目录

第一章极限与连续

第一节函数

一、 函数的概念

二、 函数的几种特性

三、 函数的运算

四、 初等函数

第二节极限的概念

一、 数列极限的定义

二、 函数极限的定义

三、 数列极限与函数极限的关系

第三节极限的性质及运算法则

一、 极限的基本性质

二、 极限的运算法则

第四节极限存在准则

一、 两边夹准则（夹逼准则）

二、 单调有界准则

*三、 柯西收敛准则

第五节无穷小量与无穷大量

一、 无穷小量的概念及性质

二、 无穷小量阶的比较

三、 无穷大量

第六节函数的连续性

一、 函数连续性的概念

二、 函数的间断点

第七节连续函数的运算与初等函数的连续性

一、 连续函数的运算

二、 初等函数的连续性

第八节闭区间上连续函数的性质

一、 最值性与有界性

二、 零点定理与介值性

*三、 一致连续性

第九节工程应用举例

数学发现的一般方法（一）——观察与实验

第二章导数与微分

第一节导数的概念

一、 导数的定义

二、 导数的几何意义

三、 函数可导性与连续性的关系

第二节函数的求导法则

一、 函数四则运算后的求导法则

二、 反函数的求导法则

三、 复合函数的求导法则

四、 初等函数的导数

第三节高阶导数

一、 高阶导数的定义

二、 高阶导数的运算法则

第四节隐函数的导数

一、 由直角坐标方程确定的函数的导数

二、 由参数方程确定的函数的导数

三、 由极坐标方程确定的函数的导数

第五节函数的微分

一、 微分的定义

二、 微分运算法则与高阶微分

三、 微分的应用

第六节工程应用举例

数学发现的一般方法（二）——归纳与猜想

第三章微分中值定理与导数的应用

第一节微分中值定理

一、 罗尔定理

二、 拉格朗日中值定理

三、 柯西中值定理

第二节洛必达法则

一、 0/0型不定式

二、 ∞/∞型不定式

三、 其他类型的不定式

第三节泰勒公式

第四节函数单调性的判定

第五节曲线的凹凸性

第六节函数的极值

第七节函数最值的求法

第八节函数的图形

一、 曲线的渐近线

二、 函数图形的描绘

第九节曲线的曲率

一、 弧微分

二、 曲率及其计算公式

三、 曲率圆与曲率半径

第十节工程应用举例

数学发现的一般方法（三）——类比与联想

第四章不定积分

第一节不定积分的概念与性质

一、 原函数与不定积分的概念

二、 基本积分公式

三、 不定积分的性质

第二节不定积分的换元积分法

一、 第一类换元法(凑微分法)

二、 第二类换元法

第三节不定积分的分部积分法

第四节几类特殊函数的不定积分

一、 有理函数的不定积分

二、 三角有理函数的不定积分

三、 某些无理函数的不定积分

第五节工程应用举例

数学发现的一般方法（四）——抽象与概括

第五章定积分

第一节定积分的概念

一、 定积分的定义

二、 定积分的几何意义

第二节定积分的性质

第三节微积分基本公式

一、 积分上限的函数及其导数

二、 牛顿莱布尼茨公式

第四节定积分的换元法

第五节定积分的分部积分法

第六节定积分的几何应用

一、 定积分的元素法

二、 平面图形的面积

三、 立体的体积

四、 平面曲线的弧长

第七节定积分的物理应用

一、 变力沿直线做功

二、 水压力

三、 引力

第八节广义积分

一、 无穷区间上的广义积分

二、 无界函数的广义积分

第九节工程应用举例

数学思维（一）——逻辑思维与非逻辑思维

第六章微分方程

第一节微分方程的基本概念

第二节可分离变量的微分方程

第三节齐次方程

—、 齐次函数与齐次方程

*二、 可齐次化的方程

第四节一阶线性微分方程

一、 一阶线性方程

二、 伯努利方程

三、 变量替换法的灵活运用

第五节可降阶的高阶微分方程

一、 y(n)=f(x)型的微分方程

二、 y″=f(x,y′)型的微分方程

三、 y″=f(y,y′)型的微分方程

第六节高阶线性微分方程

一、 二阶齐次线性方程的通解

二、 二阶非齐次线性方程的通解

*三、 二阶非齐次线性方程的常数变易法

*四、 降阶法

第七节二阶常系数齐次线性微分方程

第八节二阶常系数非齐次线性微分方程

*第九节欧拉方程

第十节工程应用举例

数学思维（二）——收敛思维与发散思维

习题答案与提示

参考文献