著名控制论专家、美国加州大学教授L.A.扎德于1965年首先提出模糊
集(Fuzzy set)的概念,奠定了模糊性理论的基础。 这一理论由于在处理复杂系
统特别是有人干预的系统方面的简捷与有力,某种程度上弥补了经典数学
与统计数学的不足,迅速受到广泛重视。30多年来,这个领域从理论到应用,从
软技术到硬技术都取得丰硕成果,对相关领域和技术特别是一些高新技术
的发展产生了日益显著的影响。
精确和模糊
有一个古老的希腊悖论,是这样说的:
“一粒种子肯定不叫一堆,两粒也不是,三粒也不是……另一方面,
所有的人都同意,一亿粒种子肯定叫一堆。那么,适当的界限在哪里?我
们能不能说,123585粒种子不叫一堆而123586粒就构成一堆?”
确实,“一粒”和“一堆”是有区别的两个概念。但是,它们的区别
是逐渐的, 而不是突变的, 两者之间并不存在明确的界限。换句话说,
“一堆”这个概念带有某种程度的模糊性。类似的概念,如年老、高个子、
很大、很小、聪明、价廉物美等等,不胜枚举。
精确和模糊,是一对矛盾,根据不同情况有时要求精确,有时要求模
糊。比如打仗,指挥员下达命令:“拂晓发起总攻。”这就乱套了。这时,
一定要求精确:“×月×日清晨六时正发起总攻。”我们在一些旧电影还
能看到各个阵地的指挥员在接受命令前对对表的镜头,生怕出个半分十秒的误差。但是,
物极必反。如果事事要求精确,人们就简直没有办法顺利地交流思想——
两人见面,问:“你好吗?”可是,什么叫“好”,又有谁能给“好”下个精确的
定义?
有些现象本质上就是模糊的,如果硬要使之精确,自然难以符合实际。
例如,考核学生成绩,规定满60分为合格。但是,59分和60分之间究竟有
多大差异,仅据一分之差来区别及格和不及格,其根据是很不充分的。
另一方面,有些现象是精确的,但是,适当地模糊化可能使问题得到简
化,灵活性大为提高。例如,在地里摘玉米,若要找一个最大的,那很麻
烦,而且近乎迂腐。我们必须把玉米地里所有的玉米都测量一下,再加以
比较才能确定。它的工作量跟玉米地面积成正比。土地面积越大,工作越
困难。然而,只要稍为改变一下问题的提法:不要求找最大的玉米,而是
找比较大的,即按通常的说法,到地里摘个大玉米。这时,问题从精确变
成了模糊,但同时也从不必要的复杂变成意外的简单,挑不多的几个就可
以满足要求。工作量甚至跟土地面积无关。因此,过分的精确实际成了迂
腐,适当的模糊反而灵活。
显然,玉米的大小,取决于它的长度、体积和重量。大小虽是模糊概
念,但长度、体积、重量等在理论上都可以是精确的。然而,人们在实际判
断玉米大小时,通常并不需要测定这些精确值。同样,模糊的“堆”的概
念是建立在精确的“粒”的基础上,而人们在判断眼前的东西叫不叫“一
堆”时,从来不用去数“粒”。有时,人们把模糊性看成一种物理现象。
近的东西看得清,远的东西看不清,一般地说,越远越模糊。但是,也有
例外情况:站在海边,海岸线是模糊的;从高空向下眺望,海岸线却显得
十分清晰。太高了,又模糊。精确与模糊,有本质区别,但又有内在
联系,两者相互矛盾、相互依存也可相互转化。所以,精确性的另一半是模糊。
然而,习惯上,精确是被科学特别是数学所特别推崇的。不少受过数学
科班训练的人对自己从事的学科大有真理在握之势,往往鄙视经验或半经
验公式,认为传统数学的推演具有钢铁般的逻辑力量,每前进一步都是探
索真理道路上实实在在的一步。不能认为这种良好的感觉没有道理。因为
从欧氏几何的辉煌成就一直到爱因斯坦相对论的成功,以及最近的所谓超弦
理论的建立,几千年科学的实践支持了这种信念。但是,凡事都有自己的
另一面。当时,爱因斯坦是用了几十年前由数学家发现的非欧几何塑造了
自己的相对论。与爱因斯坦不同,20世纪80年代,美国普林斯顿高等研究院
的维登(E Witten)在建立超弦理论时,却是以其物理学的直觉提出了数学
的艰深结果,并从而获得了1990年国际数学家大会颁发的菲尔兹(Fields)
奖。这在数学界引发了“什么算数学定理”的争论。其间的是非曲直暂
且不论,但所暴露出的“钢铁逻辑”力量在数学真理追求上的不足,却已
是不争的事实。实际上,只要冷静地反思与回顾,可知所谓“精确”、“严格”
等的局限性在科学发展长河中已被发现。以数学为例,在数理逻辑有著名
的哥德尔非完全性定理。这个定理告诉人们,在任何公理系统都存在由系
统中界定的概念形成的命题,它既不能在系统中被证明为真,也不能被判
定为假。注意,这并不是说还没有找到方法去肯定或否定这个命题,而是
说在这个系统中不存在一种论证去肯定或否定这个命题。于是,由欧氏几
何为起始的严格的公理化方法的局限性便显而可见。在物理学,20世纪初海
森伯(W K Heisenberg)发现了测不准关系,即微观粒子的坐标和动量不能
同时具有确定值。粒子坐标的值愈确定,粒子动量的值便愈不确定。在微
观世界中,要同时精密地确定粒子的坐标和动量是不可能的。同样要注意
的是,这并不是由于测量仪器或方法的不完善所引起的,而是由微观粒子的波
粒二象性所决定的。这说明大自然构造中对精确性存在着本质性的限制。换
言之,精确是十分重要的,但有其局限,甚至是本质上的局限。
是包袱还是财富
对模糊性的讨论,可以追溯得很早。 20世纪的大哲学家罗素 (B
Russel)在1923年一篇题为《含糊性》(Vagueness) 的论文里专门论述过我
们今天称之为“模糊性”的问题(严格地说,两者稍有区别),并且明确指
出:“认为模糊知识必定是靠不住的,这种看法是大错特错的。”尽管罗
素声名显赫,但这篇发表在南半球哲学杂志的文章并未引起当时学术界对模糊
性或含糊性研究的很大兴趣。这并非是问题不重要,也不是因为文章写得不深
刻,而是“时候未到”。罗素精辟的观点是超前的。长期以来,人们一直
把模糊看成贬义词,只对精密与严格充满敬意。20世纪初期社会的发展,
特别是科学技术的发展,还未对模糊性的研究有所要求。事实上,模糊性
理论是电子计算机时代的产物。正是这种十分精密的机器的发明与广泛应
用,使人们更深刻地理解了精密性的局限,促进了人们对其对立面或者说它的
“另一半”——模糊性的研究。
电子计算机的发明,是20世纪最伟大的科学成就,它的问世才50
多年,其影响所及已遍布世界各个角落,渗透人类生活中的一切重要领域。
从卫星制导、巡航导弹、新型飞机设计直到电子邮件、网上购物,人脑加
电脑,人类大步迈进了今日之信息社会。但是,到目前为止,最先进的计
算机也还存在一个根本缺陷,即不具备人脑所特有的模糊推理、模糊决策
的能力,不能像人那样在模糊环境下处理用自然语言表达的知识,不能像
人那样灵活地做近似推理,也不能用自然语言与人对话。计算机虽能准
确地控制飞船登月,却难以识别人的音容笑貌。在某种意义上说,其“智
能”水平不及一个婴儿。事实上,把目前全世界所有的超大型计算机“动员”
起来,也解决不了诸如婴儿识别母亲这样一些看起来十分简单的问题。解
决这些问题,要求计算机具备处理模糊信息的能力,从而要求人们对模糊
概念,模糊推理应有深入的了解。明确地认识到这一点并首先对它进行开创
性研究,是扎德的功绩。
扎德(L A Zadeh)1921年2月生于苏联巴库,1942年毕业于伊朗德黑
兰大学电机工程系,获学士学位。1944年获美国麻省理工学院(MIT) 电机
工程系硕士学位,1949年获美国哥伦比亚大学博士学位,随后在哥伦比亚、
普林斯顿等著名大学工作。从1959年起,在加里福尼亚大学伯克莱分校电
机工程、计算机科学系任教授至今。
扎德在20世纪50年代从事工程控制论的研究,在非线性滤波器的设计方面
取得了一系列重要成果,已被该领域视为经典并广泛引用。
60年代初期,扎德转而研究多目标决策问题,提出了非劣解等重要概念。
长期以来,围绕决策、控制及其有关的一系列重要问题的研究,从应用传统
数学方法和现代电子计算机解决这类问题的成败得失中,使扎德逐步意识到
传统数学方法的局限性。他指出:“在人类知识领域里,非模糊概念起主
要作用的惟一部门只是古典数学”,“如果深入研究人类的认识过程,我
们将发现人类能运用模糊概念是一个巨大的财富而不是包袱。这一点,是
理解人类智能和机器智能之间深奥区别的关键。”精确的概念可以用通常
的集合来描述。模糊概念应该用相应的模糊集合来描述。扎德抓住这一点,
首先在模糊集的定量描述上取得突破,奠定了模糊性理论及其应用的基础。
世界数学年与排中律
1992年,在巴西里约热内卢,联合国教科文组织( UNESCO) 发起了
“2000世界数学年”(简记为WMY2000)的倡议。 里约热内卢宣言指出,
“纯粹数学与应用数学都是了解世界及其发展的主要钥匙之一”,提出应
当努力改善数学在当今“信息社会”中的“形象与仪态”,并把它作为
WMY2000的目标之一。
于是,世界各国有关团体特别是数学家们纷纷通过各种手段去展示数
学(确切地说,主要是传统数学)在信息社会是如何重要与有用、多么激
动人心,而不是如不少人望之生畏的科目。提出的论点颇具感染力,如“数
学的语言与价值是普遍的,无所不在的”;学习数学“对发展理性思维起
着关键的作用”;“理性应该以数学思维为模型”;等等。这里,对传
统数学在训练人们严格思维的作用方面做了充分的肯定,但是,可能由于
话说得太过,也引起一些争议,在“WMY2000快报”上就有不少讨论。 其
中,快报1998年第6期社论更尖锐地指出:“人们通常根据他们所从事的
实践的各种内容来开发各种类型的‘理性’,有家常谈话的‘实用主义逻
辑’,它不同于职业论辩的逻辑,不同于在工作场合进行的劝导方式的逻
辑,也不同于数学证明的逻辑。一个明显的差异是,通常的语言不遵循排
中律。”例如,一个对象不只有一个而是有多个否定,在英文, unhappy
与not happy都是对happy的否定,但它们并不相同,否定的程度有所区别,
一般而言,un的否定程度比not重。数学老师却不厌其烦地告诉孩子们说,
他们的这种日常的思考方式是不严格的、低等的,甚至是不对的,在学校
特别是学习数学将会把它纠正、扳直。这或许导致了许多人带着对传统数
学的不解甚至厌恶而长大成人。20世纪60年代,在西方发达国家出现过一
场“新数学课程”的运动。“新数学课程”希望把孩子们变成“小数学家”
。他们甚至从心理学上找到“根据”,认为儿童的“天然理性”是数学的。
然而,“新数学课程”运动失败了。
其实,我们在从罗素到扎德关于模糊性的精辟见解已可看出,只要不
是不分场合一味推崇“非此即彼”的排中律,而是充分认识到精确性的局
限,认识到排中律的不足,认识到模糊性和精确性相互依存的内在联系,
模糊性是精确性的另一半,在传统数学中加进模糊数学的内容,可以预期,
数学对人们思维能力的培育将起着更完整、更实际也更加关键的作用。如
果站在当前世界文化多元化发展趋势的高度,这一认识或许更加深刻。
“一名之立,踌躇经月”
这里,对模糊性理论的名称说几句话。比较在不确定性研究中三个最
基本的概念:随机性、模糊性与混沌名称的确定,是很有趣的。
确定性系统产生的不确定性行为称为混沌。混沌即Chaos, 在汉语和
英语中都不是新词。特别是,2500年前,中国古代哲学家庄子说过:
“南海之帝为倏。北海之帝为忽。中央之帝为混沌。”尽管混沌有无知愚
昧、不开窍的意思,但既然称为“中央之帝”,自然使人敬畏。学术界毫无
异议地接受了这个词,因为大家都知道这个名词早已存在,并且也知道至
少是目前,大家都不能十分清楚地说清它究竟是什么。
随机性这一汉语学术名词, 是中国数学家的创造。 随机,英文为
random,直译应为胡乱、随便。试想,如果数学家采用了这一直译,那么,
随机过程就成为胡乱过程,概率统计专家研究的对象就是胡乱现象。这肯
定会给概率论,随机过程论的研究带来消极影响。可能是考虑到这一点,
前辈数学家充分发挥了他们高超的汉语水平,提出了“随机”一词,既有
“随着机会”这一直观而通俗的理解,又由于完全是一个新词而增添了其“
学术含量”。这个词的确定十分成功。
模糊性的运气没那么好。扎德用了fuzzy。此后, 他曾在不同场合里
多次解释:这个词并不十分理想,甚至引起了许多误解,但是没有更好的
选择,所以最后还是确定了它。Fuzzy subset theory传到我国, 常用的
译名是模糊子集理论。在汉语中,“模糊”一词的贬义成分大于英语中的
fuzzy。所以,许多学者不十分满意。日本学者把它译为“暧昧”, 在
汉语看来更会令人误解。当时,我国学者也提出了其他一些译名,如不分
明,弗晰等。不分明一词较为贴切,至今数学界仍把建立在模糊集合理论
基础上的拓扑学称为不分明拓扑。但是,这一译名在工程界似乎没有得到
认可,他们仍然喜爱“模糊”这一或许更为通俗的不带否定词的字眼。有
人建议使用“弗晰”,因其兼有意译和音译之长。弗晰解释为不清晰,有
一定道理。但是,从音译角度看,在英文,弗晰的发音更接近于fussy ,
即大惊小怪。学者们当然不认为自己研究模糊性属大惊小怪,这个建议理
所当然地被拒绝。几经取舍,最后在大多数领域还是选用了“模糊”一词,即
模糊集合、模糊控制、模糊数学、模糊逻辑等等。
这里应该指出,模糊数学与模糊逻辑内涵几乎相同,只是不同名词,
侧重点有所不同而已。
正当为模糊性取名的讨论在学术界逐渐平息之时,企业家却出自商业的利益而饶
有兴趣地继续为这个问题动起脑筋。80年代末、90年代初,一系列采
用模糊控制技术的家用电器产品问世,如模糊电饭锅、模糊洗衣机、模糊
空调器等。如果说在没有找到更好的词之前,在这些具有独特性能的新产
品名称前加上带“贬义”成分的词“模糊”,众厂商已心有不甘,特别对某些特殊
产品则简直是无法容忍。例如,电视机厂商愿意采用模糊控制技术,但他
们无论如何也不愿把自己的新产品称为“模糊电视”!于是,替代的词,
“快思”、“仿智”……纷纷推出,其实,它们都是fuzzy的意译或音译,
包括广东腔很重的音译。
写到这里,不禁想起把Coca Cola译成“可口可乐”的不知名人士, 他为
“可口可乐”打开中国市场立了大功!当然,更想起把西方文化传播到中国的
先驱、《天演论》等名著的译者严复先生的话:“一名之立,踌躇经月”。
这一经验之谈,确实发人深省。
刘应明任平
2000年5月