目 录
第 1 章 极限与连续 1
1.1 数列极限的定义与性质 6
1.1.1 数列极限的定义 6
1.1.2 无界与无穷大的关系 7
1.1.3 子列 8
1.2 数列极限的计算 9
1.2.1 ∞-∞ 型未定式数列极限 9
1.2.2 ∞0 型未定式数列极限 10
1.2.3 n 项和的数列极限 (一): 可求和类型 11
1.2.4 n 项和的数列极限 (二): 夹逼类型 12
1.3 数列极限的证明 13
1.3.1 单调有界原理 13
1.3.2 递推数列的极限 14
1.4 函数极限的定义与性质 19
1.4.1 函数极限的定义 19
1.4.2 无穷小量与无穷大量 19
1.5 函数极限的计算 (一) 21
1.5.1 洛必达法则 21
1.5.2 常用等价无穷小 24
1.6 函数极限的计算 (二) 25
1.6.1 如何确定取泰勒公式的前多少项 27
1.6.2 ∞-∞ 型未定式函数极限 34
1.6.3 1+∞ 型与 ∞0 型未定式函数极限 35
1.6.4 a+∞ 型与 arctan+∞ 型未定式函数极限 39
1.7 函数的连续与间断 40
1.7.1 函数的连续性 40
1.7.2 间断点及其分类 41
第 2 章 一元微分学 47
2.1 导数的定义 47
2.1.1 已知函数可导求相关量 47
2.1.2 左导数和右导数 49
2.2 导数的计算 52
2.2.1 导数的四则运算法则 52
2.2.2 复合函数求导 53
2.2.3 分段函数的导数 54
2.2.4 导数的奇偶性与周期性 55
2.2.5 高阶导数 56
2.3 导数与微分的几何意义 60
2.3.1 切线方程与法线方程 60
2.3.2 微分 61
2.3.3 微分的几何意义 62
2.3.4 连续、可导与可微之间的关系 62
2.4 平面曲线三类表示的求导 63
2.4.1 隐函数求导 63
2.4.2 反函数的导数 64
2.4.3 参数方程求导 (数学三不作要求) 68
2.5 函数不等式 69
2.5.1 单变量函数不等式 69
2.5.2 双变量函数不等式 71
2.5.3 抽象函数不等式 72
2.6 函数的极值与最值 73
2.6.1 极值的定义 73
2.6.2 如何寻找极值点 74
2.6.3 极值的第一充分条件 75
2.6.4 极值的第二充分条件 77
2.6.5 最值 80
2.7 曲线的凹凸性与拐点 81
2.7.1 曲线的凹凸性 81
2.7.2 拐点 83
2.7.3 参数方程的凹凸性与拐点 (数学三不作要求) 86
2.8 曲线的渐近线 87
2.9 基本概念辨析 90
2.9.1 与 |x| 相关的可导 90
2.9.2 给定极限判断可导 93
2.9.3 参数方程的求导 (数学三不作要求) 100
2.9.4 函数在一点可导能说明什么 101
2.9.5 驻点、极值点与拐点的区别和联系 105
第 3 章 一元函数积分学 109
3.1 三种基本方法 110
3.1.1 凑微分法 110
3.1.2 换元法 117
3.1.3 分部积分法 122
3.1.4 三种方法的综合 131
3.2 两类重要函数的不定积分 (数学三不作要求) 135
3.2.1 有理函数的不定积分 135
3.2.2 三角有理式的不定积分 141
3.3 定积分的性质 143
3.3.1 定积分的定义 143
3.3.2 利用奇偶性计算定积分 149
3.3.3 计算对称区间上的定积分 150
3.3.4 三角函数的定积分 152
3.3.5 比较大小 154
3.3.6 分段函数的定积分 156
3.4 变限积分 159
3.4.1 微积分基本定理 159
3.4.2 函数与原函数的奇偶性与周期性 167
3.5 反常积分的敛散性 171
3.5.1 基本模型 172
3.5.2 与对数相关的模型 175
3.6 定积分的几何应用 181
3.6.1 平面曲线围成的面积 181
3.6.2 曲线的弧长 (数学三不作要求) 184
3.6.3 旋转体的体积 186
3.6.4 旋转体的表面积 (数学三不作要求) 194
3.7 基本概念辨析 197
3.7.1 函数与原函数 197
3.7.2 函数可积与定积分 203
3.7.3 不定积分与定积分 205
第 4 章 中值定理 207
4.1 罗尔定理 208
4.2 拉格朗日中值定理 215
4.3 柯西中值定理 221
4.4 泰勒展开 223
参考答案 234
