Contents 

Preface ............................................................................................................... i 

Chapter 1 Introduction................................................................................. 1 

1.1 Overview of signals and systems............................................................. 1 

1.1.1 What is a signal?......................................................................... 1 

1.1.2 What is a system? ....................................................................... 2 

1.2 Description and classi.cation of signals .................................................. 5 

1.2.1 Continuous-time signals and discrete-time signals .......................... 6 

1.2.2 Energy signals and power signals .................................................. 9 

1.2.3 Periodic signals and non-periodic signals......................................11 

1.2.4 Deterministic signals and random signals .....................................14 

1.2.5 Elementary signals......................................................................15 

1.3 Description of Systems .........................................................................22 

1.3.1 Elementary systems....................................................................22 

1.3.2 System modelling .......................................................................26 

1.4 Properties of systems ...........................................................................29 

1.4.1 Memoryless and with memory.....................................................29 

1.4.2 Causality ...................................................................................30 

1.4.3 Invertibility................................................................................30 

1.4.4 Stability.....................................................................................31 

1.4.5 Time-invariance..........................................................................33 

1.4.6 Linearity....................................................................................34 

1.5 Summary.............................................................................................37 

1.6 Problems.............................................................................................37 

Chapter 2 Time-domain Analysis of LTI Systems.....................................43 

2.1 Introduction ........................................................................................43 

2.2 The unit impulse response and convolutions ..........................................43 

2.2.1 The convolution sum ..................................................................45 

2.2.2 The convolution integral .............................................................49 

2.3 Properties of convolutions and equivalent systems..................................51 

2.4 Causality and stability of LTI systems...................................................56 

2.5 Systems constrained with LCCDEs .......................................................59 

2.5.1 Continuous-time systems constrained with LCCDEs.....................59 

2.5.2 Discrete-time systems characterized by LCCDEs ..........................62 

2.6 Summary.............................................................................................64 

2.7 Problems.............................................................................................65 

Chapter 3 Fourier Analysis of Signals ........................................................69 

3.1 Introduction ........................................................................................69 

3.2 Fourier series for continuous-time periodic signals ..................................70 

3.3 Fourier series for discrete-time periodic signals.......................................80 

3.4 Why should a signal be transformed? ...................................................84 

3.5 Fourier transform for continuous-time signals.........................................87 

3.5.1 Properties of Fourier transform ...................................................92 

3.5.2 Inverse Fourier transform .......................................................... 100 

3.6 The discrete-time Fourier transform .................................................... 101 

3.6.1 Properties of DTFT.................................................................. 106 

3.6.2 Inverse DTFT .......................................................................... 109 

3.7 Fourier series and Fourier transforms................................................... 110 

3.8 Summary........................................................................................... 114 

3.9 Problems ........................................................................................... 115 

Chapter 4 Frequency-domain Approach to LTI Systems ....................... 121 

4.1 Introduction ...................................................................................... 121 

4.2 Frequency response of LTI systems...................................................... 121 

4.3 Bode plots for continuous-time LTI systems.........................................127 

4.4 Frequency response of LTIs described with LCCDEs ............................ 130 

4.5 Frequency domain approach to system outputs .................................... 135 

4.6 Some typical LTI systems ................................................................... 138 

4.6.1 All-pass systems ....................................................................... 138 

4.6.2 Linear phase response systems................................................... 139 

4.6.3 Ideal .lters............................................................................... 140 

4.6.4 Ideal transmission channels ....................................................... 143 

4.7 Summary........................................................................................... 145 

4.8 Problems ........................................................................................... 146 

Chapter 5 Discrete Processing of Analog Signals ................................... 149 

5.1 Introduction ...................................................................................... 149 

5.2 Sampling of a continuous-time signal...................................................150 

5.3 Spectral relationship and sampling theorem ......................................... 150 

5.4 Reconstruction of continuous-time signals............................................154 

5.5 Hybrid systems for discrete processing................................................. 159 

5.6 Discrete Fourier transform .................................................................. 160 

5.7 Compressed sensing............................................................................ 164 

5.8 Summary........................................................................................... 165 

5.9 Problems ........................................................................................... 166 

Chapter 6 Transform-domain Approaches ............................................... 169 

6.1 Motivation.........................................................................................169 

6.2 The Laplace transform ....................................................................... 169 

6.2.1 Derivation of the transform ....................................................... 169 

6.2.2 Region of convergence...............................................................171 

6.2.3 Inverse Laplace transform ......................................................... 176 

6.2.4 Properties of Laplace transform.................................................178 

6.3 The z-transform................................................................................. 179 

6.3.1 Region of convergence...............................................................180 

6.3.2 Properties of the z-transform .................................................... 184 

6.3.3 Inverse z-transform................................................................... 186 

6.4 Transform-domain approach to LTI systems ........................................ 187 

6.4.1 Transfer function of LTI systems ............................................... 188 

6.4.2 Inverse systems of LTIs and deconvolutions................................190 

6.4.3 Revisit of LTI system¡¯s stability and causality ............................ 192 

6.4.4 Transfer function of LTI systems by LCCDEs ............................ 195 

6.5 Transform domain approach to LCCDEs ............................................. 197 

6.6 Decomposition of LTI system responses ............................................... 200 

6.7 Unilateral transforms ......................................................................... 202 

6.7.1 Unilateral Laplace transform ..................................................... 203 

6.7.2 Unilateral z-transform .............................................................. 205 

6.8 Summary........................................................................................... 207 

6.9 Problems ........................................................................................... 207 

Chapter 7 Structures and State-space Realizations ................................ 212 

7.1 Block-diagram representation.............................................................. 212 

7.2 Structures of LTIs with a rational transfer function..............................214 

7.3 State-space variable representation......................................................219 

7.3.1 State model and state-space realizations .................................... 219 

7.3.2 Construction of an equivalent state-space realization................... 221 

7.3.3 Similarity transformations.........................................................222 

7.4 Discretizing a continuous-time state model .......................................... 224 

7.5 Summary........................................................................................... 227 

7.6 Problems ........................................................................................... 228 

Chapter 8 Comprehensive Problems ........................................................ 231 

8.1 Motivation.........................................................................................231 

8.2 Problems ........................................................................................... 231 

Appendices .................................................................................................... 237 

Bibliography .................................................................................................. 246