》，直至成书。这4年付出了太多，现在终于看到了这新诞生的“孩子”，心中百感交集。

《英汉数学全书——代数、几何与微积分初步》的诞生顺应了智能化时代背景下中国与世界日益增强的国际文化交流过程中更为专业化、精细化的需求，填补了中国英汉数学工具书的空白。虽然这本工具书还有很多需要改进的地方，但不影响本书成为双语专业工具书领域的里程碑。愿它的面世可以起到抛砖引玉的作用，带动中国更多其他学科领域的英汉双语工具书尽早问世，百花齐放，以飨读者。愿这本双语工具书成为中国学子们的“加油站”，为科技强国贡献一分力量。

数学水平一直以来是我们国人心头的骄傲。可是事实果真如此吗？2002年8月，北京成功地举办了第24届国际数学家大会。这是第一次在中国召开，也是第一次在发展中国家召开的国际数学家大会。此次大会成为衡量我国数学水平在国际数学界地位的象征。当时许多媒体发表了一篇名为《中国数学已经达到世界一流水平》的文章。记者曾就此观点采访第一位获得菲尔兹奖的华人数学家丘成桐：“中国数学真的像一些人所说的那样已经接近世界一流水平了吗？”丘成桐先生沉吟片刻，吐出5个字：“差得还很远。”2018年8月1日在里约热内卢举办了第28届国际数学家大会，颁布了四年一度的菲尔兹奖后，中国数学强与弱的问题再一次被热议，其中有一句话特别刺耳，“从1936年颁发第一次菲尔兹奖以来，人口如此庞大的中国，却诞生不了几位获奖得主，谁来救救中国数学，它真的还很年轻”。中国数学强吗？强，曾经我们真的很强。在14世纪以前，中国作为世界上最发达的国家之一，取得过许多辉煌的成就，出现过很多杰出的数学家。在14世纪，世界上重大的数学成就有15项，中国占了9项。而从14世纪到19世纪，世界重大数学成就有100项，中国0项。数据来源： 谁来救救中国数学，它才82岁.http://www.jinciwei.cn/b348586.html。

中国的数学教育以大量刷题、重记忆、重解题技巧而轻逻辑和抽象思维能力为特点，学生的基本功非常扎实，计算速度、解题技巧可以“秒杀”外国人。中国学生带着这个优势出国留学后，都会觉得外国的数学比较简单。他们在班上的数学考试和在数学竞赛中都能表现优异。但是我们发现一个有趣的现象： 在高中阶段微积分学得非常好的中国学生，学习抽象代数、拓扑学时会比较吃力，外国的学生反而学得比较轻松，到了大学阶段面对更高端的数学课，外国学生在思维方面表现得更加敏捷。中国的基础数学教得很难、很扎实，但是却只有极少数中国学生选择数学专业继续深造。反观那些计算能力略逊一筹的国外学生，往往成长为数学科研奖项得主。这些现象值得我们深思。数学学习旨在培养人的计算、逻辑和抽象思维三项能力，三者不可偏废。

现在国家已经深刻认识到数学教育改革的重要性，越来越在国家层面重视数学在科技发展中的战略性地位。2018年，国务院发布《关于全面加强基础科学研究的若干意见》(国发〔2018〕4号)，提出“潜心加强基础科学研究，对数学、物理等重点基础学科给予更多倾斜”。为切实加强我国数学科学研究，科技部、教育部、中科院、自然科学基金委于2019年7月联合制定了《关于加强数学科学研究工作方案》，值得我们期待。华裔数学大师陈省身曾在《怎样把中国建为数学大国》中说： 我们要创办世界水平的、一流的数学研究院，开办一些基本的数学先进课程，将科学的种子播下并在中国本土生根发芽。我们既要避免盲目的夜郎自大，又要鼓足勇气在挑战中砥砺前行。相信我们可以在中西合璧、取长补短的数学教育理念中找到答案。本书不仅仅是一本全面系统的工具书，还是一个了解国际数学，尤其是美国数学教育的窗口，希望借此机会激发大家展开一场关于数学教育的讨论，找到我们的不足之处，然后弥补不足而进步。

数学是科学的“皇后”，其重要性不言而喻。数学是自然科学的基础，也是重大技术创新发展的基础。数学实力往往影响着国家实力，几乎所有的重大发现都与数学的发展与进步相关，数学已成为航空航天、国防安全、生物医药、信息、能源、海洋、人工智能、先进制造等领域不可或缺的重要支撑。最近读到华为舵手任正非先生的一篇精彩演讲文稿，里面提及中国和美国的差距就两个字——软件。今天的信息技术时代，互联网、大数据、云计算、人工智能靠什么来支撑呢？就是靠软件。手机、计算机都离不开软件，它是最基础的科技。毋庸置疑，人类社会最终要走向人工智能，这是一个软件至上的时代！软件的背后又是什么呢？软件的背后是算法。算法的背后就是数学。

2019年中美贸易摩擦不断升级的背景下，任正非于2019年5月21日接受《面对面》节目记者董倩独家专访时提到：“我们国家修桥、修路、修房子……已经习惯了只要砸钱就行，但是芯片砸钱不行，得砸数学家、物理学家、化学家……中国要踏踏实实在数学、化学、神经学、脑科学各方面努力地去改变，我们才可能在这个世界上站得起来。”2万字的采访实录，任老先生27处提及“数学”，多次举例说明数学对华为科技竞争力的重要性，我们深深地被他采访中体现的爱国情怀和高瞻远瞩所激励和感动。中国著名自然语言处理和搜索专家吴军博士于2017年11月在北京作了一篇精彩的主题演讲，题目为《教育改变命运》。其中提到了“我们为什么学习数学”这个话题，他对数学学习的真知灼见非常有必要在此分享。他提出： 数学的重要性在于它培养科学的常识和基本的素养，讲究逻辑和方法。每一种解决数学题的方法都可以用于工作和创业。当你遇到一个不会解决的问题时，以前那些解数学题的逻辑全都用得上。学好数学需要三个要素： 读题要读对； 基础知识要牢固； 逻辑能力要具备。把题读懂了，从已知到未知，读懂题就是知道自己现在的位置在哪儿，未来要去哪儿。分析和逻辑就是找到这条路，基础知识是你的工具，你的逻辑自己学会把这条路走通了。学好数学就是这三条，遗憾的是，大部分人学数学只知道第二条——基础知识牢固。老师把第二条全教给了你，关键是你题也没读懂，也没找到逻辑。在今天这样一个竞争激烈的时代背景下，科技强国梦需要更先进的数学理念和成果作为支撑，需要培养出更多、更杰出的数学人才。当然，世界是多元的，我们也不必期待所有的数学尖子生都成为数学家，但是如果他们能够领悟到数学之美并从中得到很好的逻辑思维训练，日后进入他们感兴趣的领域发展，很好地生活和工作，也是我们备感欣慰的事情。

上文提及读懂题至关重要，在这里有一个不能回避的现实问题： 中国留学生在熟练运用专业数学语言能力方面还比较有限。学术英文能力的欠缺在方方面面严重制约了学生的学业、学术进步和长远的职业发展。探讨、沟通、写论文、读专业文章以及获取优质的各种课程资源都需要坚实的语言基础。本书除引入美国数学教学元素供读者体会之外，还有一个重要的目的就是提升中国学生的数学英文水平，帮助他们扫清语言障碍。

本书的大部分读者应该是一群志在四方的年轻人，他们背负着“以梦为马，不负韶华”的梦想负笈海外，让我的思绪不禁穿越到147年前。回首当年，在第一个毕业于耶鲁大学的中国人——爱国者容闳先生18年不懈的努力和积极推动下，清政府终于同意向美国派驻中国第一批官派赴美留学生。这些留学生是一群平均年龄只有12岁的孩子。1872年8月11日，一艘即将从上海出发远涉重洋的轮船在码头冒着白烟，送别的亲人泪眼婆娑……因为在那个时代，这次分别意味着长久的离别。这些留学生要在波涛汹涌的大海中航行25天才能抵达美国旧金山，然后还要乘坐7天的蒸汽火车才能抵达留学目的地——美国东北部的新英格兰地区。清政府先后分四批派出120名留美幼童，他们聪敏、勤奋，取得了令美国人都惊叹不已的优异成绩。他们当中除了在美早亡和在中法战争、甲午战争中捐躯的23名外，剩下的97名都成了建设国家的栋梁，完成了他们在那个时代被赋予的历史使命。生活在今天的我们是如此幸运，科技高度发达，飞机可以让我们日行万里，不必再历经数月跋山涉水旅途劳顿； 我们拥有各种现代化通信工具，可以随时随地跟亲人“天涯若比邻”。在此提及这个尘封已久的故事用以勉励即将留学或已经在海外留学的每一个年轻人，一定要好好学习，追求梦想，不要辜负青春好年华。

我自己的女儿也是一名留美高中生，一路陪伴她成长的历程让我深知孩子们留学前准备过程的艰辛和留学期间长期的高负荷学习压力，他们在外面留学非常不容易。带着对这群孩子深深的责任和爱，我和我的中美研发团队一起完成此书。尽管我们已经尽力发挥匠人精神，对本书精雕细琢，但难免还有疏漏和不足之处，还望广大读者批评指正，以待进一步修改和完善。在本书的编写期间得到了北京资深数学名师金莹莹女士和耿喜良先生的大力指导和帮助，他们都是中国数学教育领域顶级的数学导师，他们为本书倾情贡献了积累多年的宝贵数学经验和智慧，在此表示深深谢意； 同时非常感谢清华大学出版社首席策划编辑盛东亮先生的慧眼识珠以及他的整个编辑团队的倾情奉献，使本书得以尽早面世，以飨读者。感谢我的女儿李佳蓉（Li Jiarong），是她参加美国数学竞赛时在国内基本找不到英汉双语数学工具书激发了我们编写本书的灵感，是她积极促成了本书。她留学之前就屡屡在数学大赛中获奖，良好的数学基础使她有能力胜任本书某些章节的创作和编辑工作，这使她的数学实践能力再次得到了巩固和提升。

这本《英汉数学全书——代数、几何与微积分初步》终于完稿，终于可以为中国学子提供一本好用的案头双语数学工具书了。 我们对本书的编写也可以暂告一段落，可以静下心来喝杯茶，然后继续酝酿下一本敬献给中国学子们的好书。

“中国是数学大国，大不一定强，想成为数学强国，要靠你们！”

——陈省身先生于92岁时对中国少年的寄语

吴晓云于北京

2019年7月