前言

逻辑是研究推理的学问，而数理逻辑是以数学的方法研究推理，特别是研究数学中的推理的学问。由于数理逻辑研究推理本身，必然要涉及推理所使用的语言。数理逻辑采用形式语言或者说符号语言研究推理，并构造形式推理系统，这使得推理在某种程度上“可以使用眼睛机械地完成，而不需要使用头脑”，从而使得本身起源于数学推理的数理逻辑，又成为计算机学科中程序语言设计、机器推理、人工智能的理论基础。因此，作为“基础中的基础”的数理逻辑，值得每一位打算理性思考的人学习和掌握。

编者的研究领域虽然是信号与信息处理这种偏重于应用的领域，但是在研究过程中越来越感觉到夯实基础理论知识对于“从0到1”这种原始创新研究工作的重要意义。编者面向全校开设了“集合论”的公选课，在这门课程会涉及一些数理逻辑的基础知识，不少学生对此产生了浓厚的兴趣。虽然编者编写的教材《集合论基础教程》中的前两章是数理逻辑的知识，但该教材是讲授集合论而非数理逻辑的，所以有些学生希望编者能编写一本专门讲授数理逻辑的教材，这就促使编者产生了编写数理逻辑教材的想法。

本书在第1章的1.1节介绍了数理逻辑的基本思想，期望不具备任何数理逻辑基础的读者能对数理逻辑形成一个直观上的整体感觉。后面几节介绍了本书后面章节所用到的数学知识，特别是1.6节对归纳法证明和归纳法定义进行了介绍，希望读者认真体会和掌握。

第2~6章是数理逻辑的核心内容。在介绍命题逻辑和谓词逻辑时，都是首先从语义出发进行介绍，以方便初学者在直观上容易把握，然后引入语法上的相关内容。理解形式系统是掌握命题逻辑和谓词逻辑的关键，本书在介绍形式系统时，引入了自然推理系统和公理推理系统，并重点讨论了形式系统的整体性质。其中，哥德尔的完备性定理是一个难点。5.4节在介绍哥德尔的完备性定理时，采用了易于理解的亨金的证明方法。此外，还介绍了几种重要数学理论的形式系统，包括算术形式系统。

第7章和第8章相对于前面几章是扩展的内容。第7章对哥德尔的第一不完全性定理进行了详细介绍，这也是本书中最难理解的部分。初学者刚开始不要注重证明的细节，先形成一个整体上的、直观上的感觉。哥德尔的不完全性定理本身就不容易理解，希望读者不要因为理解上的困难而对自己的理解能力产生怀疑。第8章介绍了与计算机领域密切相关的丘奇论题和图灵机。

与《集合论基础教程》一样，本书也不需要读者具有较多专门的数学知识，具有高中数学知识的读者也可以掌握本书的绝大部分内容，只需要读者多思考即可。本书的内容都是数理逻辑最基本的内容，讲解通俗易懂，特别适合初学者的学习与掌握。编写本书也是为了帮助初学者夯实数理逻辑基础，以便于后续的学习。本书每章都配有一定数量的习题，便于初学者自我测试。

本书前6章内容可以供数理逻辑课程一个学期使用，后2章可以结合具体教学情况选用。

本书可以与《集合论基础教程》（ISBN： 9787302575115）配套使用，有助于相互促进对于集合论和数理逻辑知识的理解。

由于编者水平有限，书中难免会有不足之处，敬请读者批评指正。

张峰2024年12月