第
1章预备知识
………………………………………………………………1从有限走向无限
——“世界最大旅馆”
………………………………………………1
1.1 函数 …………………………………………………………………………………2 1.2 初等数学常用公式
………………………………………………………………15总结提升
1
………………………………………………………………………………17
第
2章极限与连续
……………………………………………………………19中西数学的较量
——割圆术与穷竭法
………………………………………………19
2.1 极限的概念
………………………………………………………………………21
2.2 无穷小量与无穷大量
……………………………………………………………29
2.3 极限的运算法则
…………………………………………………………………33
2.4 两个重要极限
……………………………………………………………………39
2.5 函数的连续性
……………………………………………………………………44总结提升
2
………………………………………………………………………………51
第
3章 导数与微分
……………………………………………………………54微积分中的“幽灵”
——无穷小量
…………………………………………………54
3.1 导数的概念
………………………………………………………………………56
3.2 导数的基本公式与运算法则
……………………………………………………63
3.3 复合函数的导数
…………………………………………………………………72
3.4 高阶导数 …………………………………………………………………………76 3.5 微分及其应用
……………………………………………………………………81总结提升
3
………………………………………………………………………………89
第
4章 导数的应用
……………………………………………………………94从应用走向理论
——微积分的发展历程
……………………………………………94
4.1 微分中值定理
……………………………………………………………………96
4.2 洛必达法则
………………………………………………………………………100
高等数学（微课版）
4.3 函数的单调性
……………………………………………………………………105
4.4 函数的极值
………………………………………………………………………110
4.5 函数的最值
………………………………………………………………………114
4.6 导数在经济上的应用
……………………………………………………………117总结提升
4
……………………………………………………………………………126
第
5章 不定积分
………………………………………………………………129司马光砸缸中的数学思想
——逆向思维
……………………………………………129
5.1 不定积分的概念与性质
…………………………………………………………131
5.2 基本积分公式
……………………………………………………………………137
5.3 直接积分法
………………………………………………………………………141
5.4 第一换元积分法（凑微分法）
…………………………………………………144
5.5 第二换元积分法
…………………………………………………………………149
5.6 分部积分法
………………………………………………………………………151总结提升
5
……………………………………………………………………………155
第
6章 定积分
…………………………………………………………………158数学中的对立和统一 ——定积分 ……………………………………………………158 6.1 定积分的概念与性质
……………………………………………………………160
6.2 微积分基本定理
…………………………………………………………………168
6.3 定积分的计算
……………………………………………………………………177
6.4 定积分的应用
……………………………………………………………………182总结提升
6
……………………………………………………………………………188
第
7章 多元函数微分学
………………………………………………………192传染病模型和微分方程
………………………………………………………………192
7.1空间直角坐标系及曲面方程
……………………………………………………195
7.2多元函数的概念与定义域
………………………………………………………199
7.3二元函数的极限与连续
…………………………………………………………202
7.4偏导数 ……………………………………………………………………………205 7.5高阶偏导数
………………………………………………………………………211
7.6全微分 ……………………………………………………………………………214 7.7多元函数的极值
…………………………………………………………………217总结提升
7
……………………………………………………………………………222
第
8章 多元函数积分学
………………………………………………………225几何流形中的“怪物”
………………………………………………………………225
8.1二重积分的概念与性质
…………………………………………………………228
8.2二重积分的计算 …………………………………………………………………232 8.3二重积分的应用
…………………………………………………………………238总结提升
8
……………………………………………………………………………241
IV
目 录
第
9章常微分方程
…………………………………………………………244最美数学之分形
………………………………………………………………………244
9.1微分方程概述
……………………………………………………………………247
9.2分离变量法
………………………………………………………………………250
9.3一阶线性微分方程
………………………………………………………………254
9.4二阶常系数线性微分方程
………………………………………………………258
9.5微分方程的应用
…………………………………………………………………263总结提升
9
……………………………………………………………………………268
第
10章无穷级数
……………………………………………………………271棋盘上的麦粒
——无穷级数
…………………………………………………………271
10.1数项级数的概念和性质
………………………………………………………274
10.2正项级数及其敛散性
…………………………………………………………282
10.3交错级数与任意项级数
………………………………………………………288
10.4幂级数
…………………………………………………………………………292
*10.5函数的幂级数展开
……………………………………………………………298总结提升
10
……………………………………………………………………………305
参考文献 ……………………………………………………………………… 308
V
