目   录

第 1 章 矩阵  1

1.1 矩阵乘法    2

1.1.1 矩阵乘法的定义  2

1.1.2 用分块矩阵理解矩阵乘法    4

1.1.3 矩阵乘法的重要性    7

1.2 矩阵的行列式    7

1.2.1 行列式按行 (列) 展开定理  9

1.2.2 高阶行列式的计算  13

1.2.3 分块矩阵的行列式  20

1.3 逆矩阵与伴随矩阵    21

1.3.1 矩阵的逆    21

1.3.2 伴随矩阵    27

1.4 初等变换、初等矩阵与矩阵的等价  30

1.4.1 初等变换    31

1.4.2 初等矩阵    33

1.4.3 矩阵的等价  37

1.5 求矩阵的逆    40

1.5.1 求一般矩阵的逆    40

1.5.2 求分块矩阵的逆    44

第 2 章 向量  50

2.1 线性相关与线性无关    50

2.2 向量组的秩与极大无关组  54

2.2.1 向量组的秩与极大无关组的性质    55

2.2.2 两向量组的转换矩阵    56

2.3 向量组的等价  59

2.3.1 向量组的等价与矩阵的等价. 61

2.3.2 用秩表述向量组等价    63

第 3 章 线性方程组    68

3.1 一般线性方程组  68

3.1.1 齐次线性方程组    68

3.1.2 非齐次线性方程组  69

3.2 含参数的线性方程组    71

3.3 向量组的线性表示    79

3.4 线性方程组解的性质    82

3.4.1 齐次方程组解的性质    82

3.4.2 非齐次方程组解的性质    84

3.5 矩阵的秩    89

3.5.1 秩的几个重要结论  89

3.5.2 矩阵乘积为零的相关结论  92

3.5.3 伴随矩阵的秩    95

3.5.4 矩阵乘法的应用    97

3.6 公共解与同解.   100

3.6.1 公共解. 100

3.6.2 同解     104

3.7 线性方程组的几何意义    111

3.7.1 二维平面上的三条直线    112

3.7.2 三维空间上的三个平面    113

第 4 章 特征值和特征向量  117

4.1 矩阵的特征值和特征向量    117

4.1.1 一般矩阵的特征值和特征向量  117

4.1.2 特征值和特征向量的基本性质  120

4.1.3 关联矩阵的特征值和特征向量  120

4.2 矩阵的相似    125

4.2.1 相似的必要条件    125

4.2.2 相似的充要条件    126

4.3 矩阵的相似对角化  127

4.3.1 可对角化的条件    129

4.3.2 矩阵高次幂的计算    134

4.3.3 抽象矩阵的对角化    138

4.3.4 秩与零特征值的关系  140

4.4 实对称矩阵的对角化. 141

4.4.1 向量的内积、长度及正交性    141

4.4.2 相似对角化    144

4.4.3 正交对角化    147

4.5 秩为 1 的矩阵    151

4.5.1 秩为 1 的矩阵的分解    151

4.5.2  AB 与 BA 的关系    152

4.5.3 秩为 1 的矩阵的相似对角化    153

4.5.4 分解为秩为 1 的矩阵与数量矩阵之和  157

4.6 同时相似对角化    163

第 5 章 二次型    167

5.1 二次型的基本概念  168

5.1.1 矩阵的合同关系    169

5.1.2 惯性指数    170

5.1.3 矩阵的等价、相似与合同    170

5.2 三种方法化二次型为标准形    173

5.2.1 正交变换    173

5.2.2 合同变换    181

5.2.3 配方法. 183

5.2.4 三种方法的综合与辨析    186

5.2.5 二次型在单位球面 ||x||= 1 上的最值  191

5.3 正定二次型    193

参考答案    201