前  言

在实际生产生活中，边界控制比“域内”控制更为现实。在过去的几十年中，偏微分系统的边界控制在控制领域得到了越来越广泛的应用。解决边界控制问题的方法多种多样，一般情况下使用可逆反步法能够使初始系统与目标系统等价。采用输出反馈控制是镇定系统的基本方法，控制和输出需要最小化。为了达到控制的目的，常常采用反步变换法推导出边界反馈控制律来使闭环系统稳定。由于变换的可逆性，初始系统与目标系统的稳定性是相同的。此外为了证明核函数的存在性，采用逐次逼近方法是一种常规的做法。

偏微分方程是数学的重要分支，其内容丰富且应用面广。有关偏微分方程控制的研究一直以来都受到数学、人工智能和工程控制等各领域的广泛关注，其中偏微分方程的边界控制问题是微分方程控制问题中较为典型的一类。目前关于偏微分方程的边界控制问题虽然取得了大量的研究成果，但由于该问题在现实生活中，尤其是工程控制方面存在较大的影响，因此仍需要对许多问题的许多方面进行深入探究。本书利用常微分方程理论、偏微分方程理论、李雅普诺夫稳定性理论和反步法等知识和技术，通过对具有中间点热源的线性热方程、具有分布式输入时滞的波动方程、四阶抛物型偏微分系统、空间变系数和时变时滞的反应扩散耦合方程、具有输入时滞的反应对流扩散方程及分数阶反应扩散系统的一些专题进行论述，向读者介绍偏微分系统中的一些基本知识、研究思想及解决问题的方法，希望以较小的篇幅展现偏微分系统控制理论中时滞作用的一些优美结果。本书研究的时滞项主要包括状态时滞项，此时需要在其边界上设计反步控制器使系统指数稳定；还考虑了输入时滞，即在系统边界上加入时滞项，而这时为了处理时滞项，常常会引入另一个状态变量，进而转化为研究一个没有时滞的耦合系统。

本书是作者与合作者在过去十年中相关成果的总结，特别感谢合作者：管培荫、王祎、张菱馨和段明宇。全书共分 9 章，其中第 1 章是绪论，第 2 章是基础知识，主要内容集中在第3~9章。本书的编写得到了山东省数学优势特色学科、曲阜师范大学人才项目（610001）、山东省自然科学基金（ZR2017MA045、ZR2021MA043）、中国博士后科学基金（2014M551738）和国家自然科学基金（10801088） 的支持，在此一并致谢！限于作者的理解水平，书中可能存在不妥之处，欢迎读者批评指正！

作者

曲阜师范大学

2024年11月18日