目录
第1章数值分析与科学计算引论(1)
1.1数值分析的对象、作用与特点(1)
1.1.1数学科学与数值分析(1)
1.1.2计算数学与科学计算(1)
1.1.3计算方法与计算机(2)
1.1.4数值问题与算法(2)
1.2数值计算的误差(3)
1.2.1误差来源与分类(3)
1.2.2误差限与有效数字(4)
1.2.3数值运算的误差估计(6)
1.3误差定性分析与避免误差危害(8)
1.3.1算法的数值稳定性(8)
1.3.2病态问题与条件数(9)
1.3.3避免误差危害(10)
1.4数值计算中算法设计的底层思维——迭代(12)
1.5数学软件(14)
评注(15)
复习与思考题(16)
习题(16)第2章插值法(18)
2.1引言(18)
2.1.1插值问题的提出(18)
2.1.2多项式插值(19)
2.2拉格朗日插值(19)
2.2.1线性插值与抛物线插值(19)
2.2.2拉格朗日插值多项式(21)
2.2.3插值余项与误差估计(22)
2.3均差与牛顿插值多项式(25)
2.3.1插值多项式的逐次生成(25)
2.3.2均差及其性质(26)
2.3.3牛顿插值多项式(27)
2.3.4差分形式的牛顿插值公式(28)
2.4埃尔米特插值(30)
2.4.1重节点均差与泰勒插值(30)
2.4.2两个典型的埃尔米特插值(31)
2.5分段低次插值(34)
2.5.1高次插值的病态性质(34)
2.5.2分段线性插值(35)
2.5.3分段三次埃尔米特插值(35)
2.6三次样条插值(36)
2.6.1三次样条函数(36)
2.6.2样条插值函数的建立(37)
2.6.3误差界与收敛性(40)
评注(40)
复习与思考题(41)
习题(42)
计算实习题(43)第3章函数逼近与快速傅里叶变换(45)
3.1函数逼近的基本概念(45)
3.1.1线性空间(45)
3.1.2范数与赋范线性空间(47)
3.1.3内积与内积空间(49)
3.1.4最佳逼近(51)
3.2正交多项式(52)
3.2.1正交函数族与正交多项式(52)
3.2.2勒让德多项式(54)
3.2.3切比雪夫多项式(56)
3.2.4切比雪夫多项式零点插值(59)
3.2.5其他常用的正交多项式(61)
3.3最佳平方逼近(62)
3.3.1最佳平方逼近与格拉姆矩阵(62)
3.3.2用正交函数族作最佳平方逼近(65)
3.3.3切比雪夫级数(68)
3.4曲线拟合的最小二乘法(69)
3.4.1最小二乘法及其计算(69)
3.4.2用正交多项式作最小二乘拟合(73)
3.5有理逼近(74)
3.5.1有理逼近与连分式(74)
3.5.2帕德逼近(76)
3.6三角多项式逼近与快速傅里叶变换(79)
3.6.1最佳平方三角逼近与三角插值(79)
3.6.2N点DFT与FFT算法(82)
评注(87)
复习与思考题(88)
习题(89)
计算实习题(90)第4章数值积分与数值微分(92)
4.1数值积分概论(92)
4.1.1数值积分的基本思想(92)
4.1.2插值型求积公式(92)
4.1.3代数精度(93)
4.1.4求积公式的余项(95)
4.1.5求积公式的收敛性与稳定性(95)
4.2牛顿柯特斯公式(96)
4.2.1柯特斯系数与辛普森公式(96)
4.2.2偶阶求积公式的代数精度(97)
4.2.3辛普森公式的余项(98)
4.3复合求积公式(99)
4.3.1复合梯形公式(99)
4.3.2复合辛普森求积公式(100)
4.4龙贝格求积公式(102)
4.4.1梯形法的递推化(102)
4.4.2外推技巧(103)
4.4.3龙贝格算法(104)
4.5自适应积分方法(105)
4.6高斯求积公式(108)
4.6.1一般理论(108)
4.6.2高斯勒让德求积公式(112)
4.6.3高斯切比雪夫求积公式(114)
4.6.4无穷区间的高斯型求积公式(115)
4.7多重积分(117)
4.8数值微分(119)
4.8.1中点方法与误差分析(119)
4.8.2插值型的求导公式(120)
4.8.3三次样条求导(122)
4.8.4数值微分的外推算法(123)
评注(124)
复习与思考题(124)
习题(125)
计算实习题(127)第5章解线性方程组的直接方法(128)
5.1引言与预备知识(128)
5.1.1引言(128)
5.1.2向量和矩阵知识回顾(128)
5.2高斯消去法(131)
5.2.1顺序高斯消去法(131)
5.2.2矩阵的三角分解(134)
5.2.3列主元消去法(136)
5.3矩阵三角分解法(139)
5.3.1直接三角分解法(139)
5.3.2平方根法(143)
5.3.3追赶法(146)
5.4与向量范数相容的矩阵范数(149)
5.5误差分析(152)
5.5.1矩阵的条件数(152)
5.5.2迭代改善法(157)
评注(158)
复习与思考题(159)
习题(160)
计算实习题(162)第6章解线性方程组的迭代法(164)
6.1迭代法的基本概念(164)
6.1.1引言(164)
6.1.2矩阵序列的极限(166)
6.1.3迭代法及其收敛性(167)
6.2雅可比迭代法与高斯塞德尔迭代法(171)
6.2.1雅可比迭代法(171)
6.2.2高斯塞德尔迭代法(172)
6.2.3雅可比迭代法与高斯塞德尔迭代法的收敛性(173)
6.3超松弛迭代法(175)
6.3.1逐次超松弛迭代法(175)
6.3.2SOR迭代法的收敛性(177)
6.3.3块迭代法(179)
6.4共轭梯度法(183)
6.4.1与方程组等价的变分问题(183)
6.4.2最速下降法(184)
6.4.3共轭梯度法(185)
评注(189)
复习与思考题(189)
习题(190)
计算实习题(192)第7章非线性方程与方程组的数值解法(193)
7.1方程求根与二分法(193)
7.1.1引言(193)
7.1.2二分法(194)
7.2不动点迭代法及其收敛性(196)
7.2.1不动点与不动点迭代法(196)
7.2.2不动点的存在性与迭代法的收敛性(197)
7.2.3局部收敛性与收敛阶(199)
7.3迭代收敛的加速方法(200)
7.3.1埃特金加速方法(200)
7.3.2斯特芬森迭代法(201)
7.4牛顿法(203)
7.4.1牛顿法及其收敛性(203)
7.4.2简化牛顿法与牛顿下山法(204)
7.4.3重根情形(206)
7.5弦截法与抛物线法(207)
7.5.1弦截法(207)
7.5.2抛物线法(208)
7.6求根问题的敏感性与多项式的零点(209)
7.6.1求根问题的敏感性与病态代数方程(209)
7.6.2多项式的零点(210)
7.7非线性方程组的数值解法(212)
7.7.1非线性方程组(212)
7.7.2非线性方程组的不动点迭代法(213)
7.7.3非线性方程组的牛顿迭代法(214)
评注(215)
复习与思考题(216)
习题(216)
计算实习题(218)第8章矩阵特征值计算(219)
8.1特征值性质和估计(219)
8.1.1特征值问题及其性质(219)
8.1.2特征值估计与扰动(220)
8.2幂法及反幂法(223)
8.2.1幂法(223)
8.2.2加速方法(227)
8.2.3反幂法(229)
8.3矩阵分解与正交变换(231)
8.3.1基本QR方法(231)
8.3.2豪斯霍尔德变换(235)
8.3.3吉文斯变换(238)
8.3.4舒尔分解与用正交相似变换约化一般矩阵为上黑森伯格矩阵(241)
8.4QR方法(245)
8.4.1带原点位移的QR方法(246)
8.4.2用单步QR方法计算上黑森伯格矩阵的特征值(246)
8.4.3双步QR方法(隐式QR方法)(250)
评注(252)
复习与思考题(252)
习题(253)
计算实习题(255)
第9章常微分方程初值问题数值解法(256)
9.1引言(256)
9.2简单的数值方法(257)
9.2.1欧拉法与后退欧拉法(257)
9.2.2梯形方法(259)
9.2.3改进欧拉公式(260)
9.2.4单步法的局部截断误差与阶(261)
9.3龙格-库塔方法(262)
9.3.1显式龙格-库塔法的引入(262)
9.3.2二阶显式R-K方法(263)
9.3.3三阶与四阶显式R-K方法(264)
9.3.4变步长的龙格-库塔方法(266)
9.4单步法的收敛性与稳定性(267)
9.4.1收敛性与相容性(267)
9.4.2绝对稳定性与绝对稳定域(269)
9.5线性多步法(272)
9.5.1线性多步法的一般公式(272)
9.5.2阿当姆斯显式与隐式公式(274)
9.5.3米尔尼方法与辛普森方法(276)
9.5.4汉明方法(277)
9.5.5预测-校正方法(277)
9.5.6构造多步法公式的注记和例(279)
9.6线性多步法的收敛性与稳定性(280)
9.6.1相容性及收敛性(281)
9.6.2稳定性与绝对稳定性(282)
9.7一阶方程组与刚性方程组(284)
9.7.1一阶方程组(284)
9.7.2化高阶方程为一阶方程组(285)
9.7.3刚性方程组(286)
评注(288)
复习与思考题(289)
习题(290)
计算实习题(292)
部分习题答案(293)
参考文献(297)
索引(299)
